對偶四元數(shù)近景影像空中三角測量法

盛慶紅，柳建鋒，虞夢昕，王惠南南京航空航天大學(xué)，江蘇南京210016

對偶四元數(shù)近景影像空中三角測量法

盛慶紅，柳建鋒，虞夢昕，王惠南
南京航空航天大學(xué)，江蘇南京210016

提出了一種對偶四元數(shù)近景影像空中三角測量方法，利用對偶四元數(shù)統(tǒng)一表示光線束在空間中的螺旋運動，近景區(qū)域網(wǎng)內(nèi)所有光線束的角元素用對偶四元數(shù)的實部表示，所有線元素以對偶四元數(shù)的實部和對偶部分共同表示，最終建立對偶四元數(shù)空中三角測量平差模型，實現(xiàn)內(nèi)、外方位元素和模型點物方坐標(biāo)的解算。選用真實影像和大姿態(tài)角模擬影像開展了空中三角測量試驗，試驗結(jié)果證明對偶四元數(shù)近景影像空中三角測量方法能獲得較高的精度。

幾何定位；近景攝影測量；空中三角測量；對偶四元數(shù)

1　引 言

近景攝影測量系統(tǒng)已廣泛應(yīng)用于機(jī)械制造、航空航天技術(shù)、城市區(qū)域規(guī)劃和古文物研究等國民經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域［14］。近景攝影測量的重要研究內(nèi)容是解算影像的方位元素和模型點的物方坐標(biāo)。直接線性變換（direct linear transformation，DLT）與空中三角測量是近景攝影測量最常用的兩種解析手段。DLT模型對控制點個數(shù)和分布要求高，易出現(xiàn)病態(tài)解，從而影響模型點的物方求解效率和精度，而且該模型只能獨立處理單個模型，模型與模型之間不能整體平差，需要大量的外業(yè)控制點，因此在實際工程應(yīng)用中工作效率低、勞動強(qiáng)度大且測量精度低［5］?？罩腥菧y量是基于嚴(yán)密公式的解析方法，可解算影像的內(nèi)、外方位元素和模型點坐標(biāo)，平差精度穩(wěn)定，控制點數(shù)量要求低，且深度方向的相對精度是DLT模型的4.5倍，因此在工程應(yīng)用中，空中三角測量的精度最高、效率最高［6］。但傳統(tǒng)近景影像空中三角測量需要構(gòu)建測區(qū)自由網(wǎng)為平差提供初值，初值的好壞影響平差迭代的次數(shù)和最終的平差精度，而近距離攝影時相機(jī)抖動、平臺不穩(wěn)定導(dǎo)致近景影像姿態(tài)角大、方向無規(guī)律，易造成傳統(tǒng)空中三角測量迭代不收斂［7］。

幾何代數(shù)學(xué)中的對偶四元數(shù)能將轉(zhuǎn)動和平移統(tǒng)一考慮，實現(xiàn)坐標(biāo)系的空間螺旋運動［8-10］。在計算機(jī)視覺等領(lǐng)域，對偶四元數(shù)特別適用于分析幾何投影問題［11］，是描述螺旋運動的最簡潔和最有效的方法［12］。在攝影測量領(lǐng)域，對偶四元數(shù)航空影像空間后方交會，算法的穩(wěn)定性與可靠性不依賴于影像位置與姿態(tài)的初始值，并且具有迭代次數(shù)少和定向精度高等優(yōu)點［13］。對偶四元數(shù)線陣CCD遙感影像幾何定位能夠克服成像幾何參數(shù)之間的強(qiáng)相關(guān)性，減小位姿間的耦合誤差，提高定位精度［14］。單位對偶四元數(shù)航空影像區(qū)域網(wǎng)平差精度與常規(guī)的區(qū)域網(wǎng)平差方法相當(dāng)，但僅適用于姿態(tài)角小的航空影像，沒有針對輕小平臺影像進(jìn)行處理［15］。此外，與航空攝影不同，近景攝影時，相機(jī)鏡頭在拆卸和重新安裝過程中會引起相機(jī)內(nèi)方位元素的變化，特別是像主點變化較大，可達(dá)到10個像素，嚴(yán)重影響了測量精度［16］。本文根據(jù)近景影像間的約束關(guān)系，建立對偶四元數(shù)近景影像空中三角測量模型，同時解算影像內(nèi)、外方位元素。

2　對偶四元數(shù)近景影像空中三角測量模型

2.1 對偶四元數(shù)表示的坐標(biāo)系螺旋運動

對偶四元數(shù)^q是由兩個四元數(shù)q和r組成的對偶數(shù)［17］

由Euler定理知，任意定點剛體運動可以等價為繞過該定點的軸的轉(zhuǎn)動［11］。類似的，由Chasles定理知，任意剛體運動可以通過繞某個軸的旋轉(zhuǎn)和沿相同軸的平移實現(xiàn)［18］，即單位對偶四元數(shù)的矢量形式可以完整并簡潔地表示這種螺旋運動

圖1　坐標(biāo)系的螺旋運動Fig.1 Skew motion of coordination

坐標(biāo)系S1-X1Y1Z1沿l旋轉(zhuǎn)θ角度，再沿著l的方向平移距離d，可得到坐標(biāo)系S2-X2Y2Z2。其中，S1在l上的投影點為p，且點矢量p=（tdl+cot（θ/2）l×t）/2，而d=tl，則旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量可用式（3）表示

設(shè)點p的對偶四元數(shù)形式為［19］

由圖1所示的螺旋運動可知，點p可變換到點p′，即

式中

式中，R為利用對偶四元數(shù)實部表達(dá)的旋轉(zhuǎn)矩陣［20-21］，也是攝影測量中常用的旋轉(zhuǎn)矩陣；T為由對偶四元數(shù)的實部和對偶部共同表達(dá)的平移矩陣，描述了空間剛體變換中的平移變換，用來求解影像的線元素。

2.2 對偶四元數(shù)與序列影像的幾何關(guān)系對偶四元數(shù)空中三角測量模型通過對偶四元數(shù)統(tǒng)一表示不同拍攝時刻的光線束在空間的旋轉(zhuǎn)和平移，克服了傳統(tǒng)方法中旋轉(zhuǎn)和平移分而治之引起的耦合誤差，從而獲得高精度的影像外方位元素和模型點的物方坐標(biāo)。同時，分析不同姿態(tài)角情況下的精度，明確了對偶四元數(shù)用于近景影像空中三角測量平差解算的潛力。坐標(biāo)系間的對偶四元數(shù)描述如圖2所示。區(qū)域網(wǎng)內(nèi)有3張影像，點S1、S2、S3分別表示攝站位置，S1A、S2A、S3A為同名光線。利用形如式（2）的3個單位對偶四元數(shù)，分別將同名光線繞l旋轉(zhuǎn)θ角度，再沿著l的方向平移距離d，使各影像同名光線最佳地交會于點A，整體區(qū)域網(wǎng)最佳地納入物方坐標(biāo)系中，獲得影像外方位元素和模型點物方坐標(biāo)。

2.3 對偶四元數(shù)近景影像共線條件方程

近景攝影測量時，由于相機(jī)主光軸由航空攝影時的鉛垂方向變?yōu)樗椒较?，則坐標(biāo)y和z、軸Y與Z均需互換，因此焦距f在坐標(biāo)系中為正值，x、z為像點坐標(biāo)觀測值，x0、z0和f為影像內(nèi)方位元素，且ai、bi、ci的排列與航空攝影測量不同，近景影像的共線條件方程為［22］

圖2　坐標(biāo)系間的對偶四元數(shù)描述Fig.2 Coordinate transformation based on dual quaternion

區(qū)域內(nèi)每張近景影像外方位元素可以用式（1）進(jìn)行描述，其矩陣形式為，由其構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)矩陣與平移矩陣如式（8）所示。

2.4 平差模型及其解算

考慮到相機(jī)拆裝對相機(jī)內(nèi)方位元素的影響，線性化方案是x0、z0和f一起進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)計算，將式（8）代入式（9）中，按照泰勒公式展開至一次項，得線性化的觀測方程為

式中

（x）和（z）是用各待定值的近似值代入式（9）求出的。

將式（4）線性化得限制條件方程

式中

利用帶條件的間接平差法建立法方程式為

式中，K為過渡性數(shù)值［23］。

2.5 算法流程

算法的主要流程如下。

（2）由于未知數(shù)的近似值非常粗糙，因此計算需要通過逐次趨近方法，每次趨近時需要重新計算新的常數(shù)項，^qi的改正數(shù)給予限值10-6，x0i、z0i和fi的改正數(shù)給予限值10-8，當(dāng)各改正數(shù)均小于限值時，趨近結(jié)束。

3　試驗結(jié)果及分析

3.1 真實影像試驗

試驗采用檢校場和殲-5飛機(jī)兩個不同攝影比例尺的近景目標(biāo)，其主要參數(shù)如表1所示，控制點和檢查點分布分別如圖3和圖4所示（三角形為控制點、圓圈為檢查點），試驗區(qū)域控制點的物方坐標(biāo)由攝影全站儀測量得到，對偶四元數(shù)誤差方程式為改進(jìn)的對偶四元數(shù)方法平差模型為式（12），各種方法的試驗結(jié)果見表2。

表1　影像參數(shù)Tab.1 Images parameters

圖3　檢校場的控制點和檢查點分布Fig.3 Distribution of control points and check points of calibration field

圖4　飛機(jī)影像的控制點和檢查點分布［5］Fig.4 Distribution of control points and check points of airplane images

表2　內(nèi)方位元素計算結(jié)果Tab.2 Calculation results for interior orientation parameters mm

表3　檢校場和飛機(jī)影像的空中三角測量精度Tab.3 Aerial triangulation accuracy of calibration field images and airplane images

表2和3結(jié)果表明，兩種對偶四元數(shù)方法精度高于旋轉(zhuǎn)矩陣和四元數(shù)法，這是由于近景攝影時，平臺的位置和姿態(tài)會隨著時間一起發(fā)生變化，旋轉(zhuǎn)矩陣和四元數(shù)法通常對其采取分而治之的處理方法，破壞了運動學(xué)問題的完整性，導(dǎo)致轉(zhuǎn)動和平移的耦合誤差，而對偶四元數(shù)能夠同時處理轉(zhuǎn)動和平移向量，利用對偶四元數(shù)統(tǒng)一描述角元素和線元素，不僅構(gòu)像的幾何意義更加明確，而且降低了問題處理的復(fù)雜度，從而提高了平差精度。由于考慮了相機(jī)拆裝后內(nèi)方位元素的變化，因此改進(jìn)的對偶四元數(shù)方法檢查點實際深度方向精度高于其他方法，提高了測量精度。

3.2 大姿態(tài)角模擬影像試驗

為了進(jìn)一步驗證本文方法用于一般近景影像的正確性和可靠性，本文模擬相機(jī)的拍攝狀態(tài)按照不同的姿態(tài)角模擬生成了大姿態(tài)角近景影像，1個條帶3張影像，外方位元素設(shè)置如表4，像元大小為8μm，內(nèi)方位元素初始值x0=z0=0mm，f=25mm，影像大小為1024像素×1280像素。采用9個控制點和133個檢查點，控制點和檢查點分布如圖5所示。

表4　模擬影像的外方位元素Tab.4 Exterior orientation parameters of the simulated images

圖5　模擬影像的控制點和檢查點分布圖Fig.5 Distribution of control points and check points in the simulated images

針對表4中的大姿態(tài)角近景區(qū)域網(wǎng)模擬影像，傳統(tǒng)旋轉(zhuǎn)矩陣法不能求解，原因是最小二乘法對法方程的性質(zhì)十分依賴，當(dāng)影像姿態(tài)角過大時，初值設(shè)置的不合理會造成法方程產(chǎn)生病態(tài)［16］，導(dǎo)致迭代無法收斂。四元數(shù)、兩種對偶四元數(shù)方法的平差結(jié)果見表5。改進(jìn)的對偶四元數(shù)方法檢查點X、Z和Y方向的精度如圖6所示。

表5　模擬影像的空中三角測量精度Tab.5 Aerial triangulation accuracy of the simulated images

圖6　模擬影像的檢查點殘差圖Fig.6 Error of check points in the simulated images

表5結(jié)果表明，四元數(shù)和兩種對偶四元數(shù)法都能夠進(jìn)行大姿態(tài)角近景影像的空中三角測量處理，獲得的單位權(quán)中誤差分別為1.2μm、1μm和0.9μm。由于統(tǒng)一解算影像方位元素，因此改進(jìn)對偶四元數(shù)法精度高于其他方法。

從圖6可以看出：

（1）改進(jìn)的對偶四元數(shù)方法平面、深度方向?qū)嶋H精度分別為0.5cm和35.3cm，最大誤差分別為10.5cm和129.4cm，由于該方法對初值保持了獨立性，并且在平差過程中避免了頻繁的三角函數(shù)運算，因此適用于姿態(tài)角較大的近景影像。

（2）改進(jìn)的對偶四元數(shù)方法平面、深度方向理論精度分別為0.5cm和36.5cm，空中三角測量平差的實際精度與理論精度相吻合，這表明模擬的控制點和像點誤差非常小，此外，模擬影像相鄰模型中，80%的模型點為3°重疊，因此，區(qū)域網(wǎng)本身的構(gòu)網(wǎng)強(qiáng)度高，這從理論上保證了區(qū)域網(wǎng)平差的高精度。

（3）檢查點的殘差分布基本符合正態(tài)隨機(jī)分布，這說明這些點評定該區(qū)域網(wǎng)的空中三角測量加密精度是可靠的。

（4）理論精度在深度方向明顯低于平面方向，這是由于區(qū)域網(wǎng)內(nèi)影像數(shù)量少，平差幾何條件差，未知數(shù)之間的相關(guān)性影響了法方程系數(shù)矩陣的狀態(tài)。由于實際精度和理論精度基本相符，因此實際深度方向精度同樣明顯低于平面方向。一般具有較強(qiáng)約束條件的一定數(shù)量的控制點不會顯著影響整體平差結(jié)果，因此下一步的研究目標(biāo)是分析區(qū)域網(wǎng)影像的數(shù)量和同名像點的交會攝影情況等對深度方向精度的影響。

4　結(jié) 論

本文提出了一種改進(jìn)的對偶四元數(shù)近景影像空中三角測量模型，獲得了方位元素和模型點物方坐標(biāo)。結(jié)果表明由于對偶四元數(shù)統(tǒng)一表示了近景區(qū)域網(wǎng)中所有光線束的位置與姿態(tài)，因此克服了傳統(tǒng)方法中旋轉(zhuǎn)和平移分而治之引起的耦合誤差，提高了解算精度。該模型不僅適用于較小姿態(tài)角的近景影像，而且由于在迭代過程中對初值無依賴，因此對于較大姿態(tài)角的近景影像，也可以得到可靠的平差結(jié)果。考慮了相機(jī)拆裝對相機(jī)內(nèi)方位元素的影響，能同時解算影像的內(nèi)、外方位元素，因此該模型更加嚴(yán)密和實用，在空中三角測量結(jié)果經(jīng)常不穩(wěn)定的近景攝影測量中有較大的應(yīng)用價值。

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（責(zé)任編輯：陳品馨）

E-maiI：qhsheng@nuaa.edu.cn

AeriaI TrianguIation CIose-range Images with DuaI Quaternion

SHENG Qinghong，LIU Jianfeng，YU Mengxin，WANG Huinan
Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing210016，China

A new method for the aeriaI trianguIation of cIose-range images based on duaI quaternion is presented.Using duaI quaternion to represent the spiraI screw motion of the beam in the space，the reaI part of duaI quaternion represents the anguIar eIements of aII the beams in the cIose-range area networks，the reaI part and the duaI part of duaI quaternion represents the Iine eIements corporateIy.FinaIIy，an aeriaI trianguIation adjustment modeI based on duaI quaternion is estabIished，and the eIements of interior orientation and exterior orientation and the object coordinates of the ground points are caIcuIated.ReaI images and Iarge attitude angIe simuIated images are seIected to run the experiments of aeriaI trianguIation.The experimentaI resuIts show that the new method for the aeriaI trianguIation of cIose-range images based on duaI quaternion can obtain higher accuracy.

geo-positioning；cIose range photogrammetry；aeriaI trianguIation；duaI quaternion

The NationaI NaturaI Science Foundation of China（Nos.41101441；60974107；41471381）；Foundation of Graduate Innovation Center in NUAA（No.kfjj130133）；NationaI Training Programs of Innovation for Undergraduates（No.201310287060）

SHENG Qinghong（1978—），femaIe，PhD，associat professor，majors in digitaI photogrammetry and remote sensing image processing.

P234.1

A

1001-1595（2015）05-0503-07

國家自然科學(xué)基金（41101441；60974107；41471381）；南京航空航天大學(xué)研究生創(chuàng)新基地開放基金（kfjj130133）；國家級大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練計劃（201310287060）

SHENG Qinghong，LIU Jianfeng，YU Mengxin，et al.Aerial Triangulation Close-range Images with Dual Quaternion［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2015，44（5）：503-509.（盛慶紅，柳建鋒，虞夢昕，等.對偶四元數(shù)近景影像空中三角測量法［J］.測繪學(xué)報，2015，44（5）：503-509.）

10.11947/j.AGCS.2015.20130533

2013-12-02

盛慶紅（1978—），女，博士，副教授，研究方向為數(shù)字?jǐn)z影測量、遙感影像幾何處理。

修回日期：2014-09-14