“形”與“質(zhì)”

房曉蘭

教材是指引教學(xué)的主要依據(jù)和重要資源，數(shù)學(xué)是一門具有嚴密邏輯性的學(xué)科，教師對教材應(yīng)持有科學(xué)的質(zhì)疑態(tài)度、深究教學(xué)細節(jié)，更能打造高效靈動的數(shù)學(xué)課堂。

一、現(xiàn)狀點擊：“一圖”和“兩式”的沖突

“圖式結(jié)合”是在“數(shù)學(xué)圖形”與“數(shù)量關(guān)系”之間建立對應(yīng)關(guān)系并互相轉(zhuǎn)換的教學(xué)思想，它在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用很廣泛。蘇教版二年級下冊“有余數(shù)的除法”中有很多“一圖兩式”練習(xí)。

（1）根據(jù)圖形寫出不同的除法算式。

學(xué)生由上面的圖意會得到兩道有余數(shù)的除法算式：11÷5=2（盤）……1（個）和11÷2=5（個）……1（個），并能把這兩道算式和兩種表述對應(yīng)起來：11個蘋果，每盤5個，可以放2盤，還剩1個;11個蘋果，平均分成2盤，每盤5個，還剩1個。

在一次練習(xí)課上，我無意中向?qū)W生出示了如下一道題目。

（2）根據(jù)圖形寫出不同的除法算式。

我們班有50名學(xué)生，有49名學(xué)生根據(jù)圖意寫出的兩道算式是：13÷5=2（盤）……3（個）和13÷2=5（個）……3（個）。這就引起了我的思考：“一圖”為什么不能寫出“兩式”？

二、追根溯源：“圖形”和“算式”的對應(yīng)

小學(xué)生進行“圖式結(jié)合”學(xué)習(xí)的前提是“數(shù)學(xué)圖形”與“數(shù)量關(guān)系”之間存在著一定的對應(yīng)關(guān)系。然而，圖2只與算式“13÷5=2（盤）……3（個）”有對應(yīng)關(guān)系，與正確的算式“13÷2=6（個）……1（個）”間沒有對應(yīng)關(guān)系，與算式“13÷2=5（個）……3（個）”不能說完全沒有對應(yīng)關(guān)系，但它不能體現(xiàn)平均分成2份的最終結(jié)果，這個除法算式在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中被看作是錯誤的。所以，第二道題目中的“一圖”無法寫出“兩式”。

出現(xiàn)上面這種現(xiàn)象的原因是沒有關(guān)注到兩種不同的“有剩余的平均分”之間的異同，而學(xué)生對“有余數(shù)的除法算式”的認識是建立在對 “有剩余的平均分”的理解基礎(chǔ)之上的?！坝惺Ｓ嗟钠骄帧焙汀皼]有剩余的平均分”一樣有兩種最基本的類型：一是“按每幾個一份進行平均分”，二是“按平均分幾份進行平均分”，這是兩種完全不同，又有一定聯(lián)系的動手操作和思維過程。它們的區(qū)別在于：按已知“幾個一份”平均分時，先確定每份的個數(shù)，13個蘋果，每次取出5個為一盤，要夠5個時才可以平均分一份，不足5個的數(shù)量為余數(shù);按已知“平均分成幾份”平均分時，先確定份數(shù)，對分的每份個數(shù)不做任何猜測，且要保證最少有和份數(shù)相同的個數(shù)才可以繼續(xù)平均分，13個蘋果，平均放在2個盤子里，每次只要有2個就可以平均分到每盤1個，不足2個的數(shù)量為余數(shù)。它們的聯(lián)系是：總個數(shù)是一樣的，每份個數(shù)乘份數(shù)加上余數(shù)都等于總個數(shù)。

為什么有時候“一圖”能對應(yīng)著“兩式”呢？通過圖1能看出來，當余數(shù)同時小于除數(shù)和商的情況下，“一圖”和“兩式”之間就都存在著對應(yīng)關(guān)系。用字母表示會看得更清楚， “a÷b=c……d”與“a÷c=b……d”同時成立，“d”必須同時小于“b”和“c”。這就引出了一個新的話題：“有余數(shù)的除法”中的“一圖兩式”練習(xí)無形中向?qū)W生滲透了一種錯誤的數(shù)量關(guān)系模型“被除數(shù)÷商=除數(shù)……余數(shù)”;學(xué)生把圖2的算式簡單地寫為“13÷5=2（盤）……3（個）”和“13÷2=5（個）……3（個）”不能不說是負遷移的作用。二年級上冊學(xué)習(xí)的“表內(nèi)除法”中，也有“一圖兩式”的練習(xí)。由于是沒有剩余的“平均分”，所以一個圖可以表示不同的平均分法，滲透正確的數(shù)量關(guān)系模型。仍以“分蘋果”為例，“10個蘋果，每盤放5個，可以放2盤”和“10個蘋果，平均分成2盤，每盤放5個”是一種可逆推的過程;除法算式“10÷5=2”就能推出“10÷2=5”，數(shù)量關(guān)系式體現(xiàn)為“被除數(shù)÷商=除數(shù)”。

綜上所述，“有余數(shù)的除法”中的“一圖兩式”習(xí)題設(shè)置存在著一定的片面性和局限性。那么，如何克服這些缺點呢？

三、改造構(gòu)想：“圖式結(jié)合”本質(zhì)內(nèi)涵的把握

“有余數(shù)的除法”中的“一圖”和“兩式”有時有對應(yīng)關(guān)系，有時卻只和“一式”有對應(yīng)關(guān)系。只保留單一的“一圖兩式”練習(xí)又會給學(xué)生滲透錯誤的數(shù)量關(guān)系模型。筆者認為解決的方法是：在準確把握“圖式結(jié)合”本質(zhì)內(nèi)涵的基礎(chǔ)上設(shè)計開放的“圖式結(jié)合”練習(xí)。

其實，這里的“圖形”表示的內(nèi)涵是“有剩余的平均分”的操作過程，“圖式結(jié)合”練習(xí)的本質(zhì)目的是：以“直觀的平均分圖形”作為“具體的操作”和“抽象的有余數(shù)的除法算式”之間的橋梁，從實際操作到直觀圖形，再到抽象的算式，循序漸進地發(fā)展學(xué)生的思維能力，同時滲透 “有余數(shù)的除法算式”中的各種數(shù)量關(guān)系模型。所以教學(xué)時，首先要把“數(shù)學(xué)圖形”和“操作過程”對應(yīng)起來，再把“數(shù)學(xué)圖形”和“數(shù)學(xué)算式”對應(yīng)起來，讓學(xué)生深入理解“有余數(shù)的除法算式及余數(shù)”的概念、“余數(shù)比除數(shù)小”的規(guī)律。

下面是筆者執(zhí)教“有余數(shù)的除法”一課時的兩個“圖式結(jié)合”練習(xí)教學(xué)片段：片段一的教學(xué)重點突出的是“數(shù)學(xué)圖形”和“操作過程”的對應(yīng)關(guān)系;片段二的教學(xué)重點突出的是“數(shù)學(xué)圖形”和“數(shù)學(xué)算式”的對應(yīng)關(guān)系。

[教學(xué)片段1]

師出示：分一分，填一填。

（1）11顆小星星，每份2顆，平均分成（ ?）份，還剩（ ? ）顆。

師：這幾種分法都可以嗎？

生5：第四種不可以，因為我們并不知道每份是幾個。

師：不能對每份幾個進行假設(shè)，是嗎？不錯，如果我們能準確知道每份是幾個，那我們就不需要分了。比較上面兩道題目，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：有時能成一個圖形。

師：把11顆小星星按“平均分成5份”和“每份2個”來分都可以用同一個圖記錄，但是它們表示的平均分法是不同的。

學(xué)生對“平均分”的操作有了具體認識后，可以上升到用圖形符號表示的思維階段，允許學(xué)生用多種圖形記錄操作過程，讓學(xué)生通過對比體驗到：“一式”可以和“多圖”間存在對應(yīng)關(guān)系，“一圖”也可以和“多式”間存在對應(yīng)關(guān)系，圖形不過是記錄的形式，寫出什么樣的除法算式主要取決于操作的過程。為后面學(xué)生正確解答由“圖”到“式”的練習(xí)提供了基礎(chǔ)。

[教學(xué)片段2]

師出示：能寫出幾道有余數(shù)的除法算式就寫出幾道。

生：11÷5=2（盤）……1（個）和11÷2=5（盤）……1（個）。

師：怎樣想到這兩道除法算式的呢？

生：11個蘋果，每盤5個，可以放2盤，還剩1個;11個蘋果，平均分成2盤，每盤5個，還剩1個。

師：具體是怎么分的呢？分到剩下幾個就不分了呢？

生：第一種是每次拿過5個放在一個盤子里，分到不夠5個時就不分了;第二種是每次拿出2個，每盤放1個，分到不夠2個時就不分了。

生1：13÷5=2（盤）……3（個）和13÷2=5（個）……3（個）。

生2：第二道算式不對，只有兩個盤子，如果剩下3個還可以再分。

師：想象一下，再分以后，會呈現(xiàn)什么樣的結(jié)果。

生3：每盤6個，還剩1個。

師：這個圖能寫出幾道有余數(shù)的除法算式？

生：一道。

根據(jù)操作過程寫除法算式，讓學(xué)生把“圖”的本質(zhì)內(nèi)涵和“式”的數(shù)量關(guān)系真正對應(yīng)起來，深入體驗“有余數(shù)的除法算式及余數(shù)”的概念、“余數(shù)比除數(shù)小”的規(guī)律。其實，此類題目還能進一步開放，要求為“能寫出幾道算式就寫出幾道”，不僅讓學(xué)生寫出有余數(shù)的除法算式，還可以寫出對應(yīng)的乘加算式，讓學(xué)生在思辨中進一步體驗數(shù)學(xué)知識間的區(qū)別與聯(lián)系。

伴隨著教學(xué)改革的腳步，“數(shù)學(xué)思想方法”已經(jīng)被視為新課程背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)，可是為了“教”而“學(xué)”的現(xiàn)象比比皆是，很多教師只知道“教”，卻不知“為什么教”。這是一個值得每個數(shù)學(xué)教師深思的問題——“形”和“質(zhì)”之間，哪一個的準確掌握更重要？