剛體平動(dòng)和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中力學(xué)問(wèn)題的對(duì)比研究

秦 晨，張偉仁

（1.新疆師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，新疆烏魯木齊830054；2.武警烏魯木齊指揮學(xué)院教研部，新疆烏魯木齊830049）

剛體平動(dòng)和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中力學(xué)問(wèn)題的對(duì)比研究

秦 晨1，張偉仁2

（1.新疆師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，新疆烏魯木齊830054；2.武警烏魯木齊指揮學(xué)院教研部，新疆烏魯木齊830049）

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)一直是普通物理學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)學(xué)生都比較熟悉，但是剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)卻是首次接觸。由于對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述和對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述有一定的相似性，而且質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的一些定律和定理也有很大的相似程度，因此可以在已有的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)知識(shí)的基礎(chǔ)上，來(lái)理解剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)。

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；剛體平動(dòng)；剛體轉(zhuǎn)動(dòng)；定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

物理學(xué)是研究物質(zhì)最普遍、最基本的運(yùn)動(dòng)形式的基本規(guī)律的一門(mén)學(xué)科[1]。以經(jīng)典物理為主要內(nèi)容的《普通物理學(xué)》是高等學(xué)校非物理專(zhuān)業(yè)的理工科學(xué)生的一門(mén)重要的基礎(chǔ)課，其中力學(xué)在該課程中占有很大的比重[2]。剛體力學(xué)是力學(xué)的重要組成部分，也一直是《普通物理學(xué)》中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。為了很好的理解剛體的運(yùn)動(dòng)，我們可以將剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)進(jìn)行對(duì)比研究，從而對(duì)剛體的運(yùn)動(dòng)有深入地了解和認(rèn)識(shí)[3]，并將剛體運(yùn)動(dòng)的知識(shí)應(yīng)用于非線(xiàn)性控制系統(tǒng)[4]、機(jī)械設(shè)計(jì)制造[5]、自動(dòng)化控制[6-8]、多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析[9]等各類(lèi)科學(xué)研究和生產(chǎn)實(shí)踐當(dāng)中[10]。

剛體是指在任何外力作用下，其形狀和大小完全不變的物體，是一種理想的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)。剛體最基本的運(yùn)動(dòng)形式是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，任何復(fù)雜的剛體運(yùn)動(dòng)都可以分解為平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加[11]。當(dāng)剛體作平動(dòng)時(shí)，所有質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都是相同的，所以可以選取剛體中任一質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)來(lái)表示整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)，因此平動(dòng)的剛體可以當(dāng)成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理[12]，剛體的平動(dòng)可以用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)來(lái)處理。當(dāng)而剛體作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體上每個(gè)質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不盡相同，我們需要考慮到每個(gè)質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)，才能將剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)完整的描述出來(lái)。為了研究剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)，我們需要對(duì)剛體上所有質(zhì)元求和，才能得到剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。關(guān)于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，學(xué)生從初中開(kāi)始就有接觸，因此比較熟悉；而關(guān)于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的知識(shí)，學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中接觸很少，有些還是首次遇到，而且剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的物理模型通常也比較抽象，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)一時(shí)較難接受，理解上也比較困難。為了使學(xué)生能從已有的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的知識(shí)體系出發(fā)，更好地理解剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的知識(shí)，可以通過(guò)對(duì)比研究，將質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的知識(shí)作為基礎(chǔ)和參照，來(lái)學(xué)習(xí)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，使學(xué)生更好地理解剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的相關(guān)運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

1 剛體平動(dòng)和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的對(duì)比研究[12]

為了在已有的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基礎(chǔ)上，很好的理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的相關(guān)物理量、相關(guān)定理和定律，下面分別就剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律，通過(guò)對(duì)比研究對(duì)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行深入地分析和討論。

1.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述

剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，本文以剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)為例來(lái)介紹剛體平動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的對(duì)比研究。

在剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，取垂直于固定轉(zhuǎn)軸的平面作為轉(zhuǎn)動(dòng)平面，轉(zhuǎn)動(dòng)平面與轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)，則轉(zhuǎn)軸上的各點(diǎn)都保持不變，而軸外所有質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)間間隔內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度都一樣，所以可以用質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的角位移、角速度和角加速度來(lái)定義繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的角位移、角速度和角加速度。因此剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)其角位移可以定義為Δθ=θ2-θ1，角速度定義為，角加速度定義為。剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，盡管剛體上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角位移、角速度和角加速度都相同，但是距離轉(zhuǎn)軸的距離為ri的不同質(zhì)點(diǎn)其線(xiàn)速度、切向加速度和法向加速度卻各不相同。距離轉(zhuǎn)軸距離為ri的各質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的線(xiàn)速度、切向加速度和法向加速度分別為υi=ωri，aτi=αri，ani=ω2ri，這三個(gè)式子給出了描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)量和角量的關(guān)系。

1.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律

由牛頓力學(xué)可以知道，力F是使物體平動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變的原因，力矩M=r×F是使物體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變的原因。通過(guò)對(duì)比可以看到F和M有著類(lèi)似的作用，都是使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變的原因。

為了反映質(zhì)點(diǎn)在力的作用下運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的難易程度，常用慣性質(zhì)量（簡(jiǎn)稱(chēng)質(zhì)量）m來(lái)表示質(zhì)點(diǎn)慣性的大小，所以質(zhì)量就是物體慣性大小的量度。而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性大小的量度，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大，其原有的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)越難改變。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由組成剛體的各質(zhì)元的質(zhì)量mi與其到轉(zhuǎn)軸的距離ri的平方的乘積之和來(lái)決定。單個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=mr2，由分立質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，質(zhì)量連續(xù)分布的剛體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=∫Mr2dm。由此可見(jiàn)，慣性質(zhì)量m和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J在描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)起著類(lèi)似的作用，有著相似的地位。

在質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)中，牛頓第二定律給出了力F和加速度a的瞬時(shí)關(guān)系。即物體受到外力作用時(shí)，它所獲得的加速度的大小與合外力的大小成正比，與物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向與合外力的方向相同，其矢量式為F=ma。而在剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)中，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律描述了力矩M的瞬時(shí)作用規(guī)律。即剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作用于剛體上的合外力矩M等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J與角加速度α的乘積，可表示為M=Jα。

從前面介紹的內(nèi)容來(lái)看，從描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量的角度來(lái)說(shuō)，F(xiàn)和M是對(duì)應(yīng)的，m和J是對(duì)應(yīng)的，a和α是對(duì)應(yīng)的；從牛頓第二定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律所給出的作用規(guī)律來(lái)說(shuō)，二者給出的都是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因的瞬時(shí)作用規(guī)律，即F和M的瞬時(shí)作用規(guī)律。所以，通過(guò)對(duì)比可以看出，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律在轉(zhuǎn)動(dòng)中的地位相當(dāng)于牛頓第二定律在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中的地位。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)如表1所示。

表1 與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律相關(guān)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)照表

1.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

為了理解動(dòng)能定理，首先需要知道動(dòng)能的概念。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，稱(chēng)為平動(dòng)動(dòng)能，表示為，早已被大家所熟知。而剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能，即轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，卻是一個(gè)新的物理量，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度平方乘積的一半，即。由于對(duì)不同的轉(zhuǎn)軸，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J不同，所以這里轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能也與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。由于平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能兩者形式十分相似，式中m和J都是慣性大小的量度，線(xiàn)速度υ與角速度ω也是相對(duì)應(yīng)的，所以通過(guò)對(duì)比研究可以看到，平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中具有相同的地位，通過(guò)對(duì)比可以通過(guò)已經(jīng)熟知的平動(dòng)動(dòng)能很好地理解轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。

為了理解動(dòng)能定理，還需要了解質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和功率。在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中，力的功和功率分別表示為和，而在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩的功和功率分別表示為和。通過(guò)對(duì)比可以看到，F(xiàn)和M、r和θ、υ和ω分別是一一對(duì)應(yīng)的，所以通過(guò)對(duì)比研究，可以通過(guò)已經(jīng)熟知的力的功和功率很好地理解力矩的功和功率。

有了上面的基礎(chǔ)，下面來(lái)看質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理給出了外力做功對(duì)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的影響，即外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量，可以表示為。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理給出了合外力矩所做的功對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的影響，即合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量，可以表示為。通過(guò)對(duì)比可以看到，在質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理中，兩個(gè)定理的形式是完全對(duì)應(yīng)的，每個(gè)物理量也都呈現(xiàn)出一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以可以比較容易的從已經(jīng)很熟悉的質(zhì)點(diǎn)的功能定理出發(fā)，很好地理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理。在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)如表2所示。

表2 與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理相關(guān)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)照表

1.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律

在質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量記作p=mυ，沖量記作，沖量表示力的時(shí)間積累效果，這是學(xué)生已經(jīng)很熟悉的內(nèi)容。而在剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)中，相對(duì)應(yīng)的物理量分別是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量記作L=Jω，沖量矩記作，沖量矩表示力矩的時(shí)間積累效果。通過(guò)對(duì)比可以看到，動(dòng)量和角動(dòng)量、沖量和沖量矩分別在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中承擔(dān)著相似的作用，處于相同的地位。

角動(dòng)量是物體轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)量的量度。一個(gè)質(zhì)量為m，運(yùn)動(dòng)速度為υ，相對(duì)固定點(diǎn)O的矢徑為r的質(zhì)點(diǎn)，其角動(dòng)量L定義為矢徑r與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量mυ的矢積，即L=r×mυ。L的方向垂直于r和mυ所組成的平面，其指向可以由右手螺旋法則確定，并且L的方向與角速度ω的方向一致。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)以角速度ω繞圓心作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓心的角動(dòng)量L的大小為L(zhǎng)=mr2ω。而剛體對(duì)軸的角動(dòng)量，就是剛體上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸的角動(dòng)量之和。所以剛體對(duì)某定軸的角動(dòng)量L定義為剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J與角速度ω的乘積，即。L的方向沿該轉(zhuǎn)動(dòng)軸，并與這時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω的方向相同。對(duì)比質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量和剛體角動(dòng)量的表達(dá)式可以看到，mr2和J相對(duì)應(yīng)，兩個(gè)L的方向也是一致的，所以通過(guò)對(duì)比研究，可以很好地理解剛體對(duì)軸的角動(dòng)量這個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)。

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律指出，若質(zhì)點(diǎn)所受外力對(duì)某固定點(diǎn)的力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。即若M=0，則L=L0，L=r×mυ是常矢量。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律指出，若外力對(duì)某軸的力矩之和為零，則該物體對(duì)同一軸的角動(dòng)量守恒。即若M=0，則L=L0，L=Jω是常量。通過(guò)對(duì)比可以看到，質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律在描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中有著相似的表述，它們所表示的物理意義也很類(lèi)似，所以通過(guò)對(duì)比研究，可以在比較熟悉的質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律的基礎(chǔ)上，很好地理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律。在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)如表3所示。

表3 與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律相關(guān)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)照表

2 總結(jié)

通過(guò)以上的對(duì)比研究可以看到，在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中，對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述，以及與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)相關(guān)的定理和定律有很大的相似程度。因此通過(guò)對(duì)比研究，在對(duì)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律、動(dòng)能定理、角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律進(jìn)行深入分析之后，可以在已有的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律（對(duì)應(yīng)剛體平動(dòng)）的基礎(chǔ)上，很好地理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的相關(guān)規(guī)律，并將剛體平動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的知識(shí)很好地應(yīng)用在生產(chǎn)和實(shí)踐當(dāng)中。

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The Comparative Study on the Mechanical Issues in Rigid Body Translation and Rigid Body Fixed-axis Rotation

QIN Chen1,ZHANG Wei-ren2
(1.College of Physics and Electronic Engineering,Xinjiang Normal University,Urumqi Xinjiang,830054;2.Department of Teaching and Research,Urumqi Armed Police Command College,Urumqi Xinjiang,830049)

Rigid body rotation is always important and difficult in the general physics.The student is familiar with the particle motion,but first contact the rigid body rotation.Based on the basis that there are some similarities between the description,the law and the theorem of particle motion and rigid body rotation,we can better understand the related knowledge of rigid body rotation in the basis of knowledge of particle motion.

particle motion;rigid body translation;rigid body rotation;fixed-axis rotation

O313.3

A

1674-0874(2015)04-0025-04

2015-03-20

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目[11364043];新疆師范大學(xué)博士科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目[XJNUBS1516]

秦晨(1980-)，女，新疆烏魯木齊人，博士，講師，研究方向：原子與分子物理、化學(xué)。

〔責(zé)任編輯 高彩云〕