淺析線性代數(shù)教學(xué)中的條件反例

李 霞

（沈陽(yáng)理工大學(xué)理學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110159）

《線性代數(shù)》是高等院校工科專業(yè)學(xué)生必修的一門基礎(chǔ)理論課程。它所涉及的處理問(wèn)題的思想、方法和技巧廣泛應(yīng)用到科技、軍事、經(jīng)濟(jì)管理等各個(gè)領(lǐng)域。但由于《線性代數(shù)》具有概念多、抽象程度高、邏輯推理嚴(yán)密的特點(diǎn)，學(xué)生們普遍反映《線性代數(shù)》抽象、空洞，從而失去了學(xué)習(xí)的興趣。筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中認(rèn)識(shí)到提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣需遵循抽象理論具體化的原則，而反例教學(xué)是把抽象理論具體化的一種行之有效的方法。

1 反例可以用于鑒別命題的真假

學(xué)生在認(rèn)識(shí)新知識(shí)時(shí)，往往會(huì)把舊知識(shí)作為依托，通過(guò)挖掘新舊知識(shí)的聯(lián)系，使學(xué)生順利完成新知識(shí)的學(xué)習(xí)，起到事半功倍的效果。但是新知識(shí)在形成的過(guò)程中往往又具有自身的特點(diǎn)，所以學(xué)生在通過(guò)類比學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)不可避免地會(huì)得出一些錯(cuò)誤結(jié)論，否定這些謬論，僅僅靠書本的概念、命題是不夠的，恰當(dāng)運(yùn)用反例是極為有效的方法。

如在學(xué)習(xí)矩陣線性運(yùn)算時(shí)，通過(guò)與實(shí)數(shù)加減法作比較引出矩陣加減法運(yùn)算規(guī)律與實(shí)數(shù)加減法運(yùn)算規(guī)律較為一致的結(jié)論，學(xué)生往往會(huì)想當(dāng)然的認(rèn)為矩陣乘法也和實(shí)數(shù)乘法一樣滿足交換律和消去律。對(duì)此，最佳的解決方法是舉出簡(jiǎn)單的反例。

顯然，AB≠BA，說(shuō)明矩陣乘法不滿足交換律；AB=AC，A≠O，但B≠C，說(shuō)明矩陣乘法不滿足消去律。同時(shí)，該例還可以說(shuō)明命題“若B≠O且A≠O，則BA≠O”是假命題。

2 反例可以幫助學(xué)生理解定理，培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性

線性代數(shù)中有些定理及相關(guān)命題單純從理論上講很抽象，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)往往只停留在表象上，使用時(shí)不注意條件、適用范圍。在教學(xué)中針對(duì)學(xué)生存在的問(wèn)題，舉反例加以說(shuō)明，學(xué)生就會(huì)理清定理中的條件與結(jié)論間的充分性與必要性。如克萊姆法則：

該定理需強(qiáng)調(diào)當(dāng)方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)且系數(shù)行列式不等于零時(shí)方程組必有唯一解。反之不真?？膳e反例：

3 反例可以幫助學(xué)生理清概念間的關(guān)系

線性代數(shù)中概念繁多,有些概念之間具有種屬關(guān)系、有些具有交叉關(guān)系，學(xué)生不容易掌握,如矩陣教學(xué)中，等價(jià)矩陣、相似矩陣、合同矩陣三者間的關(guān)系，可舉反例幫助學(xué)生把它們之間的關(guān)系區(qū)別開(kāi)來(lái),從而使學(xué)生牢固地掌握正確概念。

例2 （1）合同矩陣是等價(jià)矩陣，反之不一定。

顯然有B=PAQ，即矩陣A與矩陣B等價(jià)。

但矩陣A與矩陣B不合同，否則一定存在可逆矩陣C使得B=CTAC=CTC，

顯然ac+bd=1與ac+bd=0不可能同時(shí)成立。

（2）相似矩陣是等價(jià)矩陣，反之不一定。

仍取上述矩陣等價(jià)A與B，二者等價(jià)，但不相似，否則存在可逆矩陣C使得B=C-1AC=C-1C=E，矛盾。

（3）合同矩陣不一定是相似矩陣，反之亦然。

顯然，B=CTAC，即矩陣A與矩陣B合同，但二者不相似。否則，一定存在可逆矩陣C使得B=C-1AC=C-1C=E，矛盾。

同上也可舉反例說(shuō)明相似矩陣不一定合同。

總之，反例是一項(xiàng)積極的創(chuàng)造性思維，在線性代數(shù)教學(xué)中重視反例的運(yùn)用，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維能力和分析解決問(wèn)題能力也起到十分重要的作用。

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2007.