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    基于二次逼近方法和EGARCH模型的美式股票期權(quán)定價(jià)研究

    2015-11-08 02:20:42楊建輝余嘉敏陳瑩穎
    市場(chǎng)研究 2015年2期
    關(guān)鍵詞:美式標(biāo)的期權(quán)

    ◇楊建輝 余嘉敏 陳瑩穎

    一、引言

    目前我國(guó)期權(quán)市場(chǎng)上大部分是歐式和百慕大式權(quán)證 (期權(quán)),在2005年12月推出了滬深兩市一支為期一年的美式權(quán)證(期權(quán))后,由于投資者盲目提前執(zhí)行,之后沒(méi)有再推出美式權(quán)證(期權(quán))。如何準(zhǔn)確地對(duì)美式期權(quán)定價(jià),不僅是金融學(xué)的重要理論命題之一,同時(shí)也是重要的實(shí)踐問(wèn)題,計(jì)算速度快且精度高的定價(jià)方法對(duì)美式權(quán)證 (期權(quán))市場(chǎng)的發(fā)展具有重大意義。

    美式期權(quán)定價(jià)方法可以分為數(shù)值方法、解析近似方法和回歸方法三大類(lèi)。數(shù)值方法包括Brennan and Schwartz的有限差分法[1]和Cox,Ross and Rubinstein的二叉樹(shù)[2],其特點(diǎn)是計(jì)算結(jié)果精確但計(jì)算復(fù)雜且耗時(shí)。解析近似方法包括Geske and Johnson[3]的復(fù)式期權(quán)法和Macmillan[4]及Barone_Adesi and Whaley[5]的二次逼近方法,其特點(diǎn)是相比數(shù)值方法計(jì)算簡(jiǎn)單直觀,得到結(jié)果速度快且精度也比較高。Johnson[6]和Broadie and Detemple[7]對(duì)回歸方法進(jìn)行了研究,其特點(diǎn)是計(jì)算速度快但必須依賴(lài)于大量的數(shù)據(jù)。其中,復(fù)式期權(quán)法雖然相對(duì)數(shù)值方法的計(jì)算速度提高了二十多倍,但其需要二元、三元甚至多元正態(tài)累積密度函數(shù),依賴(lài)快速計(jì)算的高級(jí)程序。Barone_Adesi and Whaley的二次逼近方法,由Merton的偏微分方程推導(dǎo)而來(lái),一般僅需進(jìn)行三次左右的迭代,簡(jiǎn)單的計(jì)算在Excel里面就能快速完成,且計(jì)算結(jié)果精確。盡管其也有不足的地方,對(duì)于離到期日超過(guò)一年的期權(quán),其定價(jià)的精度不如有限差分和二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)方法高,但對(duì)于短期投資者(一年內(nèi))的投資是一種實(shí)用的方法。

    應(yīng)用二次逼近方法對(duì)股票期權(quán)進(jìn)行定價(jià)需要先估計(jì)股票收益波動(dòng)率,在標(biāo)的股票歷史交易數(shù)據(jù)可獲得的情況下可采用歷史波動(dòng)率法,但歷史波動(dòng)率法對(duì)收益波動(dòng)率變化的反映存在時(shí)滯。1982年Engle提出了自回歸條件異方差(ARCH)模型,1986年Bollerslev在ARCH模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出了廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型[8],與歷史波動(dòng)率法相比較,GARCH模型能夠更準(zhǔn)確地描述和預(yù)測(cè)股票收益波動(dòng)率的變化。1992年Nelson提出了EGARCH模型[9],解決了收益率序列的有偏性問(wèn)題。已有學(xué)者將GARCH模型應(yīng)用到美式期權(quán)定價(jià)中,Duan等[10]在B-S模型的基礎(chǔ)上,與GARCH模型和馬爾可夫鏈相結(jié)合研究了美式期權(quán)的定價(jià);Stentoft在B-S模型的基礎(chǔ)上,與GARCH模型和Monte Carlo模擬相結(jié)合,研究了美式股票期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題。

    本文將Barone_Adesi and Whaley的二次逼近方法與Nelson(1992)提出的EGARCH模型相結(jié)合,用EGARCH模型估計(jì)股票波動(dòng)率,用二次逼近法計(jì)算期權(quán)價(jià)格,進(jìn)而解決美式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題,具有重要的理論意義和實(shí)踐意義。我們對(duì)美國(guó)寶潔公司的一系列美式股票期權(quán)進(jìn)行了理論定價(jià),與實(shí)際收盤(pán)價(jià)比較,進(jìn)行初步的應(yīng)用試探,結(jié)果表明該模型的計(jì)算價(jià)格與實(shí)際收盤(pán)價(jià)格十分接近。

    二、基于EGARCH的二次逼近模型的理論基礎(chǔ)

    1.二次逼近方法

    1973年Merton提出標(biāo)的物帶有持有成本的歐式或美式實(shí)物期權(quán)定價(jià)的偏微分方程:

    其中,σ為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的瞬時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差,S為標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格,V為期權(quán)價(jià)值,VS為期權(quán)價(jià)值V對(duì)S的一階偏導(dǎo)數(shù),VSS為期權(quán)價(jià)值V對(duì)S的二階偏導(dǎo)數(shù),Vt為期權(quán)價(jià)值V對(duì)時(shí)間t的一階偏導(dǎo)數(shù),b為標(biāo)的資產(chǎn)的持有成本,r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。

    如果偏微分方程適合于美式期權(quán)或歐式期權(quán)定價(jià),則其同樣也適用于美式期權(quán)提前執(zhí)行溢價(jià)部分[7]和 :

    對(duì)這個(gè)偏微分方程進(jìn)行化簡(jiǎn)、近似,可以得到一個(gè)二階常微分方程。通過(guò)再次求解化簡(jiǎn),可以得到僅有一個(gè)未知數(shù)的方程,應(yīng)用三步左右的迭代法就可以解出此未知數(shù)。最后可得美

    式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)提前執(zhí)行的定價(jià)公式:q

    1

    和q2為二階常微分方程的解;S*,S**為提前執(zhí)行看漲和看跌期權(quán)的標(biāo)的物的臨界價(jià)格。

    二次逼近方法對(duì)股票期權(quán)進(jìn)行定價(jià)需要估計(jì)的股票收益波動(dòng)率,通過(guò)構(gòu)建EGARCH模型來(lái)求得。EGARCH(p,q)模型[9],其條件方程方差可表示如下:

    其中,ht為條件異方差,a0為常數(shù)項(xiàng),ai,φi為條件異方差模型系數(shù),{εt}為隨機(jī)誤差項(xiàng),是一個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量系列,均值為0,方差為1。

    EGARCH(p,q)模型克服了GARCH模型在處理金融時(shí)間序列時(shí)的一些弱點(diǎn),在模型中體現(xiàn)了正的和負(fù)的資產(chǎn)收益率的非對(duì)稱(chēng)效應(yīng)。

    三、實(shí)證分析

    從前面的推導(dǎo)過(guò)程可知,運(yùn)用基于EGARCH的二次逼近方法對(duì)提前執(zhí)行的美式期權(quán)進(jìn)行定價(jià),需要確定如下參數(shù):標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格S,執(zhí)行價(jià)格X,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r,標(biāo)的資產(chǎn)持有成本b,標(biāo)的資產(chǎn)的瞬時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差σ和以年計(jì)算的到期時(shí)間T。由于國(guó)內(nèi)只推出過(guò)一支美式權(quán)證(期權(quán)),且時(shí)間較早,數(shù)據(jù)殘缺不全,所以本文選取美國(guó)寶潔公司的一系列期權(quán)做研究。

    由于本文目標(biāo)是針對(duì)短期投資者,且是有提前執(zhí)行的美式期權(quán)的定價(jià),所以樣本取到期時(shí)間為一年內(nèi)的四組看漲看跌期權(quán):2008年7月,2008年8月,2008年10月和2009年1月;各組包含執(zhí)行價(jià)格為$60、$62.5、$65和$67.5這四種看漲看跌期權(quán)(到期日為2009年1月的股票期權(quán)沒(méi)有執(zhí)行價(jià)格為$67.5)。其標(biāo)的股票一支績(jī)優(yōu)股,每季分紅一次,且比較穩(wěn)定,如2007年7月到2008年7月共分紅四次:三次為$0.40,一次為$0.50,期間標(biāo)的股票收盤(pán)價(jià)的均值為$113.48,則可得年紅利收益為d=(3*0.40+0.50)/113.48=0.0211。取2008年一年期國(guó)庫(kù)券的息票率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.0465,標(biāo)的股票的持有成本b=r-d=0.0251。目標(biāo)日為2008年7月10日。其標(biāo)的股票的最低價(jià)格SL=$63.36,最高價(jià)格SH=$64.32,可以相應(yīng)計(jì)算出期權(quán)的最高理論價(jià)格和最低理論價(jià)格,從而得到期權(quán)理論價(jià)格在當(dāng)天的波動(dòng)范圍。

    標(biāo)的資產(chǎn)的瞬時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差通過(guò)對(duì)標(biāo)的股票的日收率歷史數(shù)據(jù)構(gòu)建EGARCH模型來(lái)求得。以2007年1月3日至2008年7月10日的股票日收盤(pán)價(jià)為樣本數(shù)據(jù),取對(duì)數(shù)收益率,時(shí)間序列尖峰、厚尾、右偏及存在高階ARCH效應(yīng)。根據(jù)AIC及SC信息準(zhǔn)則及殘差的1階ARCH-ML檢驗(yàn),EGARCH(1,1)-T分布對(duì)收益率序列數(shù)據(jù)擬合最好:

    在2008年7月10日,其條件方差為h=1.38E-04,則標(biāo)的股票的瞬時(shí)波動(dòng)率為將這些參數(shù)代入前述的二次逼近定價(jià)程序,可得期權(quán)的最高理論價(jià)格、最低理論價(jià)格及平均理論價(jià)格,詳見(jiàn)如下附表。

    附表 寶潔公司期權(quán)的理論價(jià)格和實(shí)際收盤(pán)價(jià)格

    從附表中可以看出,當(dāng)天寶潔公司股票期權(quán)的實(shí)際收盤(pán)價(jià)格均落在基于EGARCH的二次逼近方法計(jì)算出來(lái)的最低理論價(jià)格和最高理論價(jià)格之間,且與平均理論價(jià)格很接近。

    四、結(jié)論

    本文提出將EGARCH模型與二次逼近方法相結(jié)合,對(duì)美式股票期權(quán)的定價(jià)方法進(jìn)行研究,將理論定價(jià)與實(shí)際收盤(pán)價(jià)格進(jìn)行對(duì)比,實(shí)證表明二者十分接近。本文不僅有重要的理論意義,還極具實(shí)踐意義:

    第一,本文提出將EGARCH模型和二次逼近方法相結(jié)合,研究美式期權(quán)定價(jià),具有十分重要的理論意義。

    第二,EGARCH模型能很好地處理時(shí)間序列的尖峰、厚尾及有偏性,用Eviews軟件可以直接建模,無(wú)需編制程序,用于計(jì)算股票收益波動(dòng)率準(zhǔn)確而方便。

    第三,二次逼近方法對(duì)會(huì)提前執(zhí)行的到期日在一年以?xún)?nèi)的美式股票期權(quán)價(jià)值進(jìn)行定價(jià),程序簡(jiǎn)單且運(yùn)行快速,在Excel中就能完成,對(duì)于投資者而言十分有用。

    第四,運(yùn)用基于EGARCH的二次逼近方法對(duì)美式股票期權(quán)進(jìn)行定價(jià),精度高,其得出的平均理論價(jià)格與實(shí)際收盤(pán)價(jià)格十分接近。

    [1]M.J.Brennan,E.S.Schwartz.The Valuation of American Put Options[J].Journal of Finance,1977(05).

    [2]J.C.Cox,S.A.Ross and M.Rubinstein.Option Pricing:A Simplified Approach[J].Journal of Financial Economics,1979(09).[3]R.Geske,H.E.Johnson.The American Put Valued Analytically[J].Journal of Finance,1984(12).

    [4]L.W.MacMillan.Analytic Approximation for the American Put Option [M].Advances in Futures and Options Research,1986.

    [5]G.Barone_Adesi,R.E.Whaley.Efficient Analytic Approximation of American Option Values[M]. Journal of Finance,1987.

    [6]H.E.Johnson.An Analytic Approximation for the American Put Price [M]. Journal of Financial and Quantitative Analysis,1983.

    [7]Broadie M.and J.Detemple.American Option Valuation:New Bounds,Approximations,and a Comparison of Existing Methods[J].Review of Financial Studies,1996(09).

    [8]Bollerslev T.Generalized autoregression heteroscedasticity[M].Journal of Econometric,1986.

    [9]Nelson DB,Cao C Q.Inequality constraints in the univariate GARCH model[J].Journal of Business and Economic Statistics,1992(10).

    [10]Duan J.C., Simonato J.G. American option pricing under GARCH by a Markov chain approximation[M].Journal of Economic Dynamics&Control,2001.

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