在數(shù)學(xué)活動(dòng)的海洋里快樂(lè)暢游

杜毅祥

一、 案例背景

“三角形的內(nèi)角和是180°”是三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，也是“空間與圖形”領(lǐng)域的重要內(nèi)容之一。學(xué)好它有助于理解三角形內(nèi)角之間的關(guān)系，同時(shí)也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何的基礎(chǔ)。在學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了角的分類(lèi)、度量及三角形的認(rèn)識(shí)和分類(lèi)。這些都為進(jìn)一步研究三角形的內(nèi)角和做了知識(shí)儲(chǔ)備和心理準(zhǔn)備。

筆者在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，結(jié)合當(dāng)前課改的要求，真實(shí)地從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，圍繞教學(xué)目標(biāo)，力圖讓每一位學(xué)生通過(guò)具體實(shí)際的動(dòng)手操作、比較思考，參與到問(wèn)題研究中，在特定活動(dòng)中積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的思維磨煉過(guò)程。

二、案例描述

【片段一】對(duì)于三角形的內(nèi)角和，我到底想了解什么？

師：認(rèn)識(shí)三角形家族的三兄弟嗎？

生：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。

（課件動(dòng)畫(huà)演示）銳角三角形：“我的個(gè)頭大 ，我的內(nèi)角和最大！”

鈍角三角形：“我有一個(gè)鈍角，我的內(nèi)角和最大！”

直角三角形：“難道我的內(nèi)角和最小嗎？”

師：它們?cè)诒仁裁囱剑?/p>

生：內(nèi)角和。

師：你知道什么是三角形的內(nèi)角嗎？ 誰(shuí)能上來(lái)指指鈍角三角形的內(nèi)角在哪嗎？

生邊指邊說(shuō)：三角形里面的角就是它的內(nèi)角。

師：伸出小手，跟老師一起指指銳角三角形的內(nèi)角：∠1、∠2、∠3。

問(wèn)：三角形都有幾個(gè)內(nèi)角？現(xiàn)在你知道什么是三角形的內(nèi)角和了嗎？

生：三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)和。

師：三兄弟在比誰(shuí)的內(nèi)角和大呢，誰(shuí)來(lái)評(píng)判一下？

生：它們的內(nèi)角和一樣大，都是180°。

師：你們覺(jué)得呢？咦，這節(jié)課還沒(méi)學(xué)呢，你們是怎么知道的？

生1：我們上學(xué)期認(rèn)識(shí)角的時(shí)候老師給我們介紹過(guò)?。?/p>

生2：我早就知道啦！我爸爸告訴我的。

生3：我在課外輔導(dǎo)班學(xué)過(guò)了！

……

師：那對(duì)于這個(gè)結(jié)論你還有什么想了解的？

生1：是不是所有三角形的內(nèi)角和都是180°呢？

生2：為什么三角形的內(nèi)角和會(huì)是180°呢？

生3：我們有什么辦法能證明是180°嗎？

……

師：咱們中國(guó)有句古話是這樣說(shuō)的：紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行。意思是說(shuō)：雖然我們已經(jīng)知道這個(gè)結(jié)論了，但只有自己親身去實(shí)踐、去驗(yàn)證，才能更深入地理解這個(gè)知識(shí)。三角形的內(nèi)角和到底是不是180°，為什么是180°，想不想親自驗(yàn)證一下？

生齊聲說(shuō)：想！

【反思一】

在本課設(shè)計(jì)之初，我就在思考這個(gè)問(wèn)題：對(duì)于三角形的內(nèi)角和，學(xué)生到底想了解些什么？教材設(shè)計(jì)是預(yù)設(shè)學(xué)生不知道三角形的內(nèi)角和是多少，希望通過(guò)一系列操作活動(dòng)的探索來(lái)得出結(jié)論。事實(shí)上對(duì)于“三角形內(nèi)角和是180°”這個(gè)結(jié)論，學(xué)生并不陌生。我在不同學(xué)校若干四年級(jí)班級(jí)做調(diào)查，幾乎所有學(xué)生都能清楚地說(shuō)出三角形三個(gè)內(nèi)角的和是180°，但是他們卻不知道怎樣才能證明三角形的內(nèi)角和是180°。因此，我的教學(xué)設(shè)計(jì)圍繞學(xué)生真正想了解的 “怎么證明是180°”等問(wèn)題順勢(shì)而為：交流質(zhì)疑—?jiǎng)邮烛?yàn)證—得出結(jié)論。

【片段二】 ?為什么我的三角形內(nèi)角和不是180°？

師：好，還記得剛才爭(zhēng)論的三兄弟嗎？它們正等著大家?guī)兔︱?yàn)證內(nèi)角和是不是180°呢！想一想，怎樣驗(yàn)證？

生：用量角器量。量完以后再把三個(gè)角度加起來(lái)看看是不是180°。

師：你們覺(jué)得這個(gè)方法可行嗎？好，接下來(lái)同桌合作驗(yàn)證，任意選擇一個(gè)三角形，像這樣先標(biāo)出這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，然后一人量角，一人記錄數(shù)據(jù)并計(jì)算。

同桌合作并匯報(bào)三種三角形的測(cè)量結(jié)果和內(nèi)角和，師板書(shū)記錄：

銳角三角形：43°+65°+68°=176°

直角三角形：90°+35°+55°=180°

鈍角三角形：125°+35°+20°=180°

師：和你們的結(jié)果一樣嗎？有沒(méi)有不一樣的？

記錄其他組的內(nèi)角和結(jié)果：178°、182°……

生：難道我的三角形內(nèi)角和不是180°嗎？這是怎么回事呀？

師：老師剛才發(fā)現(xiàn)個(gè)別小組一邊量一邊改數(shù)據(jù)，就想湊到內(nèi)角和是180°。而大部分小組非常誠(chéng)實(shí)地記錄下測(cè)量的數(shù)據(jù)，都是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男?shù)學(xué)家！觀察一下，有幾十度嗎？有200多度嗎？這些數(shù)據(jù)都有什么共同點(diǎn)？

生：都在180°左右！

師追問(wèn)：你知道為什么嗎？

生：在測(cè)量時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生一些誤差。

師追問(wèn)：你們?cè)趺粗朗钦`差而不是錯(cuò)誤？

生：這些結(jié)果都在180°左右，是由于誤差造成的！

師：那你根據(jù)結(jié)果能完全肯定三角形的內(nèi)角和是180°嗎？

生想了想，搖搖頭。

師：那你們來(lái)評(píng)價(jià)一下用測(cè)量的方法來(lái)驗(yàn)證好不好？有沒(méi)有其他更好的方法呢？

【反思二】

對(duì)于學(xué)生而言，要驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和是180°最容易想到的方法就是用量角器測(cè)量每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再把它們加起來(lái)。在動(dòng)手操作前幾乎所有學(xué)生對(duì)這個(gè)方法都是非常認(rèn)可并認(rèn)為一定能證明三角形的內(nèi)角和是180°。然而在實(shí)際動(dòng)手操作、記錄數(shù)據(jù)的過(guò)程中有的學(xué)生就發(fā)現(xiàn)了一些問(wèn)題：他的三角形內(nèi)角和不是180°！這個(gè)與已知結(jié)論矛盾的結(jié)果激起了學(xué)生思維的碰撞，他們迫切地希望去探究背后的原因，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)原本覺(jué)得天衣無(wú)縫的證明方法其實(shí)是有缺陷的，進(jìn)而產(chǎn)生了對(duì)其他更完善的驗(yàn)證方法的思考和探究。做中學(xué)、做中思、做中得！我相信“測(cè)量可能會(huì)產(chǎn)生誤差”這個(gè)道理已深深地印在了學(xué)生的腦海中，也將廣泛運(yùn)用于他們后續(xù)的學(xué)習(xí)中。

【片段三】為什么我的三角形三個(gè)角折不到一起？

師：還有什么更好的方法？

生：把角剪下來(lái)拼到一起。

問(wèn)：怎么會(huì)想到要把三個(gè)內(nèi)角拼到一起？

生：看看拼出來(lái)的是不是一個(gè)平角。

師：為什么要拼成平角？

生：因?yàn)槠浇鞘?80°。

師：如果我不想破壞這個(gè)三角形，還有什么方法能把三個(gè)角拼到一起呢？

生：把三個(gè)角折到一起。

（生動(dòng)手折）

師：在折的時(shí)候遇到了什么困難嗎？

生1：不太好把三個(gè)頂點(diǎn)折到一起去。

生2：我折完以后三個(gè)角之間還有很大的縫隙！

（這句話引起了其他同學(xué)的共鳴。）

師引導(dǎo)：其實(shí)，要是能找到三個(gè)角的頂點(diǎn)最后重合的這個(gè)點(diǎn)就好了，是嗎？

生點(diǎn)頭表示同意。

問(wèn)：那有什么好辦法能找到這個(gè)點(diǎn)呢？討論討論。

生在小組中一邊討論一邊思考一邊動(dòng)手實(shí)踐。

最后終于有一名同學(xué)邊折邊想出了一個(gè)好方法，投影操作演示：

先找出三角形最長(zhǎng)的一邊，折出這條邊上的“高”，找到對(duì)應(yīng)的“垂足”;這個(gè)垂足就是最后拼成的平角的頂點(diǎn)。然后將三個(gè)內(nèi)角的“頂點(diǎn)”分別對(duì)準(zhǔn)“垂足”進(jìn)行折疊，就容易多啦！

【反思三】

在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)就覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題很難處理，有老師建議我省掉這一環(huán)節(jié)，或者是我做一個(gè)示范就可以了，不要學(xué)生動(dòng)手折，這樣就不會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題了。但是如果不給學(xué)生動(dòng)手的機(jī)會(huì)，他們就不會(huì)發(fā)現(xiàn)在折的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)的困難和問(wèn)題。教師不能為了上課而上課，回避學(xué)生容易出現(xiàn)的問(wèn)題。我想這正是我和學(xué)生一起學(xué)習(xí)和研究的好機(jī)會(huì)，于是我保留了這個(gè)環(huán)節(jié)，放手讓學(xué)生動(dòng)手折一折，體驗(yàn)直觀性。我覺(jué)得這個(gè)辦法已經(jīng)超出了這個(gè)年齡段學(xué)生的能力，我甚至做好了方法講解的課件。最后證明我還不夠相信學(xué)生，相信他們?cè)趧?dòng)手操作中的靈光一閃，相信他們無(wú)窮無(wú)盡的潛力和智慧！

三、結(jié)語(yǔ)

沒(méi)有親歷的數(shù)學(xué)活動(dòng)就談不上經(jīng)驗(yàn)。正如荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾所說(shuō)：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種活動(dòng)，這種活動(dòng)與游泳、騎自行車(chē)一樣，不經(jīng)過(guò)親身體驗(yàn)，僅僅從看書(shū)本、聽(tīng)講解、觀察他人的演示是學(xué)不會(huì)的?！?因此，數(shù)學(xué)教學(xué)更重要的是過(guò)程的教學(xué)，有效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要給出充分的時(shí)間與空間，結(jié)合具體內(nèi)容讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中去“經(jīng)歷過(guò)程”，留給他們充裕的時(shí)間，放手讓學(xué)生去操作、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理、想象。在“做”數(shù)學(xué)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)，感悟數(shù)學(xué)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。我這節(jié)課最大的收獲就是勇于放手讓他們自由地去做，去悟，給他們更充分的實(shí)踐時(shí)間、更廣闊的思維空間，讓他們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)的海洋里快樂(lè)地暢游！