關(guān)于環(huán)的兩個(gè)元素和的性質(zhì)的進(jìn)一步討論

林大華,戴立輝

（閩江學(xué)院數(shù)學(xué)系，福建福州350108）

關(guān)于環(huán)的兩個(gè)元素和的性質(zhì)的進(jìn)一步討論

林大華,戴立輝

（閩江學(xué)院數(shù)學(xué)系，福建福州350108）

結(jié)合環(huán)元素的乘法運(yùn)算，對(duì)環(huán)中兩個(gè)元素和的性質(zhì)作進(jìn)一步的討論，得到了若干結(jié)果。

環(huán)；元素之和；性質(zhì)

環(huán)是具有加法和乘法兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)，加法在環(huán)理論中占有極其重要的地位。由于環(huán)關(guān)于加法構(gòu)成的代數(shù)結(jié)構(gòu)是加群，因此，環(huán)R中的兩個(gè)元素a,b的和a+b具有加群元素和的所有性質(zhì)，所以單純討論環(huán)中兩個(gè)元素和的性質(zhì)意義不大。本文試圖通過結(jié)合環(huán)元素的乘法運(yùn)算來(lái)討論環(huán)中兩個(gè)元素的和，從而進(jìn)一步得到環(huán)的兩個(gè)元素和的若干性質(zhì)。

1 預(yù)備知識(shí)

用R表示環(huán)；當(dāng)R有單位元時(shí)，用1表示R的單位元；用N表示自然數(shù)集合。

定義1[1]設(shè)R是環(huán)，a∈R。

（1）若存在正整數(shù)k，使得ak=0，則稱a是冪零元。

（2）若a2=a，則稱a是冪等元。

（3）若R有單位元，且存在a-1∈R，使得aa-1=a-1a=1，則稱a是可逆元，稱a-1是a的逆元。

（4）若a≠0，且存在 0≠b∈R（0≠c∈R），使得ab=0(ca=0)，則稱a是左（右）零因子。

定理1[2]設(shè)R是有單位元的環(huán)，a,b∈R，則

（2）當(dāng)ab=ba時(shí)，

（3）當(dāng)ab=ba時(shí)，，其中k≥2,k∈N；

（4）當(dāng)ab=ba時(shí)，

其中k≥2,k∈N。

推論1設(shè)R是有單位元的環(huán)，a∈R，則

定理2[3]設(shè)R是有單位元的有限環(huán)，a,b∈R，若ab=1，則ba=1。

2 主要結(jié)論

定理3設(shè)R是環(huán)，a,b∈R，則

（1）當(dāng)a,b是中心元時(shí)，a±b也是中心元。

（2）當(dāng)a,b是冪零元，且ab=ba時(shí)，a±b也是冪零元。

（3）當(dāng)a,b是冪等元，且ab=ba時(shí)，a+b也是冪等元?ab=0。

證明（1）因?yàn)?r∈R，有ar=ra，br=rb，所以有

(a±b)r=ar±br=ra±rb=r(a±b)，故a±b也是中心元。

（2）由a,b是冪零元知，存在正整數(shù)m,n，使得am=0,bn=0。又(a±b)m+n=0，故a±b是冪零元。

（3）由a,b是冪等元，得，所以a+b是冪等元

定理4設(shè)R是有單位元的環(huán)，且ab=ba，則

（1）當(dāng)a是冪零元，b是可逆元時(shí)，a±b是可逆元。

（2）當(dāng)a(≠0,1)是冪等元時(shí)，a-1既是左零因子，又是右零因子。

證明（1）因?yàn)閍是冪零元，所以存在正整數(shù)k，使得ak=0，于是

故a±b是可逆元，且

（2）因?yàn)閍是冪等元，所以a2=a，于是，從而由可知，a-1既是左零因子，又是右零因子。

推論2設(shè)R是有單位元的環(huán)，如果是冪零元，則a±1是可逆元，且當(dāng)ak=0時(shí)，有

定理5設(shè)R是有單位元的環(huán)，a,b,a+b是R的可逆元，則也是R的可逆元，且

證明由，得，所以由a是可逆元知，是a的逆元，于是有，再由條件可知可逆，由此可知是的逆元，從而有

定理6設(shè)R是有單位元的環(huán)，，則

推論3設(shè)R是有單位元的有限環(huán)，a,b∈R，則

證明由定理6及定理2可得：

推論4設(shè)R是有單位元的環(huán)，a,b∈R，則

（1）當(dāng)R是有限環(huán)時(shí)，若a+b=ab（或-ab），則ab=ba。

（2）當(dāng)a-1（或a+1）是可逆元時(shí)，若a+b=ab（或-ab），則ab=ba。

證明（1）因?yàn)閍+b=ab，所以由推論3，有b-1=(a-1)-1，于是

定理7設(shè)R是有單位元的有限環(huán)，則

證明（1）由推論4，有，所以當(dāng)a是可逆元時(shí)，有，于是有，因此b是可逆元，且，即。

反之，當(dāng)b是可逆元時(shí)，有，于是有，因此a是可逆元，且，即。

反之，當(dāng)b是可逆元時(shí)，有，于是有，因此a是可逆元，且，即。

[1]熊全淹.近世代數(shù)[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1978.

[2]韓士安,林磊.近世代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[3]楊子胥，宋寶和.近世代數(shù)習(xí)題解[M].濟(jì)南，山東科學(xué)技術(shù)出版社，2003.

Ker words:ring;sum of two elements;property

〔責(zé)任編輯 高?！?/p>

Further Discussion on Property of the Sum of Two Elements in Ring

LIN Da-hua,DAI Li-hui
(Department of Mathematics,Minjiang University,Fuzhou Fujian,350108)

In this paper,we deeply discuss property of the sum of two elements by multiplication in ring.

O153.3

A

1674-0874(2015)03-0018-02

2015-02-27

福建省中青年教師教育科研項(xiàng)目[JB13164];閩江學(xué)院2013年度教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目[MJUB2013033]

林大華（1959-），男，福建福州人，副教授，研究方向:代數(shù)學(xué)。