基于切比雪夫最佳逼近意義下的CPI指數(shù)變化通道的原理與方法

摘要中國2000-2015年的186組CPI指數(shù)所體現(xiàn)的變化規(guī)律，可以用通道原理來描述.通道類似于交通圖中的道路，依據(jù)切比雪夫最佳逼近原理，以CPI函數(shù)為中心線，以極小化最大正負(fù)誤差為邊界線，包含了所有的CPI數(shù)據(jù)，是一條具有最大安全范圍意義的數(shù)據(jù)通道.假設(shè)端點(diǎn)數(shù)據(jù)是建立在零誤差基礎(chǔ)上的最大權(quán)重數(shù)據(jù)，未來短期內(nèi)CPI指數(shù)的變化不存在突變，或存在突變但其誤差不大于通道內(nèi)的最大正負(fù)誤差，則通道的延伸可以預(yù)測未來CPI指數(shù)的變化，以及變化的波動范圍.介紹了CPI通道的基本原理與方法、適用范圍、判別法則、具體算法等.通過多個數(shù)據(jù)處理實(shí)例，說明了直線通道具有簡單易懂、直觀性強(qiáng)、計(jì)算方便、適用范圍廣、符合性較好等特點(diǎn)，驗(yàn)證了未來短期CPI指數(shù)變化基本是可知與可控的.

關(guān)鍵詞切比雪夫；最佳逼近；零誤差型極小極大逼近；CPI指數(shù)；CPI通道

中圖分類號 文獻(xiàn)標(biāo)識碼A

Principle and Method of CPI Index Change Channel

Based on Chebyshev Optimal Approximation Significance

GU Lemin

（Tongji University，College of Material Science and Engineering， Shanghai200092，China）

AbstractThe 186 sets of CPI index data from 2000 to 2015 years in China reflected some rules， which can be described by Channel principle and the corresponding method. Channel is a data channel with the largest security sense，which based on Chebyshev approximation theory，to the CPI function as its center line， to minimize the maximum positive and negative error as its boundary line，and contains all the CPI data.Assuming that the endpoint data is the largest weight data based on zero error， there is no mutation of CPI index in the short term， or mutation but the error is less than channel's maximum positive and negative error，then the future CPI index can be given by the channel through the forecast value and fluctuation value.This article introduced the CPI channel principle and its method， the applicable scope， the judging rules，the concrete algorithm， etc.Through some examples of data processing， this paper shows that the straight line channel is easy to understand， intuitively simple and strong， convenient in the computation， broad in the applicable scope， good in the compliance， and also verifies that the scope of future shortterm changes in the CPI index is knowable and controllable.

Key wordsChebyshev； optimal approximation； zeroerror type of minimax approximation； CPI index； CPI channel

1引言

居民消費(fèi)價格指數(shù)（Consumer Price Index，簡稱CPI指數(shù)），是普通消費(fèi)者所購買的物品與勞務(wù)的總費(fèi)用的衡量標(biāo)準(zhǔn)，反映了一定時期內(nèi)價格變動程度和趨勢的相對數(shù).CPI指數(shù)不僅受商品價格的影響，比如糧價[1]、房價[2]等，也有對其權(quán)重經(jīng)常進(jìn)行調(diào)整的一個動態(tài)過程，這使得CPI指數(shù)變化具有隨機(jī)性大、難以找到一般變化規(guī)律、難以進(jìn)行預(yù)測等特征.對CPI預(yù)測理論及方法成為許多學(xué)者關(guān)注的問題，目前主要有，基于小波分解自回歸模型分析法[3]、VAR 模型法[4]、ARIMA模型法[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[6]、灰色GM（1，1）模型法[7]等.

2000年以來的CPI指數(shù)積累了186組數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)是離散的，孤立的，數(shù)據(jù)之間的關(guān)系是不明確的，數(shù)據(jù)的來源是有一定統(tǒng)計(jì)誤差的.這些看似雜亂無章的數(shù)據(jù)背后，仿佛總有一只無形的手在操縱著CPI數(shù)據(jù)的變化，稱這只無形的手為“隱函數(shù)”.或許這只無形的手根本就不存在，因?yàn)镃PI指數(shù)的波動含有大量的“人類因素”，或許存在但目前難以找到，但這不影響探討的本質(zhì).任何一個運(yùn)動、變化、發(fā)展的事物，都存在其本質(zhì)的內(nèi)在規(guī)律，都是可以從變化的過程中找到.

構(gòu)建隱函數(shù)的目的，是要用數(shù)學(xué)的方法來探索CPI變化的某些規(guī)律.CPI指數(shù)屬于一種“近程有序，遠(yuǎn)程無序”的數(shù)據(jù)變化形式，在較短的局部范圍內(nèi)，其變化具有一定的規(guī)律可循.從長期全局范圍看，其變化呈大波動狀失去規(guī)律.這也就是說，用具有軌跡特征的曲線是難以描述這種變化的，必須用其它的方法，一種既包含著曲線又不局限于曲線的方法去描述.endprint

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第 32卷第3期

顧樂民：基于切比雪夫最佳逼近意義下的CPI指數(shù)變化通道的原理與方法

切比雪夫（P.L.Chebyshev，1821～1894）創(chuàng)立的最佳一致逼近原理，最早源于19世紀(jì)對機(jī)器的機(jī)械運(yùn)動按理想設(shè)計(jì)運(yùn)動的研究.將該原理運(yùn)用于CPI指數(shù)變化，可以構(gòu)建一條切比雪夫最佳逼近意義下的CPI指數(shù)變化通道.CPI指數(shù)變化是有限的變化，可以用2條曲線，1條稱為上界限，另1條稱為下界限，將所有的數(shù)據(jù)都囊括其中，并形成一條延伸的通道.通道將雜亂無章的數(shù)據(jù)加以規(guī)范和約束，而隱函數(shù)必定在通道之內(nèi)，通過數(shù)學(xué)的方法可以找

到最佳逼近意義下的隱函數(shù)，使CPI的變化成為可知與可控.由于通道具有連續(xù)性，變化具有慣性，所以通道的外延具有一定的預(yù)測效應(yīng)，可以推斷出未來可能的變化趨勢，為決策提供有價值的參考.

切比雪夫最佳逼近意義下的數(shù)據(jù)通道的建立與應(yīng)用，文獻(xiàn)[8]有較為詳細(xì)的描述.由于CPI指數(shù)具有變化莫測的特殊性，從最簡單的“直線通道”入手，通過建立通道而闡述其基本的原理與方法，并用186組數(shù)據(jù)按序做30個數(shù)據(jù)處理的實(shí)例，以檢驗(yàn)預(yù)測的效果.

2 原理與方法

切比雪夫最佳逼近的核心是最大絕對值誤差極小化，由此構(gòu)成了極小極大曲線擬合法，適用于一個封閉系統(tǒng)內(nèi)的描述，具有廣泛的應(yīng)用[9].由于最大誤差一般都是在端點(diǎn)處出現(xiàn)，在定義區(qū)間外是發(fā)散的，這從切比雪夫多項(xiàng)式的所有圖形中可以看出，所以不適合用于預(yù)測.對預(yù)測而言，預(yù)測的誤差越小越好，而不是最大甚至發(fā)散.零誤差型極小極大逼近是切比雪夫最佳逼近原理的一個推廣，是通過若干零誤差點(diǎn)限制端點(diǎn)誤差為最大，達(dá)到端點(diǎn)外誤差不發(fā)散的目的，其理論基礎(chǔ)是零誤差型切比雪夫多項(xiàng)式[10]，以及相應(yīng)的預(yù)測理論[11].對于CPI指數(shù)的預(yù)測，只需提供1個零誤差點(diǎn)，在坐標(biāo)系上是指最右端（簡稱端點(diǎn)，下同）的數(shù)據(jù)點(diǎn)，這使復(fù)雜的問題可以簡化敘述.

2.1零誤差型極小極大法（ZMinimax method）

數(shù)據(jù)（xi，yi） i=1，2，…，m是隱函數(shù)y（x）在有定義的區(qū)間內(nèi)給出的m個離散點(diǎn)組，為找到隱函數(shù)y（x），設(shè)擬合函數(shù)f（x）=f（x，a），其中參數(shù)a=（a1，a2，…，an） ，n≤m，而a1，a2，…，an為n個不全為零的實(shí)數(shù).為使f（x）盡可能接近y（x），設(shè)誤差函數(shù)r（x）=y（x）-f（x），而誤差值ri是誤差函數(shù)r（x）上的具體數(shù)值：

ri=yi-f（xi，a），i=1，2，…，m. （1）

零誤差型極小極大法，是將端點(diǎn)數(shù)據(jù)誤差設(shè)定為零誤差rm=0條件下，依據(jù)最大絕對值誤差極小化的準(zhǔn)則來選擇參數(shù)a，即依據(jù)

rm=ym-f（xm，a）=0，E=max1≤i≤m-1ri=max1≤i≤m-1yi-f（xi，a）→min（2）

而構(gòu)成的一種方法，是切比雪夫最大絕對值誤差極小化基本準(zhǔn)則的一個推廣.

2.2解的實(shí)現(xiàn)

如果零誤差型極小極大解存在，即存在a=a使

rm=ym-f（xm，a*）=0，E*=max1≤i≤m-1ri=max1≤i≤m-1yi-f（xi，a*）=min. （3）

則至少存在1個零誤差點(diǎn)和n個切比雪夫交錯點(diǎn)x1，x2，…，xn使

rm=ym-f（xm，a*）=0，E*=maxj=1，2，…，nrj=maxj=1，2，…，nyj-f（xj，a*）=min. （4）

稱參數(shù)a為極小極大最佳擬合參數(shù)，稱f（xj，a）為極小極大最佳擬合方程，稱E*為最佳逼近值，它們構(gòu)成了零誤差型極小極大逼近的一般解.

2.3零誤差

所謂零誤差就是沒有誤差或誤差為零.當(dāng)將端點(diǎn)數(shù)據(jù)的誤差設(shè)定為零時，可使短期的預(yù)測得到保證.從曲線變化的一般規(guī)律來看，零誤差的兩端是以“-，0，+”或“+，0，-”形式出現(xiàn)，越接近零點(diǎn)，誤差絕對值就越小.這就給出一個提示，將端點(diǎn)誤差設(shè)定為零誤差即ym-f（xm）=0，則對于端點(diǎn)外臨近的數(shù)據(jù)，其預(yù)測誤差rm+1=ym+1-f（xm+1）的絕對值也必定不會大，這為預(yù)測的準(zhǔn)確性提供了理論依據(jù)，僅在出現(xiàn)大隨機(jī)誤差的特例下才會無法成立[11].

2.4CPI通道

某個變化的過程和狀態(tài)可用“通道”來描述，例如，處于下降（或上升）的通道之中等.通道，來往暢通的道路，與交通圖中的道路相似，是擬人化的表達(dá).零誤差型極小極大逼近意義下的CPI指數(shù)變化通道，簡稱CPI通道（下同）有以下幾個特征：

1）通道的構(gòu)成.通道由1條中心線，2條邊界線共同構(gòu)建；中心線是CPI函數(shù)轉(zhuǎn)化的曲線，也稱為路線是前行的指導(dǎo)線；邊界線是距中心線兩旁±E的曲線.通道用Channel（x）表示：

Channel（x）=fx±E（5）

2）通道的作用.通道將離散的、有隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)加以分類和規(guī)范，它依據(jù)最佳逼近值±E將全部的數(shù)據(jù)規(guī)范在通道內(nèi)，指出了位于邊界線上的數(shù)據(jù)，由于偏離中心線最遠(yuǎn)，屬于波動最大的大誤差數(shù)據(jù)；通道將端點(diǎn)數(shù)據(jù)的誤差設(shè)定為零誤差，廢除了所有數(shù)據(jù)是權(quán)重相等的慣例，使權(quán)重往端點(diǎn)數(shù)據(jù)傾斜，并使對未來的預(yù)測建立在零誤差的基礎(chǔ)上；通道包含了所有的數(shù)據(jù)，所以隱函數(shù)必定在通道內(nèi)，通過數(shù)學(xué)方法可以找到最佳逼近意義下的隱函數(shù)，或近似隱函數(shù).

3）通道的意義.將理論的指導(dǎo)路線與實(shí)際行走的軌跡聯(lián)系在一起，數(shù)據(jù)沿著中心線前行，但實(shí)際是在偏離和糾正偏離中前行的；通道指出了數(shù)據(jù)變化的最大范圍，限定了安全的最大界線；在最大安全范圍內(nèi)去探尋隱函數(shù)，從而找到CPI變化的某些規(guī)律，用于解釋過于、指導(dǎo)現(xiàn)在、預(yù)測未來.

3具體算法

由于CPI數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，波動性，難預(yù)測性，用通道的原理和方法尋找數(shù)據(jù)之間的關(guān)系有較好的效果.下面用圖示法加以介紹，用的是直線型通道.圖1橫坐標(biāo)x是月，縱坐標(biāo)y是CPI指數(shù)值（無量綱）.圖中參與計(jì)算的CPI數(shù)據(jù)yi是12個，均在虛線之內(nèi)，虛線外的數(shù)據(jù)有1個，不參與計(jì)算.endprint

3.1通道的構(gòu)成

通道的中心線是擬合函數(shù)描述f（x）=f（x，a），與2條邊界線共同構(gòu)建成通道f（x）±E.通道內(nèi)包含了12個數(shù)據(jù).由式（4）產(chǎn)生的最大正負(fù)誤差點(diǎn)位于邊界線上，如圖1中的點(diǎn)A和點(diǎn)B.通道內(nèi)有1個零誤差點(diǎn)，位于數(shù)據(jù)的端點(diǎn)，如圖1中的點(diǎn)C.

3.2零誤差點(diǎn)

零誤差點(diǎn)是人為設(shè)置的點(diǎn)，目的有3個：首先是將相等權(quán)重的數(shù)據(jù)變?yōu)椴坏葯?quán)重，一般而言，距離現(xiàn)在最近的數(shù)據(jù)應(yīng)該有較大的權(quán)重，而較遠(yuǎn)的權(quán)重可以較小，這對于預(yù)測而言是合理的，所以端點(diǎn)數(shù)據(jù)是權(quán)重最大的數(shù)據(jù).其次是使未來的預(yù)測建立在誤差為零的基礎(chǔ)上，這對于未來的預(yù)測誤差，難以判斷是正還是負(fù)而言，是合理的.再次是一般在零點(diǎn)附近的數(shù)據(jù)其誤差絕對值一般都是較小的，這使短期預(yù)測準(zhǔn)確性有了理論上的依據(jù).

3.3邊界線

大誤差數(shù)據(jù)的出現(xiàn)，會使邊界線外移，使通道變寬.為使通道收窄，必須將最大（正負(fù)）誤差極小化.圖中由點(diǎn)A和點(diǎn)B的這2個最大誤差又都是極小化的，所以邊界線也是極小化的，使通道收窄.從安全意義上說，切比雪夫最佳逼近意義下的通道，是最窄的通道，也是數(shù)據(jù)變化的最大安全范圍，超出這個范圍就有可能是不安全或欠安全的.

3.4預(yù)測假設(shè)條件

若未來短期CPI指數(shù)的變化不存在突變，或存在突變但其最大絕對誤差不大于通道內(nèi)的最大絕對值誤差，則通道的外推延伸能較好的給出未來CPI指數(shù)變化的趨勢.預(yù)測是建立在預(yù)測值f（xm+1）與最大正負(fù)誤差±E基礎(chǔ)上的，描述了CPI指數(shù)未來可能的數(shù)值與最大的波動范圍：f（xm+1）±E.從統(tǒng)計(jì)概率角度出發(fā)，大部分變化不會超出f（xm+1）±E，這樣就使得CPI指數(shù)未來的變化成為可知與可控.

3.5判斷法則與具體算法

判斷法則主要是判斷異常解是否存在，以及如何處理的問題.

最大絕對值誤差與最小絕對值誤差（即零誤差）之間在本質(zhì)上是不相容的，強(qiáng)制將原本是最大誤差的端點(diǎn)改為零誤差點(diǎn)，會導(dǎo)致方程結(jié)構(gòu)大的改變，甚至?xí)狗匠坛霈F(xiàn)一種病態(tài)狀，結(jié)果是預(yù)測準(zhǔn)確性變差.異常解出現(xiàn)的原因一般在于數(shù)據(jù)的隨機(jī)性偏大，數(shù)學(xué)模型選擇的不當(dāng)所致.具體算法包含判斷法則，主要步驟如下.

1）判斷：先用最小二乘法對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，進(jìn)行判斷.若用最小二乘法的數(shù)據(jù)處理，其最大絕對值誤差出現(xiàn)在端點(diǎn)，且該誤差值較其他誤差值明顯放大，則該點(diǎn)就是異常數(shù)據(jù)點(diǎn)，其解將可能會出現(xiàn)異常.最小二乘法是個簡單方便的數(shù)據(jù)處理法，它所獲得的最大絕對值誤差一般也是極小極大法的最大絕對值誤差，所以用最小二乘法進(jìn)行預(yù)處理，用的是其方便與有效.

2）處理：對于異常數(shù)據(jù)，可以通過增加或減少數(shù)據(jù)數(shù)目，或轉(zhuǎn)移零誤差點(diǎn)，或改變數(shù)學(xué)模型等方式進(jìn)行處理；若異常數(shù)據(jù)雖然存在，但誤差在允許的范圍內(nèi)，可不作處理.

3）求解：取直線方程為f（xi）=a+bxi，對于式（4）設(shè)1≤j，k≤m-1，j≠k，可以通過

a=ym-2ym-yj-yk2xm-xj-xkxm，

b=2ym-yj-yk2xm-xj-xk，

E=yj-ym+2ym-yj-yk2xm-xj-xkxm-xj.（6）

獲得參數(shù)a，b及逼近值E.取不同的 j，k，使最大的E為極小minmaxE=E*，從而獲得最佳逼近值E*，此時獲得的參數(shù)即為最佳參數(shù)a*，b*.

4數(shù)值分析

2000年1月-2015年6月我國CPI指數(shù)來自國家統(tǒng)計(jì)局，共186個，每年的數(shù)據(jù)是12個，歸為1組（2015年除外），共有15組數(shù)據(jù)，先以2003年的數(shù)據(jù)處理為例.

4.1實(shí)例一

2003年1月到12月的CPI數(shù)據(jù)有12個，由判斷法則進(jìn)行預(yù)處理，用最小二乘法得到的方程用P2003（xi）表示：P2003（xi）=99.41+0.26xi，經(jīng)判斷，端點(diǎn)i=12不是最大誤差點(diǎn)，可以運(yùn)用零誤差型極小極大逼近，得到的方程用f2003（xi）表示，其中xi=1，2，…，12：

f2003（xi）=99+0.35xi.（7）

極小化的最大絕對值誤差出現(xiàn)在i=1，9處，為max|r|=1.05，由此構(gòu)建的2003年CPI通道為：

Channel2003（x）=f2003x±1.05，其中f2003x是f2003（xi）在去掉下標(biāo)“i”后的函數(shù)表達(dá)，定義區(qū)間為[1，12].將x13=13代入，得2004年1月CPI指數(shù)預(yù)測值及波動值：103.55±1.05.已知2014年1月CPI指數(shù)是103.2，在預(yù)測的范圍之內(nèi).將預(yù)測值與實(shí)際值進(jìn)行比較，預(yù)測的誤差為0.34%.

文中的圖1就是2003年1月至12月的CPI變化，以及CPI通道，在虛線外的點(diǎn)就是2014年1月的CPI指數(shù)，圖中有關(guān)說明可參見前文.

4.2實(shí)例二

如法炮制，按序?qū)?000，2001，…，2014年1月至12月的數(shù)據(jù)處理結(jié)果列于表1.

從表1結(jié)果看，CPI實(shí)際值都落在預(yù)測值及波動范圍之內(nèi)，所以預(yù)測的結(jié)果是有效的.其中2012年帶*的數(shù)據(jù)屬于異常的數(shù)據(jù)處理，該年11月的CPI指數(shù)為102.0，但12月增至104.6，而次年1月又回落到102.0，計(jì)算表明12月份的數(shù)據(jù)屬于異常數(shù)據(jù)，通過零誤差點(diǎn)遷移，取絕對值誤差最小的點(diǎn)為零誤差點(diǎn)，獲得表中的方程式.

4.3實(shí)例三

表2是按序2000，2001，…，2014年，當(dāng)年6月至次年5月的12個CPI數(shù)據(jù)處理以及對次年6月預(yù)測情況，共15組.其中帶*的2013/06 - 2014/05因出現(xiàn)3個零誤差點(diǎn)，故斜率為0，屬于特殊方程.為了與表1區(qū)別，方程用符號g（xi）表示.

5結(jié)論

提供的通道原理與方法，具有簡單易懂、直觀性強(qiáng)、計(jì)算方便、適用范圍廣、符合性較好等特點(diǎn)，是曲線擬合的一種推廣，目的是使預(yù)測及預(yù)測誤差成為可知與可控.由于直線通道是一個簡單的通道，在進(jìn)一步的探討中還需要逐步加以完善.

參考文獻(xiàn)

[1]鄒正方，黎智，李迪.國際糧價波動對我國CPI影響的實(shí)證分析：以玉米、大豆為例[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2012，42（17）：41-46.

[2]黃飛雪，金建東.金融危機(jī)前后中國房價指數(shù)對CPI的影響[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2010，27（3）：64-72.

[3]陳升，李星野.基于小波分解自回歸模型的CPI預(yù)測[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2012，349（1）：18-20.

[4]李慶華.基于VAR 模型的中國消費(fèi)價格指數(shù)分析[J].華中師范大學(xué)學(xué)報（人文社會科學(xué)版）.2006，45（4）： 56-61.

[5]張本麗等.基于ARIMA模型的山東省居民消費(fèi)價格指數(shù)分析[J].魯東大學(xué)學(xué)報，2010，26（3）：285-288.

[6]劉海萍.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在CPI預(yù)測中的應(yīng)用[C].第五屆（2010）中國管理學(xué)年會——市場營銷分會場論文集，2010.

[7]曾波.居民消費(fèi)價格指數(shù)的GM（1，1）模型預(yù)測[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2009，289（13）：7-8.

[8]顧樂民.基于切比雪夫最佳逼近原理的俄羅斯人口變化通道[J].俄羅斯研究，2015，191（2）：178-192.

[9]Gu LEMIN.Minimax curve fitting method in application of CD production function—— with the grain yield data in China as the example[J].Journal of Modern Agriculture.2013，2（3）：43-55.

[10]Lemin GU.ZeroError Type of chebyshev polynomials[J].International Journal of Modeling and Optimization.2013（3）：272-277.

[11]顧樂民.預(yù)測型切比雪夫多項(xiàng)式[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用.2012，48（7）：34-38.endprint