積分算子的線性性和有界性*

耿立剛，曾 靜

(重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400067)

在泛函分析中，積分算子T又稱積分變換是具有(Tf)(u)=(t，u)f(t)d t形式的變換.此變換把函數(shù)映為函數(shù)，是把函數(shù)空間映到函數(shù)空間上的變換.其中的K(t，u)是個(gè)確定的二元函數(shù)，稱為此積分算子的核函數(shù)或核，f(t)稱為象原函數(shù)，Tf(u)稱為象函數(shù).當(dāng)選取不同的積分域或核函數(shù)時(shí)，就得到不同的積分變換.積分變換常用來(lái)處理微分方程的問(wèn)題，常見(jiàn)的積分變換有Fourier變換、Laplace變換、Mellin變換、Abel變換及Hilbert變換等.此處將對(duì)積分算子的一些代數(shù)性質(zhì)如線性性、有界性等進(jìn)行研究.

1 積分算子的線性性

定理1 設(shè)算子T是從函數(shù)空間X到函數(shù)空間Y上的算子，如果對(duì)于任意的f，g∈X以及常數(shù)α都有式(1)(2)成立:

則稱算子T是從X到Y(jié)的線性算子.

定理2 積分算子T:X→Y是線性算子.

證明 設(shè)f，g∈X，α是任一常數(shù)，則對(duì)于積分算子T，根據(jù)積分的性質(zhì)有

即T(f+g)=Tf+Tg.

即T(αf)=α(Tf)，即證積分算子T是線性算子.

2 積分算子的有界性

算子T的范數(shù)指的是算子范數(shù)，定義為

對(duì)于算子T，如果 T＜∞，則稱算子T是有界算子.根據(jù)積分的性質(zhì)，易知積分算子是否有界與核函數(shù)K(t，u)及積分域有關(guān).

定理3 如果一個(gè)積分算子的積分域是有界集，并且核函數(shù)是有界函數(shù)，那么這個(gè)積分算子是有界算子.

由此可得 TfY≤M1fX，則 T≤M1＜∞，即積分算子T是有界線性算子.

定理4 如果一個(gè)積分算子T的積分域是有界集，并且核函數(shù)是有界函數(shù)，那么這個(gè)積分算子T是連續(xù)的.

證明 因線性算子的有界性和連續(xù)性是等價(jià)的，由定理3，積分算子在所假設(shè)條件下是有界的，故積分算子T在定理假設(shè)條件下是連續(xù)的.

3 單位圓盤上的積分型算子

根據(jù)積分的性質(zhì)，易知Jg的有界性.

定理5 積分算子Jg是有界的線性算子當(dāng)且僅當(dāng)g(z)是上的有界函數(shù).

證明 充分性:由Jg的定義，積分域是有界的，根據(jù)定理3可得積分算子Jg是有界算子.

必要性:由算子范數(shù)定義

積分算子在泛函分析領(lǐng)域的研究中具有廣泛的應(yīng)用，并且在一些具體的理論研究中起著關(guān)鍵性的作用.根據(jù)Schwarz核定理，如果核函數(shù)是個(gè)廣義的函數(shù)，所有的線性算子都是積分算子.Frodholm理論就是對(duì)一般積分方程理論的研究，在Frodholm理論中，核一般是Banach函數(shù)空間上的緊算子.在此情形下，核有時(shí)也稱為Frodholm算子、核算子及Frodholm核等.

［1］歐陽(yáng)光中，朱學(xué)炎，金福臨，等.數(shù)學(xué)分析［M］.3版.北京:高等教育出版社，2007

［2］POLYANIN A D，MANZHIROV A V.Handbook of Integral Equations［M］.CRCPress，Boca Raton，1998

［3］MANZHIROV R K，THAMBYNAYAGAM.The Diffusion Handbook:Applied Solutions for Engineers［M］.McGraw-Hill，New York，2011