用好“心中天平” 構(gòu)建方程模型

丁小東

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型思想的建立激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，在建立模型的過(guò)程中，可以直觀體現(xiàn)出數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。方程作為小學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)知識(shí)的重要內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由算術(shù)思維向代數(shù)思維的跨越，成為學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的重要手段。在教學(xué)方程時(shí)，運(yùn)用實(shí)物天平構(gòu)建起學(xué)生“心中的天平”，滲透建模思想，可以使學(xué)生的認(rèn)知由具體上升為抽象，形成數(shù)學(xué)理論，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、實(shí)物引領(lǐng)，搭建具體與模型之橋

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)源于生活的需要，讓學(xué)生積累起基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是教學(xué)的最終目的。學(xué)生可以從生活中獲得直接經(jīng)驗(yàn)，但不能形成理論，只有經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)重構(gòu)才能豐富學(xué)生的間接經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)時(shí)以實(shí)例為引入的資源，可以實(shí)現(xiàn)由直觀到抽象、由感性到理性的飛躍。教師應(yīng)以實(shí)物為引領(lǐng)，讓學(xué)生在感知的過(guò)程中認(rèn)識(shí)到知識(shí)與生活的關(guān)系，搭建起直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)互通的橋梁，開(kāi)啟學(xué)生智慧發(fā)展的大門(mén)。

在新課學(xué)習(xí)伊始，教師為學(xué)生展示了天平，讓學(xué)生根據(jù)在科學(xué)中所學(xué)的知識(shí)說(shuō)一說(shuō)自己對(duì)天平的認(rèn)識(shí)。有的同學(xué)說(shuō)天平可以稱(chēng)物體的質(zhì)量;有的說(shuō)當(dāng)天平兩邊物體的質(zhì)量相等時(shí)，天平就平衡了;還有的說(shuō)天平是公平公正的象征。教師進(jìn)行演示，左邊放2包各100克的物體，右邊放200克的砝碼，天平平衡;左邊放一個(gè)20克，另一個(gè)80克的物體，右邊放兩個(gè)各50克的物體，天平平衡;而當(dāng)左邊放50克的物體，右邊放60克的物體，天平不平衡。這樣就將天平的平衡與物體質(zhì)量的相等聯(lián)系在了一起，幫助學(xué)生初步建立了兩邊相等的模型，實(shí)現(xiàn)了由實(shí)物天平到心中天平的過(guò)渡，借助天平這一工具初步搭建起了方程模型。

二、豐富表象，逐步體驗(yàn)建模的過(guò)程

學(xué)生通過(guò)自己的體驗(yàn)得到的知識(shí)才是真知識(shí)。在教學(xué)時(shí)不要怕時(shí)間不夠，真實(shí)的體驗(yàn)可以讓一節(jié)課的教學(xué)收到兩節(jié)課的效果，當(dāng)學(xué)生真正經(jīng)歷了學(xué)習(xí)的過(guò)程，掌握了建模的思想，其效果比教師反復(fù)地教要好得多。在教學(xué)時(shí)，教師要在學(xué)生認(rèn)知水平和已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上層層推進(jìn)，這樣才能讓學(xué)生在不斷豐富認(rèn)知表象的基礎(chǔ)上體驗(yàn)出建模的過(guò)程，從而更好地投入到學(xué)習(xí)中來(lái)。

在學(xué)生已經(jīng)有了天平平衡表示兩邊質(zhì)量相等的經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，教師可以逐步豐富學(xué)生的表象認(rèn)識(shí)。如在天平右邊放上200克的砝碼，讓學(xué)生從講桌上已有標(biāo)出量的物體中選擇能使左右平衡的兩個(gè)物體，并用式子表示出來(lái)。有的學(xué)生選擇了一個(gè)150克的蘋(píng)果和一個(gè)50克的橘子，列式為150+50=200;有的學(xué)生選擇了一個(gè)180克的桃子和一個(gè)20克的葡萄，列式為180+20=200。然后教師交換了一下水果的放法，將蘋(píng)果和葡萄放在左邊，結(jié)果天平不平衡了，這時(shí)該怎樣表示呢？學(xué)生可以很簡(jiǎn)單地寫(xiě)出150+20<200。這樣，學(xué)生就可以感知天平的平衡與不平衡對(duì)應(yīng)了式子的相等與不等。接著，教師拿出一個(gè)沒(méi)有標(biāo)出質(zhì)量的核桃說(shuō)：對(duì)于不知道質(zhì)量的物體我們可以怎么表示？學(xué)生由學(xué)過(guò)的用字母表示數(shù)都會(huì)想到用x表示。那么要將它與蘋(píng)果放到左邊，你猜會(huì)出現(xiàn)什么情況？如何用式子表示出來(lái)？學(xué)生由上面的經(jīng)驗(yàn)可以列出三種情況：150+x=200;150+x>200;150+x<200，這樣使學(xué)生更進(jìn)一步積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)了將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。

剛才已經(jīng)列出了這么多式子，什么樣的是方程呢？接下來(lái)，教師引導(dǎo)學(xué)生把式子分成兩大類(lèi)：等式與不等式，然后對(duì)于等式又分成都是數(shù)字的和含有未知數(shù)的兩大類(lèi)，都是數(shù)字的等式是算式學(xué)生們都很熟悉，含有未知數(shù)的等式學(xué)生預(yù)習(xí)時(shí)也了解到了是方程，這樣通過(guò)不斷探究學(xué)生就在腦中建立了方程的模型。

三、把握本質(zhì)，展現(xiàn)建模的應(yīng)用目的

模型思想的主要目的是將數(shù)學(xué)與生活結(jié)合在一起，課堂教學(xué)的關(guān)鍵是利用生活中的實(shí)例讓學(xué)生感受到建模思想的重要性。當(dāng)遇到問(wèn)題時(shí)學(xué)生會(huì)有意識(shí)地構(gòu)建方程模型來(lái)解決問(wèn)題，這樣就體現(xiàn)出學(xué)生經(jīng)歷了“問(wèn)題—模型—應(yīng)用”的全過(guò)程，使學(xué)生在認(rèn)真思考的狀態(tài)中體驗(yàn)到表達(dá)等量關(guān)系的方程模型。

在學(xué)生由天平建立了方程的模型后，教師可以給出這樣一個(gè)問(wèn)題：將35千克葡萄裝入一個(gè)盛15千克的大箱和2個(gè)小箱正好裝完，你會(huì)想到什么樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題？這里有天平嗎？雖然這里沒(méi)有實(shí)物天平，但是學(xué)生心中的天平由此啟動(dòng)，借助于“心中的天平”可以成功解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，設(shè)每個(gè)小箱盛葡萄x千克，列出2x+15=35。在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行延伸，教師給出方程5x+10=70，讓學(xué)生結(jié)合生活賦予其現(xiàn)實(shí)意義，學(xué)生在自己生活經(jīng)驗(yàn)的前提下創(chuàng)造出一個(gè)個(gè)生動(dòng)而富有數(shù)學(xué)味道的小故事，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的升華，更加豐富了方程模型的應(yīng)用。

總之，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是一個(gè)綜合性的過(guò)程，在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透建模思想，可以幫助學(xué)生更好地將數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系在一起，學(xué)生在對(duì)知識(shí)加深理解的同時(shí)，也一并掌握了技能，在學(xué)習(xí)過(guò)程中既感悟了數(shù)學(xué)思想，又學(xué)會(huì)了方法，積累了豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)在構(gòu)建模型的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了觀察、分析、猜想、總結(jié)等過(guò)程，其應(yīng)用意識(shí)和分析解決問(wèn)題的能力都得到了較好培養(yǎng)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)自然得到較大提升，并為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定了良好的基礎(chǔ)。