關(guān)于三角鞅和Banach空間的TP光滑性的注記?

陳亮,黃永峰,趙新科

(1.昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系，新疆昌吉831100;2.新疆大學(xué)學(xué)報(bào)編輯部，新疆烏魯木齊830046)

眾所周知,Banach空間值鞅理論有不同于實(shí)值鞅的獨(dú)立價(jià)值且Banach空間值隨機(jī)過程的概率性質(zhì)與Banach空間的幾何性質(zhì)之間是相互依存、相互制約的.劉培德[2,3]首先對Banach空間值鞅引入了p均方算子p條件均方算子,并以此為工具研究了一系列基本的Banach空間值鞅不等式和鞅空間,揭示了Banach空間值鞅不等式和鞅空間的相互嵌入關(guān)系與在其中取值的Banach空間的一致凸性和一致光滑性之間的密切聯(lián)系.賈正智,龔小兵[1]定義了TP一致光滑Banach空間和TP一致凸Banach空間,并利用三角鞅不等式對這兩種幾何性質(zhì)進(jìn)行了刻畫.

1 定義及引理

文章利用三角鞅的收斂性、三角鞅的具體的Luxemburg范數(shù)不等式以及三角鞅的大數(shù)定律來刻畫Banach空間的TP一致光滑性.若非另加說明,本文中X均指實(shí)Banach空間.

設(shè)X是Banach空間,是T中定義的X值p次可積函數(shù)的空間,滿足:中的一個(gè)n次三角多項(xiàng)式是指記這種三角多項(xiàng)式生成的子空間.

定義1設(shè)T=[0,2π],?=T N(N為正整數(shù)). 記θ ∈T N為θ=(θ1,θ2,···,θN),? 上定義的測度為乘積測度P,以BN記(θ1,θ2,···,θN)生成的σ代數(shù),一個(gè)定義在 ? 上的X值隨機(jī)變量序列F:=(Fn)(n≥0)稱為三角（多項(xiàng)式）鞅（簡稱為三角鞅或TP鞅),若F滿足:

這里φk,ψk是僅與θ1,θ2,···,θn?1有關(guān)的關(guān)于Bn?1可測的X值函數(shù).記A為X值三角鞅全體.

定義2設(shè)(?,Σ,μ)是概率空間,(Bn,n≥0)是Σ的遞增子σ代數(shù)序列,與(Bn)適應(yīng)的X值鞅記為F=(Fn,Bn,n≥0)或者F=(Fn).設(shè)dFn=Fn?Fn?1,F?1=0,B?1={?,?}序列dF=(dFn)是鞅F=(Fn)的鞅差序列,對于F=(Fn),記

定義3對τ>0,(0<τ<1)定義X的TP 光滑模為

稱X為一致TP光滑的,若稱X是p一致 TP 光滑的,若使得

關(guān)于X的一致TP光滑性與一致光滑性有以下基本結(jié)論.

引理1[4]設(shè)X是Banach空間,則當(dāng)X是p一致TP光滑空間時(shí),X必是p一致光滑的.

引理2[4]若Banach空間X是p一致光滑的(1

引理3[4]Banach空間X是p一致可光滑的(10使得每X值三角鞅F=(Fn)都滿足:

2 主要結(jié)論

利用三角鞅的收斂性、三角鞅的具體的Luxemburg范數(shù)不等式以及三角鞅的大數(shù)定律,給出Banach空間的 TP一致光滑性的四種等價(jià)刻畫.

定理1設(shè)X是Banach空間,1

證明(=?)由Pisier不等式及Lp(μ,X)易證.事實(shí)上,給定n≥0,對于任意的其中則由于因此Fn依Lp(μ,X)范數(shù)收斂.

(?=)由蘊(yùn)含F(xiàn)n依Lp(μ,X)范數(shù)收斂,知Fn依概率收斂.由定理2.6.2[5]可以證明X是p一致可光滑空間,從而由引理2知X是p一致TP可光滑空間.

定理2設(shè)X為Banach空間,1

(i)X是p一致TP可光滑空間.

(ii)?F∈A,若S(p)(F)∈L∞,則Fn a.e.收斂.

(iii)?F∈A,若E(d?(F)p)<∞,則{S(p)(F)<∞}?{Fn收斂}a.e.

證明由定理1及定理5[6]234易證.

定理3（Banach空間的TP光滑性與三角鞅不等式）

設(shè)X為Banach空間,1

(i)X是p一致TP可光滑空間.

(ii)若φ(t)=tp(t∈R),則存在Cφ>0,使得?F∈A滿足F? φ≤Cφ S(p)(F)φ,其中·為φ(t)=tp誘導(dǎo)的Luxemburg范數(shù).

證明(i)=?(ii)由引理3 知,?λ>0,存在Cp>0使得定義停時(shí)其中(Wn)是(dfn)的可料強(qiáng)函數(shù)序列.由定理3[6]230證明可得

進(jìn)而由引理4[6]225知,存在K>0使得E(F?)p≤KE(S(p)(F)∨W?)p.對F作Davis分解F=G+H,這里G=(Gn),H=(Hn)滿足

(ii)=?(i)設(shè)F=(Fn)是滿足S(p)(F)<∞的X值三角鞅,對于?m≥1,定義鞅則

定理4設(shè)X為Banach空間,1

(i)X是p一致TP可光滑空間.

(ii)?F=(Fn)∈A,若則

證明(ii)=?(iii)是顯然的.(iii)=?(i)設(shè)?F=(Fn)∈A,若依概率收斂于0,由定理2.6.3[5]可以證明X是p一致可光滑的.從而由引理2知X是p一致TP可光滑空間.

(i)=?(ii)由X是p一致TP可光滑空間知,存在X上的等價(jià)范數(shù)記為|·|使得X在此范數(shù)下是p一致TP光滑的.由引理3知X在|·|下是p一致光滑的（從而p一致可光滑）,再由定理3[6]200即可得