綜合評價(jià)法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

經(jīng)驗(yàn)人：朱艷科 房少梅

綜合評價(jià)法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

經(jīng)驗(yàn)人：朱艷科 房少梅

研究綜合評價(jià)方法及其在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用， 對于建模競賽和實(shí)際的數(shù)學(xué)研究工作都有著十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。文中對五個(gè)常用的綜合評價(jià)方法進(jìn)行了簡介，并對其優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行對比，最后以全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽2009年B題為例，介紹模糊綜合評價(jià)法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用。

現(xiàn)代綜合評價(jià)方法經(jīng)過50年的發(fā)展，由經(jīng)典方法中派生出了很多方法和模型，這些方法和模型被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)發(fā)展、工業(yè)生產(chǎn)以及安全分析等方面。正如任何事物都有它的兩面性一樣，各評價(jià)方法的使用條件、優(yōu)缺點(diǎn)及適用對象不同，難免存在著局限性和不足之處，對此我們必須有所認(rèn)識。因此本文首先對幾種常用的綜合評價(jià)方法進(jìn)行概述，再對各方法優(yōu)缺點(diǎn)及適用情況進(jìn)行總結(jié)和比較，最后通過一個(gè)實(shí)例說明綜合評價(jià)方法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用。

常用綜合評價(jià)法簡介

層次分析

層次分析法（Analytic Hierarchy Process，簡稱為AHP）是T.L.Saaty（1975）提出的一種綜合評價(jià)方法。該方法是通過對評價(jià)對象的性質(zhì)和影響因素進(jìn)行全面分析，并將全部因素分成有相互聯(lián)系的有序?qū)哟?，進(jìn)而構(gòu)造出自下而上的階梯式的層次結(jié)構(gòu)。在確定權(quán)值方面，首先對同一層次的各因素進(jìn)行比較，確定每一層次內(nèi)各因素相對重要性的權(quán)值，然后再根據(jù)各個(gè)指標(biāo)的數(shù)值及其權(quán)值，對評價(jià)對象做出綜合評價(jià)。該方法是一種多準(zhǔn)則、多目標(biāo)、無結(jié)構(gòu)特征的綜合評價(jià)方法，被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)發(fā)展比較、科技管理評價(jià)、事故致因分析、資源規(guī)劃分析、人員素質(zhì)測評及安全經(jīng)濟(jì)分析等方面。

模糊綜合評價(jià)法

模糊綜合評價(jià)法（Fuzzy Comprehensive Evaluation）簡稱為FCE。FCE法是一個(gè)利用模糊數(shù)學(xué)知識進(jìn)行模糊決策的方法。它是運(yùn)用模糊關(guān)系集成的原理，對評判對象給出比較全面而量化的隸屬度，建立模糊綜合評判矩陣，從而進(jìn)行綜合性評判的一種方法。FCE法可以根據(jù)評價(jià)具體指標(biāo)情況，賦予每一個(gè)評價(jià)對象一個(gè)非負(fù)的評價(jià)分值，據(jù)此對評價(jià)對象進(jìn)行排序。

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（Data Envelopment Analysis），簡稱為DEA。DEA方法是A.Charnes和W.W.Copper等（1978）在“相對效率”概念的基礎(chǔ)上提出的一種根據(jù)多個(gè)投入指標(biāo)和多個(gè)產(chǎn)出指標(biāo)，對一系列類似的評價(jià)對象的相對有效性或效益進(jìn)行評價(jià)的綜合評價(jià)方法。任何一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的運(yùn)行都可以看成一個(gè)單元，也被稱為決策單元（Decision Making Units ，簡稱DMU），通過投入一定數(shù)量的生產(chǎn)要素之后，會(huì)產(chǎn)出一定數(shù)量 的“產(chǎn)品”，這些不同的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的最終目的都是盡可能地取得最大的“效益”。從“投入”到“產(chǎn)出”中間過程中需要經(jīng)過一系列決策，也可以說“產(chǎn)出”是決策的結(jié)果。DMU的概念是廣義的，可以是一個(gè)大學(xué)，也可以是一個(gè)企業(yè)，也可以是一個(gè)國家。評價(jià)是根據(jù)輸入和輸出數(shù)據(jù)來評價(jià)各決策單元的優(yōu)劣。自第一個(gè)DEA模型——C2R模型被提出之后，DEA方法不斷完善和發(fā)展，被運(yùn)用到諸如資源配置、技術(shù)進(jìn)步、技術(shù)創(chuàng)新、金融投資等領(lǐng)域。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Neural Network，簡稱為NN）自上世紀(jì)80年代提出后，由于其超強(qiáng)適應(yīng)能力和學(xué)習(xí)能力，解決了許多傳統(tǒng)方法難以解決的問題，在很多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。NN方法是一種模仿人腦結(jié)構(gòu)和功能的信息處理系統(tǒng)，是由諸多人工神經(jīng)元按照一定的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)互連形成的，按照一定的學(xué)習(xí)規(guī)則，通過對樣本數(shù)據(jù)的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，把網(wǎng)絡(luò)掌握的“知識”以神經(jīng)元之間的連接權(quán)值和閾值儲(chǔ)存下來，利用這些從學(xué)習(xí)樣本獲得的“知識”來實(shí)現(xiàn)對未知樣本的推理能力，。雖然目前有一些綜合評價(jià)方法能較好地考慮并集成綜合評價(jià)過程中的各種定性與定量信息，但是在應(yīng)用中，這些方法或多或少仍存在著隨機(jī)性、主觀性和模糊性。而NN方法能結(jié)合評價(jià)者的經(jīng)驗(yàn)，且能降低或消除評價(jià)過程中的一些不確定性因素的影響，其既具備綜合評價(jià)方法的規(guī)范性，又具有較高的求解效率。

主成分分析

主成分分析（Principal Component Analysis），簡稱為PCA。PCA是由Pearson K（1901）提出的，是利用特征空間降維的方法，把多個(gè)評價(jià)指標(biāo)精簡為少數(shù)幾個(gè)綜合主成分指標(biāo)的一個(gè)多元統(tǒng)計(jì)方法。主成分分析是把原來的一組有線性相關(guān)關(guān)系的指標(biāo)轉(zhuǎn)成另一組不相關(guān)的指標(biāo)，這組新的指標(biāo)可按照方差大小來排序。第一個(gè)綜合指標(biāo)具有最大的方差，稱為第一主成分，第二綜合指標(biāo)的方差次大，稱為第二主成分，依此類推，K個(gè)原始指標(biāo)可以對應(yīng)有K個(gè)主成分。實(shí)際應(yīng)用中可以根據(jù)方差貢獻(xiàn)保留少數(shù)幾個(gè)主成分，由此可以達(dá)到降維的作用。主成分分析的實(shí)際應(yīng)用十分廣泛，如人口統(tǒng)計(jì)學(xué)、數(shù)量地理學(xué)、分子動(dòng)力學(xué)模擬、綜合評價(jià)等領(lǐng)域中均有應(yīng)用。

五種常用綜合評價(jià)方法的對比

通過上述對五種常用綜合評價(jià)方法的簡介，將各種評價(jià)方法的優(yōu)缺點(diǎn)歸納在表1中。

表1　五種綜合評價(jià)方法的優(yōu)缺點(diǎn)總結(jié)

模糊綜合評價(jià)方法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

下面以2009年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的B題中的第一問的解題為例，介紹模糊綜合評價(jià)方法在數(shù)學(xué)建模競賽中的應(yīng)用。

評價(jià)指標(biāo)體系的建立

在深入分析該眼科醫(yī)院病床實(shí)際安排情況的基礎(chǔ)上，考慮以下幾個(gè)指標(biāo)組成評價(jià)病床安排的指標(biāo)體系。

1病床使用率：即是一定時(shí)期內(nèi)被使用的病床數(shù)與總病床數(shù)之比。

2病床返還率：即是一定時(shí)期內(nèi)病人返還病床數(shù)與總病床數(shù)之比。

3平均等待入院時(shí)間：即是病人在門診就診到被安排入院之間的時(shí)間間隔。

4 等待隊(duì)長：即排隊(duì)入院的人數(shù)。

以上四個(gè)指標(biāo)中，病床使用率和病床返還率是反映醫(yī)院病床利用率的指標(biāo)，而平均等待入院時(shí)間和等待隊(duì)長是反映病人滿意度的指標(biāo)。

模糊綜合評價(jià)模型的建立與求解

首先，根據(jù)醫(yī)院病床安排問題的實(shí)際情況，確定出影響醫(yī)院病床安排模型優(yōu)劣主要有病床使用率、病床返還率、平均等待入院時(shí)間以及等待入院隊(duì)長這四個(gè)主要因素。因而，可以確定相應(yīng)的模糊綜合評判因素集：

U=｛病床使用率，病床返還率，平均等待入院時(shí)間，等待入院隊(duì)長

其次，針對問題的四個(gè)因素，都可以給出由很好、好、一般和差這四個(gè)元素組成的評判集：

評判集=（很好，好，一般，差）

立足于醫(yī)院病床安排問題的實(shí)際情況，對于評判因素集中的每一個(gè)因素，我們可以確定出相應(yīng)評判集中每一個(gè)因素的具體量化指標(biāo)范圍。比如，對于評判因素集中的第一個(gè)因素，當(dāng)病床使用率超過90％時(shí)，認(rèn)為對應(yīng)的評價(jià)等級為很好；當(dāng)病床使用率介于85％和90％之間時(shí)，認(rèn)為對應(yīng)的評價(jià)等級為好；介于80％和85％之間，認(rèn)為一般；而當(dāng)病床使用率小于80％時(shí)，認(rèn)為對應(yīng)的等級為差。以此類推，可以得到評判因素集中每一個(gè)因素的評判集，具體如表2所示。

表2　各個(gè)因素的評判集

最后，對已選取日期為32-54的數(shù)據(jù)，利用式（1）（2）（3）（4）分別計(jì)算其對應(yīng)的床位使用率、床位返還率、平均等待入院天數(shù)以及平均等待隊(duì)長這四個(gè)評判集元素的值。

以日期為32的數(shù)據(jù)組為例，有：

因此，可以得出日期為32當(dāng)天，醫(yī)院的床位使用率

為0.7721，床位返還率為0.1333，平均等待入院時(shí)間為7.86天，等待隊(duì)長為97人。以此類推，可以計(jì)算出日期為32-54所對應(yīng)的四個(gè)評判集元素的指標(biāo)值，具體求解結(jié)果如表4所示。

表4　日期為32-54所對應(yīng)的四個(gè)評判集元素的指標(biāo)值

隸屬度函數(shù)的確定

根據(jù)醫(yī)院病床安排的實(shí)際情況，可以采用模糊統(tǒng)計(jì)方法來確定出評判因素集中四個(gè)元素對應(yīng)于評判集中四個(gè)元素的隸屬度函數(shù)。模糊統(tǒng)計(jì)方法是基于模糊統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的隸屬度函數(shù)確定方法。所謂的模糊統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)必須包含以下四個(gè)要素：

（1） 論域U ；

（2）U 中一個(gè)固定的元素x0；

（3）U 中的一個(gè)隨機(jī)變動(dòng)的集合A*；

（4）U 中的一個(gè)以A*為彈性邊界的模糊集A ，并對的變動(dòng)起到制約的作用。其中有使對A 的隸屬關(guān)系是不確定的。

假設(shè)做了n 次模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，可以計(jì)算出：

事實(shí)上，隨著n的不斷增大，隸屬頻率最終趨于穩(wěn)定，稱其頻率的穩(wěn)定值為x0對A 的隸屬度，即

例如，在日期為32-54的數(shù)據(jù)中，床位使用率≥90％，即對應(yīng)評判集中“好”的模糊試驗(yàn)數(shù)為21，于是，病床使用率對應(yīng)于“好”的隸屬度

同理，可以得到：

于是，得到病床使用率對應(yīng)于評判集“較好”、“好”、“一般”和“差”的隸屬度分別為0.9130、0.0434、0和0.8260。同理，可以求出病床返還率、平均等待時(shí)間以及等待入院隊(duì)長對應(yīng)的隸屬度。具體求解結(jié)果如表5所示。

表5　四個(gè)評判因素對應(yīng)的隸屬度

對病床利用率、病人滿意度的評價(jià)

考慮到評判集四個(gè)元素中，病床的使用率和病床的返還率都是集中體現(xiàn)醫(yī)院病床利用率的指標(biāo)，因此，將這兩個(gè)因素組成一個(gè)新的評判元素集，用以反映醫(yī)院的病床利用率；而評判集中，平均等待入院時(shí)間和等待入院隊(duì)長都是反映病人滿意度的指標(biāo)，故可以將這兩個(gè)因素組成另一個(gè)評判集，用來刻畫病人的滿意度。于是，得到兩個(gè)新的評判集：

床位利用率=｛病床使用率，病床返還率｝

病人滿意度=｛平均等待入院時(shí)間，等待入院隊(duì)長｝

根據(jù)特爾菲法，對各因素及各類別在評價(jià)中的重要性進(jìn)行權(quán)衡，確定權(quán)數(shù)分配，用模糊矩陣表示：

床位利用率 ：w1=［0.6 0.4］；

病人滿意度 ：［0.4 0.6］；

綜合評價(jià)得分=×床位利用率+w4×病人滿意度；

其中w3和w4為對應(yīng)的權(quán)重。

根據(jù)實(shí)際情況，取w3=0.4，w4=0.6，得到床位利用率、病人滿意度以及綜合評價(jià)指標(biāo)結(jié)果如表6所示。

表6　床位利用率、病人滿意度以及綜合評價(jià)指標(biāo)結(jié)果

從表4中，我們可以得出以下結(jié)論。

1 病床利用率的評價(jià)結(jié)果中，對應(yīng)于“較好”的隸屬度為0.6，高于其他隸屬度值。從醫(yī)院的角度分析，原有的病床安排模型體現(xiàn)的是較高的病床利用率。

2 病人滿意度的評價(jià)結(jié)果中，對應(yīng)于“較差”的隸屬度為0.3391，顯然高于其他隸屬度值。從病人的角度分析，原有的病床安排模型時(shí)不能迎合病人的滿意度的，模型有待改進(jìn)。

3 結(jié)合病床利用率以及病人滿意度兩方面分析，對應(yīng)于“差”的隸屬度為0.3461，明顯高于其他的隸屬度值。因此，從總體的綜合評價(jià)可以看出，醫(yī)院的病床安排模型是不太合理、有待優(yōu)化的。

小結(jié)

考慮醫(yī)院病床安排模型的“優(yōu)劣”是一個(gè)模糊的概念，其影響因素中有些是定量的，有些是定性的，且具有不同的實(shí)際含義。此外，考慮到模糊綜合評價(jià)法有結(jié)果意義清晰明確，有較強(qiáng)的系統(tǒng)性這些特點(diǎn)，能較好地解決實(shí)際中較模糊的且難以量化的問題。因此，在對醫(yī)院病床安排模型的優(yōu)劣做出綜合評價(jià)時(shí)，模糊綜合評價(jià)方法是一個(gè)非常適用的方法。

結(jié)語

通過以上的理論綜述及實(shí)例分析，可以看到，綜合評價(jià)方法在數(shù)學(xué)建模中有著非常廣泛的應(yīng)用。綜合評價(jià)中的核心問題就是要對多屬性的復(fù)雜系統(tǒng)作出客觀、全面以及科學(xué)的評價(jià)，因此在評價(jià)中要綜合考察多個(gè)相關(guān)因素，根據(jù)條件運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒?。參賽者在面對?shù)學(xué)建模中的綜合評價(jià)問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)評價(jià)對象和目的，在現(xiàn)有資料的條件下科學(xué)地選擇評價(jià)方法。在大多數(shù)情況下，絕對最優(yōu)的評價(jià)方法是不存在的，只有較為適宜的方法。

10.3969/j.issn.1001-8972.2015.17.044