在活動(dòng)中感悟數(shù)學(xué)思想

錢建兵

在不少學(xué)生眼里，學(xué)數(shù)學(xué)就是做題目，學(xué)生不會(huì)提問(wèn)，不會(huì)質(zhì)疑與求證。沒(méi)有人喜歡一直做練習(xí)，成人如此，兒童亦然。兒童是天生的游戲者、探索者。數(shù)學(xué)是理性，是疑問(wèn)，更是學(xué)生成長(zhǎng)過(guò)程中樂(lè)趣的源泉。因此，數(shù)學(xué)教師要立足學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，以自己的專業(yè)素養(yǎng)開(kāi)啟學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，讓學(xué)生品嘗到“好吃又有營(yíng)養(yǎng)”的數(shù)學(xué)大餐。特級(jí)教師莊慧芬執(zhí)教的“圖形分割”一課，是蘇教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》第九冊(cè)“多邊形面積計(jì)算”內(nèi)容。教材內(nèi)容如下：

在方格紙上畫平行四邊形ABCD，連接對(duì)角線AC、BD，它們的交點(diǎn)O稱為平行四邊形的中心。

過(guò)平行四邊形的中心O任意畫一條直線，把平行四邊形分成了兩個(gè)什么圖形？這兩個(gè)圖形完全一樣嗎？先畫一畫，再把分成的兩個(gè)圖形剪下來(lái)比一比。

你能用上面的方法把下面這些圖形分成完全一樣的兩部分嗎？先畫一畫，再與同學(xué)交流。

莊老師以自己的專業(yè)素養(yǎng)，在活動(dòng)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究的過(guò)程，為學(xué)生打開(kāi)一扇通往生動(dòng)豐富的數(shù)學(xué)世界的窗口，現(xiàn)擷取幾個(gè)教學(xué)片段，與讀者共饗。

【片段一】

教師出示一些平面圖形：正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形、正六邊形、正八邊形。

師：這些圖形認(rèn)識(shí)嗎？六邊形特別嗎？每條邊都相等、每個(gè)角都相等的六邊形叫正六邊形。

師：今天我們要學(xué)習(xí)這些圖形的分割。

師：你能在這個(gè)正六邊形上畫一條直線，將它分成面積相等的兩部分嗎？

生1：在中間畫一條。

師：有多少種畫法？

（學(xué)生大都表示有4種，也有學(xué)生表示有6種。過(guò)了一會(huì)兒，有兩個(gè)學(xué)生表示有無(wú)數(shù)種。）

師：碰到復(fù)雜的問(wèn)題可以從簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，你們覺(jué)得可以從哪個(gè)簡(jiǎn)單的圖形入手？

生2：正方形，因?yàn)檎叫蔚倪厰?shù)少。

師：可是長(zhǎng)方形也只有4條邊??？

生3：正方形不僅邊數(shù)比較少，而且跟正六邊形相似，每條邊都相等。

【賞析】本教學(xué)片段中，莊老師沒(méi)有直接出示正方形讓學(xué)生研究，而是故意將題目變復(fù)雜，“難為”一下學(xué)生。這種顛倒法產(chǎn)生的沖突，實(shí)際上是在向?qū)W生巧妙地滲透“從簡(jiǎn)單想起”的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想的滲透，是師生間談話中的自然流露?！皬?fù)雜的問(wèn)題從簡(jiǎn)單想起”，實(shí)際上是一種類比推理，是合情推理?！伴L(zhǎng)方形也是四條邊啊”很自然地將學(xué)生的視角引向類比的關(guān)鍵：兩事物之間必須有相同或相似的屬性，相似程度越高，推理的可信度就越高。

【片段二】

師：正方形上畫一條直線將它分成面積相等的兩部分，這樣的直線有幾條。請(qǐng)大家拿出正方形，折一折，畫一畫。

（學(xué)生操作，教師找不同的方法展示。）

生1：上下對(duì)折，完全重合，再左右對(duì)折，然后對(duì)角對(duì)折。

師：看一看這4條邊，這4條邊雖然來(lái)自四面八方，但都是——

生2：相交于中間的點(diǎn)。

師：我們把這樣的點(diǎn)叫中心點(diǎn)，在折的過(guò)程中我們有了哪些新的發(fā)現(xiàn)？

生3：可以分成兩個(gè)梯形，這個(gè)梯形少的部分（指梯形的上底）在另一個(gè)梯形中也有，多的部分（指梯形的下底）在那個(gè)梯形里也有。這樣兩個(gè)梯形就一樣了。

生4：這條邊不是隨便畫的，是圍繞中心點(diǎn)畫的。

師：只要找到怎樣的直線，就可以將這個(gè)正方形分成面積相等的兩部分？

生5：我感覺(jué)只要通過(guò)中心點(diǎn)，就可以了。

師：這位同學(xué)很有感覺(jué)，但我們還需要驗(yàn)證。

生6：可以剪開(kāi)分成兩份，看能不能重合。

（學(xué)生操作，經(jīng)過(guò)中心點(diǎn)任意畫一條直線，可以剪，也可以測(cè)量。）

師：我看到了兩種不同的驗(yàn)證方法 ，一種是經(jīng)過(guò)中心點(diǎn)，有意地畫一條不一定就能確定的直線再剪開(kāi)，另一種是沿對(duì)折的折痕剪開(kāi)，你更欣賞哪一種？

生7：第一種，因?yàn)榈诙N不需要驗(yàn)證了。

……

【賞析】大部分學(xué)生都知道“正方形中有4條直線能將它分成面積相等的兩部分”，基于對(duì)這一學(xué)情的把握，教師及時(shí)地將這種經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行提升，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的關(guān)鍵，都相交于中心點(diǎn)。當(dāng)學(xué)生憑直覺(jué)發(fā)現(xiàn)其他的經(jīng)過(guò)中心點(diǎn)的直線也可能將正方形平均分成面積相等的兩部分時(shí)，進(jìn)行驗(yàn)證的想法自然產(chǎn)生。學(xué)生在此感受到猜想—驗(yàn)證的探究過(guò)程。在這個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師重視對(duì)學(xué)生的方法指導(dǎo)，特別是驗(yàn)證的方法對(duì)學(xué)生的適當(dāng)啟發(fā)。

【片段三】

師：長(zhǎng)方形呢？平行四邊形呢？

師：這些想法是對(duì)的嗎？是的，還需要科學(xué)的驗(yàn)證。你準(zhǔn)備怎么研究？

生1：先找中心。

師：為什么不從頭開(kāi)始？是的，我們經(jīng)常是借鑒之前的規(guī)律進(jìn)行新的研究。

（學(xué)生操作后交流。）

師：研究到這兒，我們似乎找到了規(guī)律，借助這樣的研究，我們來(lái)看一開(kāi)始的那個(gè)問(wèn)題，正六邊形能有多少條將它分成面積相等的兩部分的直線？

生2：無(wú)數(shù)條。這無(wú)數(shù)條直線都經(jīng)過(guò)中心點(diǎn)。

（教師課件演示。）

師：正八邊形、正二十邊形呢？你想說(shuō)什么？

生3：我感覺(jué)只要有中心點(diǎn)的圖形都有無(wú)數(shù)條將它分成面積相等兩部分的直線。

生4：我覺(jué)得三角形不可以。普通的三角形不可以，直角三角形不可以。

生5：等邊三角形也沒(méi)有無(wú)數(shù)條。

師：同學(xué)們有這么多猜想、追問(wèn)，把掌聲送給大家！

師：在研究數(shù)學(xué)的過(guò)程中，最重要的是學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，對(duì)自己已有的結(jié)論產(chǎn)生新的猜想，這是非常難能可貴的。既然有了猜想與疑問(wèn)就需要驗(yàn)證，我給大家準(zhǔn)備了一個(gè)正三角形，還準(zhǔn)備了一個(gè)正五邊形。跟同桌先想一想，有沒(méi)有直線能將它分成面積相等的兩部分？如果有，有多少條？把你找到的畫出來(lái)。

（學(xué)生操作，交流。）

生6：正三角形找到了3條。找到中心點(diǎn)，隨便畫了經(jīng)過(guò)中心點(diǎn)的一條線，結(jié)果發(fā)現(xiàn)不相等。

生7：經(jīng)過(guò)正五邊形的中心點(diǎn)，只有5條能將它分成面積相等兩部分的直線。

生8：每個(gè)圖形不都是有無(wú)數(shù)條將它分成面積相等兩部分的直線。

生9：我發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律，邊數(shù)是雙數(shù)的正多邊形，有無(wú)數(shù)條將它分成面積相等兩部分的直線，邊數(shù)是單數(shù)的沒(méi)有無(wú)數(shù)條。

……

【賞析】在這個(gè)教學(xué)片段中，經(jīng)歷了研究正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形的過(guò)程，積累了確定中心點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)，正八邊形、正二十邊形的出現(xiàn)及相關(guān)的操作、驗(yàn)證，進(jìn)一步強(qiáng)化了“只要經(jīng)過(guò)這個(gè)圖形的中心點(diǎn)的直線就可以將這個(gè)圖形分為面積相等的兩部分”這個(gè)結(jié)論，同時(shí)，這些素材的出現(xiàn)，也促使學(xué)生產(chǎn)生新的猜想：“是不是所有的圖形都有無(wú)數(shù)條將它分成面積相等兩部分的直線？”此前，學(xué)生經(jīng)歷了猜想、驗(yàn)證的過(guò)程，自然地想到要進(jìn)行驗(yàn)證，很快地發(fā)現(xiàn)這個(gè)猜想的缺陷，繼而又完善猜想。整個(gè)教學(xué)過(guò)程，教師給學(xué)生的空間很大，問(wèn)題給學(xué)生提，方法也由學(xué)生想。學(xué)生積累了經(jīng)驗(yàn)，收獲了方法，課堂得以延伸。

總之，從這節(jié)課中，筆者體會(huì)到：

1.規(guī)律重要，但方法更重要。數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生掌握知識(shí)、形成技能、發(fā)現(xiàn)規(guī)律固然重要，更重要的是讓學(xué)生知道怎么研究這些規(guī)律。正如課的最后莊老師引用畢達(dá)哥拉斯的話：“在數(shù)學(xué)的世界里，重要的不是我們已經(jīng)知道什么，重要的是我們?cè)趺粗朗裁吹?。”本?jié)課，莊老師站在讓兒童學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考的角度，把握整個(gè)教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷了觀察、嘗試、猜想、驗(yàn)證得出結(jié)論的過(guò)程。最后，當(dāng)學(xué)生以為規(guī)律要塵埃落定時(shí)，又產(chǎn)生新的疑問(wèn)：所有圖形都有無(wú)數(shù)條將它分成面積相等兩部分的直線嗎？再次反思、驗(yàn)證，向?qū)W生展示了探索規(guī)律的方法與路徑，不斷地猜想、驗(yàn)證、質(zhì)疑、完善。學(xué)生收獲的是思想方法，數(shù)學(xué)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在操作與交流反思中積累與沉淀。

2.教師要有課程意識(shí)。數(shù)學(xué)不只有枯燥和呆板的一面，數(shù)學(xué)是生動(dòng)與豐富的。兒童數(shù)學(xué)課是實(shí)踐活動(dòng)課程，在活動(dòng)中有數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng)，數(shù)學(xué)思想的滲透、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累需要在“做”的過(guò)程和“思考”的過(guò)程中積淀。數(shù)學(xué)的世界有大量的素材，因此，教師應(yīng)有課程開(kāi)發(fā)意識(shí)，建立大數(shù)學(xué)教育觀。只有這樣，才能成為一個(gè)真正意義上的數(shù)學(xué)教師。

（作者單位：江蘇省南通市通州區(qū)西亭小學(xué)）

□責(zé)任編輯 周瑜芽

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