在非對(duì)易空間中Aharonov-Bohm效應(yīng)和中性粒子的量子相位?

阿布都外力·艾尼瓦爾，孫冬婷，路彬彬，江濤，賈振紅

(1.烏魯木齊民族干部學(xué)院，新疆烏魯木齊830002；2.新疆大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，新疆烏魯木齊830046)

0 引言

近年來，自從弦理論與非對(duì)易理論之間的關(guān)系被揭示以后，有關(guān)非對(duì)易空間各種物理問題的研究引起了理論物理學(xué)界的廣泛關(guān)注[1?4].在弦的尺度或高能條件下（TeV或更高的能量）時(shí)空會(huì)顯出其非對(duì)易性質(zhì)，因此對(duì)時(shí)空非對(duì)易性產(chǎn)生的物理效應(yīng)的研究是近期理論物理領(lǐng)域的熱門課題.最近，除了量子場(chǎng)論中的問題以外，量子力學(xué)的很多問題也引起了理論物理學(xué)界的廣泛關(guān)注[5?9].在通常的對(duì)易空間中，國內(nèi)外此類問題已研究的比較成熟.近年來隨著對(duì)非對(duì)易時(shí)空的認(rèn)識(shí)不斷深入，很多物理學(xué)家又重新將這些問題放在非對(duì)易背景下研究，得到了與非對(duì)易性有關(guān)的一些重要結(jié)論，而這些結(jié)論又進(jìn)一步加深了我們對(duì)非對(duì)易效應(yīng)本質(zhì)的認(rèn)識(shí).很多情況下，人們開始在非對(duì)易空間中研究有關(guān)量子相位的問題.如Aharonov-Bohm效應(yīng)（AB效應(yīng)）和Aharonov-Casher效應(yīng)（AC效應(yīng)）在非對(duì)易空間中以及非對(duì)易相空間中已開始進(jìn)一步研究[10?18].文獻(xiàn)[10-12]詳細(xì)的研究了在非對(duì)易空間中和非對(duì)易相空間中AB效應(yīng)；在非對(duì)易空間和非對(duì)易相空間中的AC效應(yīng)以及在非對(duì)易量子力學(xué)中的He-McKellar-Wilkens效應(yīng)（HMW效應(yīng)）在文獻(xiàn)[13-17]中詳細(xì)地研究過；非對(duì)易量子霍爾效應(yīng)在文獻(xiàn)[18-20]中被詳細(xì)地討論了；在文獻(xiàn)[21]中作者詳細(xì)地研究了在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的且具有電偶極矩和磁偶極矩的中性粒子的非對(duì)易量子力學(xué)行為.目前為止，還沒有文獻(xiàn)專門研究過電四極矩在電磁場(chǎng)中的量子相位問題.所以在非對(duì)易情況下研究電四極矩的量子相位是很有意義的.

在前人對(duì)非對(duì)易時(shí)空理論和對(duì)粒子的AB效應(yīng)、AC效應(yīng)、HMW效應(yīng)和對(duì)具有電四極矩的中性粒子的量子相位已有研究的基礎(chǔ)上，本文從非對(duì)易量子力學(xué)入手，從坐標(biāo)變換開始，在非對(duì)易空間中分別對(duì)外場(chǎng)做變換來得到在非對(duì)易空間中的對(duì)應(yīng)場(chǎng)，以此研究非對(duì)易空間中的AB效應(yīng)和帶電偶極矩，電四極矩和電多極矩的中性粒子的AB相位.這樣，避開了星乘積（star product）方法，解決非對(duì)易空間中的問題就變得簡單多了.

這篇論文的安排如下：在第2節(jié)，我們將簡短地回顧在對(duì)易空間中的AB效應(yīng)和中性粒子的量子相位；在第3節(jié)，我們將通過對(duì)外場(chǎng)的變換來得到AB效應(yīng)和中性粒子的量子相位；在最后一節(jié)會(huì)給出這篇論文所得到的一些結(jié)論.

1 在對(duì)易空間中的AB效應(yīng)和中性粒子的量子相位

AB:1959年,Aharonov和Bohm(AB)[22]提出了與電子的通常的AB效應(yīng)和電AB效應(yīng)有關(guān)的兩類干涉實(shí)驗(yàn).其中通常的AB效應(yīng)是指，在電子的雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中，若在雙縫后面放置一個(gè)細(xì)長的螺線管，當(dāng)螺線管通以電流從而在管內(nèi)產(chǎn)生磁場(chǎng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)干涉條紋移動(dòng).按經(jīng)典力學(xué)，由于兩束電子束的路徑上=0，電子不受Lorentz力，電子的運(yùn)動(dòng)不會(huì)受影響，原來的兩束電子的干涉條紋不會(huì)改變.電磁相互作用的一個(gè)基本原理是局域相互作用，即某點(diǎn)上的點(diǎn)和電流僅受到該點(diǎn)處場(chǎng)的作用.所以螺線管內(nèi)的場(chǎng)不可能直接作用到管外的電子上.用經(jīng)典理論是不能解釋電子的這種行為的，這是一種量子效應(yīng).雖然螺線管外的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為零，但是矢勢(shì)=0，矢勢(shì)可以對(duì)電子發(fā)生相互作用.因此，AB效應(yīng)表明矢勢(shì)具有可觀測(cè)的物理效應(yīng)，它可以影響電子波束的相位，從而使干涉條紋發(fā)生移動(dòng).按量子力學(xué)，由于電子Hamiltonian中包含著磁勢(shì)，兩束電子的波函數(shù)差一個(gè)相位因子，電子之間的干涉條紋發(fā)生變化.AB效應(yīng)的存在說明磁場(chǎng)的物理效應(yīng)不能完全用來描述.這種量子相位如下給出[22]：

（這里我們用到了 =c=1單位）

另一種是帶電粒子的電AB效應(yīng).電AB效應(yīng)是指，帶電粒子在電場(chǎng)中所發(fā)生的相位是由標(biāo)勢(shì)φ(x,t)引起的.這種量子相位如下給出[22]：

He-McKellar-Wilkens效應(yīng)（HMW效應(yīng)）:He，McKellar[23]和Wilkens[24]獨(dú)立地預(yù)言了一種帶電偶極矩的中性粒子的量子相位，即當(dāng)中性粒子環(huán)繞平行于其電偶極矩方向的線磁荷（沿一條直線分布的磁單極子）運(yùn)動(dòng)時(shí)，將會(huì)產(chǎn)生類似于AB效應(yīng)中的量子相位.這種量子相位如下給出[24]：

帶電四極矩和電多極矩的中性粒子的量子相位：1995年，Chia-Chu Chen[25]在通常的對(duì)易空間中研究并預(yù)言了帶電四極矩和電多極矩的中性粒子的AB相位.他提出，AB相位可以發(fā)生在兩個(gè)簡單的電荷分布，即單極和偶極矩情況.他進(jìn)一步地預(yù)言了這種量子相位對(duì)于多極矩展開也是普遍存在的.

當(dāng)粒子處于靜止的時(shí)候，粒子在電磁場(chǎng)中的勢(shì)能可寫為：

很顯然，這里的Qij是無跡的對(duì)稱張量.

對(duì)于在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的帶電四極矩的中性粒子，這種量子相位給出如下[25]:

如果我們考慮到q=0，=0和Qij=0的情況，即只有粒子的電多極矩Mi1···in?i1.于是，在電磁場(chǎng)中對(duì)帶電多極矩的中性粒子來說其相互作用能為：

同樣，這里的Mi1···in也是無跡的對(duì)稱張量.

對(duì)于在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的帶電多極矩的中性粒子，這種量子相位如下給出：

2 在非對(duì)易空間中的AB效應(yīng)和中性粒子的量子相位

上節(jié)我們簡短地回顧了在通常對(duì)易空間中的AB效應(yīng)和中性粒子的量子相位.現(xiàn)在我們?cè)诜菍?duì)易空間中對(duì)這些效應(yīng)進(jìn)行進(jìn)一步的研究.

首先，我們要簡短的介紹一下非對(duì)易空間的一些性質(zhì).在弦尺度下，不僅坐標(biāo)與動(dòng)量不對(duì)易，而且出現(xiàn)了空間的非對(duì)易效應(yīng)，即坐標(biāo)與坐標(biāo)不再對(duì)易的情況.所以非對(duì)易空間是一個(gè)坐標(biāo)i與動(dòng)量i算符滿足以下對(duì)易關(guān)系的空間：

這里xi和pi是在通常的量子力學(xué)中的坐標(biāo)和動(dòng)量算符.

現(xiàn)在我們開始討論非對(duì)易空間中的AB效應(yīng)和中性粒子的量子相位.在非對(duì)易空間中研究這些問題，目前有三種方法：第一種是，在非對(duì)易空間中建立薛定諤方程，利用星乘積（star product）方法來解方程.即通過用非對(duì)易空間中的星乘積來代替對(duì)易空間中通常的乘積來寫出在非對(duì)易空間中的薛定諤方程.然后，解此薛定諤方程來得到相位.如，在非對(duì)易空間中的薛定諤方程為：

這里H(x,p)是系統(tǒng)在對(duì)易空間中的哈密頓量.這里的Moyal-Weyl乘積（星乘積）被定義為：

第二種是：利用Bopp’s變換，在非對(duì)易空間中的星乘積可以改為通常的乘積.即通過在對(duì)易空間中的哈密頓量H(x,p)與在非對(duì)易空間中的哈密頓量H替換來把星乘積改為通常的乘積.因此，薛定諤方程可以寫成：注意到方程（15）是被在對(duì)易空間中定義的.然后，在對(duì)易空間中解此薛定諤方程來得到相位.非對(duì)易效應(yīng)可以通過有關(guān)Θ的項(xiàng)來表現(xiàn)出來.

第三種方法比前兩種方法簡單、方便而且可以避免復(fù)雜的星乘積的計(jì)算，大大減輕計(jì)算量.即，在前人對(duì)AB效應(yīng)和中性粒子的量子相位已有研究的基礎(chǔ)上，我們?cè)诜菍?duì)易空間中研究問題，僅需要分別對(duì)外場(chǎng)做變換，就能得到在非對(duì)易空間中的其相對(duì)應(yīng)的量子相位.

即在電磁場(chǎng)存在的情況下，我們還需要對(duì)電磁場(chǎng)作如下的變換：

2.1 在非對(duì)易空間中的AB效應(yīng)

按照上面介紹的第三種方法，我們通過對(duì)在非對(duì)易空間中的磁勢(shì)做個(gè)變換來得到在非對(duì)易空間中的AB效應(yīng)的量子相位.即，將方程（16）代入到方程（2）中，我們得到（這里我們用到 =c=1單位制），

這是帶電粒子在非對(duì)易空間中的AB相位.這里第一項(xiàng)ΦA(chǔ)B是帶電粒子在對(duì)易空間中的AB相位；第二項(xiàng)是空間非對(duì)易所導(dǎo)致的附加項(xiàng).它們?nèi)缦陆o出：

在三維非對(duì)易空間中,i,j=1,2,3,我們可以定義一個(gè)矢量θ=(θ1,θ2,θ3),這里的θi滿足Θij=ijkθk或者因此，方程（19）可寫成：

其中是帶電粒子的動(dòng)量.其非對(duì)易性質(zhì)是通過有關(guān)θ的第二項(xiàng)表現(xiàn)出來的.從上式可以明顯地看出，若非對(duì)易參數(shù)θ=0，則在非對(duì)易空間中帶電粒子的AB相位跟對(duì)易空間中帶電粒子的AB相位結(jié)果一致(方程(2)).

2.2 在非對(duì)易空間中的電AB效應(yīng)

其中q是帶電粒子的電荷量.這是帶電粒子在非對(duì)易空間中的電AB相位.這里第一項(xiàng)ΦEAB是帶電粒子在對(duì)易空間中的電AB相位；第二項(xiàng)是空間非對(duì)易性所導(dǎo)致的附加項(xiàng).它們?nèi)缦陆o出：

在三維非對(duì)易空間中，方程（23）可寫成：

上式的非對(duì)易性質(zhì)是通過有關(guān)θ的第二項(xiàng)而表現(xiàn)出來的.從上式可以明顯地看出，若非對(duì)易參數(shù)θ=0，則在非對(duì)易空間中帶電粒子的電AB相位跟對(duì)易空間中帶電粒子的電AB相位結(jié)果一致(方程(4)).

2.3 在非對(duì)易空間中的HMW效應(yīng)

現(xiàn)在我們?cè)诜菍?duì)易空間中討論一下帶電偶極矩的中性粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)情況下的HMW效應(yīng)，即帶電偶極矩的中性粒子在磁場(chǎng)中所產(chǎn)生的AB相位.同樣的方法，我們通過對(duì)在非對(duì)易空間中的做個(gè)變換來得到在非對(duì)易空間中的帶電偶極矩的中性粒子的AB相位.通過將方程（17）代入到方程（5）中，我們可以得到，

得到的這個(gè)相位是帶電偶極矩的中性粒子在非對(duì)易空間中的電AB相位.這里第一項(xiàng)ΦHMW是帶電偶極矩的中性粒子在對(duì)易空間中的電AB相位；第二項(xiàng)是空間非對(duì)易所導(dǎo)致的附加項(xiàng).它們?nèi)缦陆o出：

在三維非對(duì)易空間中，方程（27）可寫成：

這個(gè)相位是帶電偶極矩的中性粒子在三維非對(duì)易空間中的電AB相位.這里第一項(xiàng)是帶電偶極矩的中性粒子在對(duì)易空間中的電AB相位；整個(gè)相位的非對(duì)易性質(zhì)是通過有關(guān)θ的第二項(xiàng)表現(xiàn)出來的.從上式可以明顯地看出，若非對(duì)易參數(shù)θ=0，則在非對(duì)易空間中帶電偶極矩的中性粒子的電AB相位跟在對(duì)易空間中帶電偶極矩的中性粒子的電AB相位結(jié)果一致(方程(5)).

2.4 在非對(duì)易空間中帶電四極矩或電多極矩的中性粒子的電AB相位

在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的帶電粒子將會(huì)產(chǎn)生AB相位（AB效應(yīng)）；在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的帶電偶極矩的中性粒子同樣會(huì)產(chǎn)生AB相位（HMW效應(yīng)）;那么，在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的帶電四極矩或者電多極矩的中性粒子也會(huì)產(chǎn)生AB相位嗎？這就是Chia-Chu Chen[25]所研究的問題，他預(yù)言了這種相位將會(huì)存在.這個(gè)問題我們?cè)诘诙?jié)中討論過.根據(jù)Chia-Chu Chen在對(duì)易空間中的所得到的研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，我們把這些結(jié)果推廣到非對(duì)易空間中.

這是帶電四極矩的中性粒子在非對(duì)易空間中的AB相位.這里第一項(xiàng)Q是帶電四極矩的中性粒子在對(duì)易空間中的AB相位；第二項(xiàng)是空間不對(duì)易而引起的附加項(xiàng).它們?nèi)缦陆o出：

在三維非對(duì)易空間中，方程（31）可寫成：

這是帶電四極矩的中性粒子在三維非對(duì)易空間中的AB相位.上式的第一項(xiàng)是帶電四極矩的中性粒子在對(duì)易空間中的AB相位.其非對(duì)易性質(zhì)是通過有關(guān)θ的第二項(xiàng)來表現(xiàn)出來.從上式可以明顯地看出，若非對(duì)易參數(shù)θ=0，則在非對(duì)易空間中帶電粒子的AB相位跟對(duì)易空間中帶電粒子的AB相位結(jié)果一致(方程(8)).

現(xiàn)在我們把這些結(jié)果推廣到帶電多極矩的中性粒子的情況.利用同樣的方法，我們通過對(duì)在非對(duì)易空間中的做個(gè)變換來得到在非對(duì)易空間中的帶電多極矩的中性粒子的AB相位.通過將方程（17）代入到方程（10）中，我們可以得到，

其中：

方程（35）給出的相位是帶電多極矩的中性粒子在非對(duì)易空間中的AB相位.這里第一項(xiàng)ΦM是帶電多極矩的中性粒子在對(duì)易空間中的AB相位；第二項(xiàng)是空間非對(duì)易性所導(dǎo)致的附加項(xiàng).在非對(duì)易空間中帶電多極矩的中性粒子的AB相位的非對(duì)易性質(zhì)可以通過有關(guān)θ的第二項(xiàng)表現(xiàn)出來.

在三維非對(duì)易空間中，方程（35）可寫成：

這個(gè)相位是帶電多極矩的中性粒子在三維非對(duì)易空間中的電AB相位.這里第一項(xiàng)是帶電多極矩的中性粒子在對(duì)易空間中的電AB相位.其中的非對(duì)易性質(zhì)是通過有關(guān)θ的第二項(xiàng)表現(xiàn)出來的.從上式明顯地看出來，若非對(duì)易參數(shù)θ=0，則在非對(duì)易空間中帶電多極矩的中性粒子的電AB相位跟在對(duì)易空間中帶電多極矩的中性粒子的電AB相位結(jié)果一致(方程(10)).

3 結(jié)論

論文研究了非對(duì)易空間中的AB效應(yīng)以及帶電偶極矩、電四極矩和電多極矩的中性粒子的AB相位.首先，在第1，2節(jié)中我們簡單地回顧了這些問題在對(duì)易空間中的已有的研究結(jié)果；在第3節(jié)，首先簡短地介紹了非對(duì)易空間的一些性質(zhì)，并且更進(jìn)一步提出了我們用于處理非對(duì)易量子力學(xué)中的問題的三種方法.進(jìn)而按照我們提出的第三種方法來研究在非對(duì)易空間中的AB效應(yīng)以及帶電偶極矩、電四極矩和電多極矩的中性粒子的AB相位問題.相比前兩種方法，這種方法簡單、方便并且可以避免復(fù)雜的星乘積的計(jì)算，大大減少計(jì)算量.根據(jù)這種方法，在前人對(duì)AB效應(yīng)和中性粒子的AB相位已有研究的基礎(chǔ)上，我們?cè)诜菍?duì)易空間中研究問題，僅僅通過分別對(duì)外場(chǎng)做變換就可以分別得到在非對(duì)易空間中的AB效應(yīng)和帶電偶極矩、電四極矩和電多極矩的中性粒子的AB相位.

在非對(duì)易空間中，我們得到的結(jié)果(方程(19),(23),(27),(31)和(35))跟對(duì)易空間中的結(jié)果是有所區(qū)別的(方程(2),(4),(5),(8)和(10)).在非對(duì)易空間中，我們所得到的各相位都由兩項(xiàng)構(gòu)成：第一項(xiàng)是在對(duì)易空間中的AB效應(yīng)和帶電偶極矩、電四極矩和電多極矩的中性粒子的AB相位；有關(guān)θ的第二修正項(xiàng)和是空間非對(duì)易所引起的附加修正項(xiàng).顯然，若非對(duì)易參數(shù)θ=0，則在非對(duì)易空間中的結(jié)果跟在對(duì)易空間中結(jié)果將會(huì)一致(式(方程(2),(4),(5),(8),(10)).

假如目前關(guān)于AB效應(yīng)和帶電偶極矩、電四極矩和電多極矩的中性粒子的AB相位的實(shí)驗(yàn)條件允許的話，可以利用這些實(shí)驗(yàn)測(cè)量估計(jì)非對(duì)易參數(shù)θ的大小.我們得出的結(jié)論是：如果能對(duì)以上量子系統(tǒng)進(jìn)行精密的測(cè)量，則可進(jìn)一步的揭示、檢驗(yàn)空間的非對(duì)易性.