行列式的計(jì)算方法解析

楊關(guān)玲

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331)

當(dāng)前，在教學(xué)領(lǐng)域中，無(wú)論是高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的高深理論，還是現(xiàn)實(shí)生活里的實(shí)際問(wèn)題，都或多或少地與行列式有著直接或間接的聯(lián)系.行列式的計(jì)算是一個(gè)重要的問(wèn)題，也是一個(gè)很麻煩的問(wèn)題.n級(jí)行列式一共有n!項(xiàng)，計(jì)算它有n!(n－1)個(gè)乘法.這是因?yàn)閚級(jí)行列式的每一項(xiàng)都取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積，若把每一項(xiàng)都按a1j1a2j2…anjn排列，則對(duì)于a1j1a2j2…anjn有n!種排列，故n級(jí)行列式共有n!項(xiàng).每一項(xiàng)都有n個(gè)數(shù)相乘，即每一項(xiàng)有n－1個(gè)乘法，共有n!(n－1)個(gè)乘法.二階行列式有2!項(xiàng)，三階行列式有3!項(xiàng)，當(dāng)n較大時(shí)，n!是一個(gè)相當(dāng)大的數(shù)字，直接從定義來(lái)計(jì)算行列式幾乎是不可能的事.因此，可以利用行列式的性質(zhì)簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算.

行列式計(jì)算方法很多，而且一個(gè)行列式求解問(wèn)題往往同時(shí)要用如上列舉出的一個(gè)或幾個(gè)方法才能解決.所以，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中要學(xué)會(huì)觀察、探索，并有針對(duì)性總結(jié).這里歸納介紹幾種具有典型特征的行列式解法.

1 關(guān)于n階行列式的計(jì)算方法［1-3］

1.1 直接利用定義計(jì)算(適用于行列式中有較多0的情況)

在引進(jìn)行列式的定義之前，為了更加容易理解行列式的定義，首先介紹排列和逆序的概念.

(1)n級(jí)排列:由1，2，3，…，n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n級(jí)排列.

(2)在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個(gè)逆序，一個(gè)排列中逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù).

(3)逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列.

在做好這些工作之后，引入行列式的定義:

當(dāng)行列式中的元素有較多的0，并且行列式的元素比較簡(jiǎn)單時(shí)，不需要變形就可以直接利用行列式的定義計(jì)算出行列式的值.

1.2 利用行列式的性質(zhì)，化為上(下)三角行列式計(jì)算

運(yùn)用行列式的性質(zhì)是計(jì)算行列式的一個(gè)重要途徑，大多數(shù)行列式的計(jì)算都依賴于行列式的性質(zhì)，將行列式化成上三角(下三角或反三角)形式，再根據(jù)行列式的定義來(lái)計(jì)算行列式.

特征:第1行、列及主對(duì)角線外元素均為0(或可化為這種形式)的行列式(稱K型行列式)，可以化為上三角行列式進(jìn)行計(jì)算.

1.3 利用行(列)展開定理進(jìn)行降階，或作拉普拉斯展開

拉普拉斯定理 設(shè)在行列式D中任意取定了k(1≤k≤n－1)個(gè)行，由這k行元素所組成的一切k級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D.

例2 在行列式

根據(jù)拉普拉斯定理

從這個(gè)例子來(lái)看，利用拉普拉斯定理來(lái)計(jì)算行列式一般是不方便的.這個(gè)定理主要是在理論方面應(yīng)用.

1.4 利用遞推關(guān)系，或用數(shù)學(xué)歸納法證明

無(wú)論是初等數(shù)學(xué)，還是高等數(shù)學(xué)，遞推公式都有著非常廣泛的運(yùn)用.適用遞推法計(jì)算行列式有以下規(guī)律:按照行列式的某一行(列)展開，會(huì)產(chǎn)生階數(shù)比原行列式低但卻與原行列式有著相同類型的新的行列式，運(yùn)用遞推法逐層降階，最終將計(jì)算出原行列式的值.

例3 計(jì)算n階行列式

由式(1)(2)得 A=－2，B=3，所以 Dn=－2n+1+3n+1.

1.5 利用范德蒙行列式(或其他已知行列式)

對(duì)任意的n(n≥2)，n級(jí)范德蒙德行列式等于a1，a2，…，an這n個(gè)數(shù)的所有可能的差ai－aj(1≤j＜i≤n)的乘積，即ai－aj).值得注意的是范德蒙德行列式為零的充分必要條件是a1，a2，…，an這n個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)相等.

例4 計(jì)算行列式

1.6 加邊法

加邊法即在原行列式基礎(chǔ)上增加1行、1列(保持行列式值不變)，然后利用增加的行(列)對(duì)行列式化簡(jiǎn)、計(jì)算.

解 通過(guò)加邊法把原來(lái)的n階行列式轉(zhuǎn)化為n+1階行列式進(jìn)行計(jì)算

1.7 借助對(duì)應(yīng)矩陣特征值的乘法計(jì)算

即 λi是 Ai的特征值，i=1，2，…，n.若 f(x)=a1+a2x+…+A 為 n 階矩陣，則 f(λ)=a1+a2λ+…+是f(A)=a1E+a2A+…+的特征值.

注:符合本題特征的行列式稱為循環(huán)行列式，因而如上結(jié)果具有一般性.此處用到方陣的特征值之積恰為其行列式的值，方陣的多項(xiàng)式的特征值恰是其特征值的多項(xiàng)式.

2 抽象型行列式的計(jì)算［4，5］

抽象型行列式一般不給出具體元素，它往往涉及與行列式相關(guān)聯(lián)的方陣、伴隨陣、逆矩陣、分塊矩陣，以及n維向量等的計(jì)算.因此，解決該類問(wèn)題時(shí)應(yīng)靈活運(yùn)用矩陣的有關(guān)性質(zhì).，具體討論時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn):

(5)各行(列)以向量及其運(yùn)算形式給出的行列式，可以按行(列)拆成幾個(gè)行列式之和;

(6)當(dāng)已知矩陣的特征值時(shí)，可以用所有特征值之積計(jì)算.

例7 設(shè)A為n階方陣，且AA'=E(E是n階單位矩陣，A'是A的轉(zhuǎn)置矩陣)

1)對(duì)矩陣A+E右乘A'，再取行列式;

3 行列式按行(列)展開定理，及代數(shù)余子式的應(yīng)用［6，7］

行列式按行(列)展開定理，以及一個(gè)行列式某一行(列)元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為零這兩個(gè)事實(shí)，在行列式代數(shù)余子式、方程組等的討論中有著廣泛的應(yīng)用.如在求一個(gè)行列式某一行元素代數(shù)余子式之和時(shí)，逐個(gè)計(jì)算再求和，運(yùn)算量很大，此時(shí)可借助行列式中改變某一元素的取值不影響該元素代數(shù)余子式的值這一特點(diǎn)，將該行元素都化為1，如此得到的行列式即如上要求的值.

(1)求 A31+A32+A33+A34.

(2)求 M12+M22+M32+M42.

注:要求某一矩陣所有元素的代數(shù)余子式之和，可考慮先求其伴隨矩陣，再求伴隨矩陣各元素之和.

行列式的計(jì)算方法最常見的便是以上7種，但有時(shí)也因其結(jié)構(gòu)不同而有其他類型的解法(如三對(duì)角線行列式的解法)，這里就不一一列舉了.在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，有時(shí)還會(huì)碰見一些抽象型行列式的計(jì)算，行列式按行(列)展開定理，及代數(shù)余子式的應(yīng)用.

以上計(jì)算行列式的基本方法奠定了高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，同時(shí)也為數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛運(yùn)用提供了理論依據(jù)，總而言之，具有實(shí)質(zhì)上研究?jī)r(jià)值.

［1］劉洪星.高等代數(shù)選講［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2009

［2］徐仲，等編.高等代數(shù)［M］.3版.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社，2006

［3］王萼芳，石生明.高等代數(shù)［M］.3版.北京:高等教育出版社，2003

［4］陳東升，黃守佳.線性代數(shù)與空間解析幾何［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2008

［5］劉先忠，楊明.線性代數(shù)［M］.3 版.北京:高等教育出版社，2008

［6］胡顯佑，彭勇行.線性代數(shù)習(xí)題集［M］.天津:南開大學(xué)出版社，2004

［7］吳世錦.四元數(shù)分量行列式的性質(zhì)［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào):自然科版，2010，27(5):452-456