倒錐形復合變幅桿的動力學分析

張明，衣春杰，趙方曉，毛蜀平

（青島科技大學機電工程學院，山東青島266061）

倒錐形復合變幅桿的動力學分析

張明，衣春杰，趙方曉，毛蜀平

（青島科技大學機電工程學院，山東青島266061）

基于傳統(tǒng)圓截面變幅桿的設計理論，利用波的縱振動方程求解倒錐形復合變幅桿的諧振頻率、節(jié)點位置和放大系數(shù)等性能參數(shù)。利用WORKBENCH軟件的模擬仿真功能，建立倒錐形復合變幅桿的有限元模型，對變幅桿進行包括模態(tài)和諧響應在內(nèi)的動力學分析。通過分析變幅桿對稱面上的等效應力云圖，獲得變幅桿在工作狀態(tài)下應力集中的位置，為變幅桿的工藝優(yōu)化提供可靠的指導，同時也為形狀復雜的變截面復合變幅桿的設計和分析提供了新的方法。

倒錐形變幅桿；有限元；WORKBENCH；應力

隨著超聲波理論的完善和超聲技術的發(fā)展，超聲振動的應用越來越廣泛，常常被用于超聲車削、超聲滾壓、超聲清洗等加工領域［1］。超聲振動系統(tǒng)一般由超聲發(fā)生裝置、能量轉(zhuǎn)換裝置及超聲變幅聚能裝置組成。變幅桿是常見的超聲變幅聚能部件，其作用之一是改變超聲振動的位移振幅；作用之二是聚焦超聲能量［2］。根據(jù)需求的不同，變幅桿可分為單一型和復合型。對單一型變幅桿的理論研究已日趨成熟，但由于單一型變幅桿受到放大系數(shù)小等因素的制約，往往無法滿足實際工況的需要。因此，加強對復合型變幅桿的研究具有重要意義。

倒錐形復合變幅桿的基本結(jié)構(gòu)為圓錐窄端接圓柱桿，倒錐形結(jié)構(gòu)在實際應用中可提高輻射能量、增大輻射面域，用以改善換能器與輻射介質(zhì)間的阻抗匹配［3］。本文利用理論推導和有限元分析相結(jié)合的方法對倒錐形變幅桿進行分析，得出其位移分布、頻率方程、位移節(jié)點和放大系數(shù)，并利用WORKBENCH模擬仿真，對其進行模態(tài)和諧響應分析。由于倒錐形變幅桿有突變截面，應力集中較顯著，故本文還通過研究等效應力云圖對其進行應力分析，為優(yōu)化變幅桿工藝結(jié)構(gòu)提供有利依據(jù)。

1 變幅桿縱振動的理論分析

假設組成復合變幅桿的材料是均勻、各向同性的，且不考慮機械損耗和阻尼振動，超聲波在桿中沿軸向傳播，在一維條件下，變幅桿滿足波動方程：

式中：ξ=ξ（x）為質(zhì)點位移函數(shù)；k=ω/c，ω為圓頻率，c為縱波在細棒中的傳播速度，為截面面積。

圖1 倒錐形變幅桿示意圖

模型是由四分之一波長的圓柱桿和圓錐體組成的半波共振倒錐形變幅桿（圖1）。這里通過式（1）分別討論兩段桿的位移分布函數(shù)。

對于第一段桿，S（x）=S1，鄣S/鄣x=0，代入式（1）可得微分方程：

此方程的通解為：

對于第二段桿，圓錐截面變化規(guī)律為：

式中：S2為變幅桿圓錐段的小端截面面積；N為面積系數(shù)，，D2、D3分別為變幅桿圓錐段的兩端截面直徑（圖1）。代入式（1）可得微分方程：

由已知條件和邊界條件易求出以下位移分布函數(shù)：

對于半波長階梯型變幅桿而言，位移節(jié)點位于截面突變處，即對應于圖1所示X=0的位置。要滿足共振，首先需保證第一段圓柱桿在右截面的質(zhì)點位移函數(shù)ξ1（x）=0，即：

求得kl1=π/2。同時，圓錐段應滿足：

綜合以上條件，可得復合變幅桿的共振方程［4］：

令式（4）中ξ1（x）=0，結(jié)合共振條件kl1=π/2，得到位移節(jié)點x0應在坐標X=0處。由式（7）并結(jié)合共振條件得到放大系數(shù)：

2 變幅桿的有限元分析

WORKBENCH是有限元分析軟件ANSYS的一個重要分支，簡潔的人機交流界面和可靠的數(shù)據(jù)分析是其仿真的主要特色。對變幅桿進行有限元分析時，不必考慮理想化假設，便可模擬得到滿足初始條件的解。

2.1 模態(tài)分析

利用所求的共振方程初步設計出變幅桿的尺寸，在SolidWorks軟件中建立倒錐形變幅桿的三維模型，再通過接口導入WORKBENCH中進行有限元分析。通過WORKBENCH中的模態(tài)分析和諧響應分析，對比驗證理論推導出的各參數(shù)的可靠性，為復合變幅桿的設計提供依據(jù)。在WORKBENCH工程數(shù)據(jù)處理器中定義材料屬性，數(shù)據(jù)見表1。

表1 變幅桿的參數(shù)值

由于倒錐形變幅桿是由2個簡單的規(guī)則體組成，因此采用多區(qū)域網(wǎng)格劃分［5］是合理的，局部區(qū)域采用六面體主導的方式，使誤差盡可能減少，結(jié)果更易收斂。劃分網(wǎng)格建立的有限元模型見圖2。

加載求解前，先定義求解類型為模態(tài)分析，提取自由振型，頻率搜索區(qū)間為10～25 kHz。模態(tài)計算結(jié)果見圖3，共包含六階模態(tài)，可看出，倒錐形變幅桿的諧振頻率f′=19 589 Hz。

圖2 變幅桿有限元模型

圖3 頻率搜索結(jié)果

圖4是頻率為19 589 Hz的振型圖。可看出，變幅桿在諧振狀態(tài)下，圓錐大端面的振動位移達到最大值，此時向外界輻射的能量也達到最大狀態(tài)，而在過渡截面處的振幅最小。

圖4 頻率為19 589 Hz時的振型圖

2.2 諧響應分析

諧響應分析的載荷是隨時間正弦變化的簡諧載荷，該類型的載荷可用頻率和幅值來描述［6］。只有當外部施加的激勵與變幅桿固有頻率相接近時，才會產(chǎn)生共振，所以這里的頻率需選取模態(tài)分析中的諧振頻率。WORKBENCH中的分析模塊應選擇諧響應分析，施加一個沿軸向的5μm振幅作為初始位移，并通過在軟件各參數(shù)模塊中進行設置，可使變幅桿產(chǎn)生一個沿軸向隨正弦變化的周期載荷。計算結(jié)果取諧振頻率為19 589 Hz。

諧響應分析采用Full法［7］，它采用完整的系統(tǒng)矩陣計算諧響應，且不必關心如何選取自由度或振型，并允許在實體模型上定義載荷。利用WORKBENCH中的路徑讀取功能，沿著變幅桿軸向建立路徑，其長度設為變幅桿總長度，生成的變幅桿軸向位移分布曲線見圖5。其中，橫坐標數(shù)值為變幅桿長度，等分為48份；縱坐標為變幅桿軸向振動位移，正值代表振動時變幅桿軸向伸長位移量，負值代表其軸向壓縮位移量。

圖5 軸向位移分布曲線

從位移分布曲線中可得到位移節(jié)點和放大系數(shù)。其中，零位移水平直線同曲線的交點是位移節(jié)點的位置，位移最大值與最小值之比為放大系數(shù)。

表2是理論計算值和模擬值的比較。其中，f、X0、Mp分別為理論計算得到的諧振頻率、位移節(jié)點和放大系數(shù)；f′、X0′、Mp′分別為模擬值。從表2可看出，模擬值和理論計算值相差很少，說明通過WORKBENCH有限元分析進行數(shù)值模擬是可靠的。

表2 理論計算值與模擬值的比較

2.3 等效應力分析

理論值和模擬值之間不可避免地出現(xiàn)一定的誤差，結(jié)構(gòu)的應力集中是其重要的影響因素。平面縱波只沿軸向傳播只是一種理想狀態(tài)，變幅桿由于截面突變產(chǎn)生的應力集中會影響結(jié)果的準確性。從變幅桿Von-mises等效應力云圖可看出，最大應力存在于過渡面處，對應諧振頻率19 589 Hz的截面最大應力為70.3MPa（圖6a）。根據(jù)變幅桿現(xiàn)有尺寸查階梯型變幅桿的最佳過渡圓弧半徑［8］，并進行優(yōu)化處理；同時，對過渡圓角處的網(wǎng)格進行適當?shù)募毣?，重新模擬等效應力云圖（圖6b）?？煽闯?，過渡面處的整體應力下降很多，最大應力為57.3 MPa，比之前降低約18.5%；模擬諧振頻率變?yōu)?9 952 Hz，提高約1.9%，比優(yōu)化前更接近理想值。

圖6 變幅桿優(yōu)化前后等效應力圖

3 結(jié)論

本文針對倒錐形復合變幅桿做了理論推導和模擬兩方面的研究，對變幅桿進行了動力學分析，通過WORKBENCH有限元模擬得到軸向位移分布曲線，進而求出變幅桿的諧振頻率、節(jié)點位置及放大系數(shù)。通過數(shù)據(jù)比較可知，有限元模擬得到的數(shù)據(jù)同理論值間的誤差很小，充分說明了有限元法在復合變幅桿設計中是準確、可靠的。此外，通過對變幅桿的局部結(jié)構(gòu)進行改進，進一步優(yōu)化變幅桿的各段尺寸，從而使理論值更接近于模擬值。通過等效應力云圖可得到變幅桿在工況下的應力分布情況，應力最大值位于截面突變處。經(jīng)過對突變截面進行結(jié)構(gòu)和工藝優(yōu)化后發(fā)現(xiàn)，應力集中大幅減小，且諧振頻率更接近于工作頻率。有限元分析不僅能為變幅桿結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供指導，而且在一定程度上還能代替實驗，節(jié)省成本。

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［4］曹鳳國.超聲加工［M］.北京：化學工業(yè)出版社，2014.

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［6］丁欣碩，凌桂龍.AnsysWorkbench 14.5有限元分析案例詳解［M］.北京：清華大學出版社，2014.

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Dynam ic Analysis of Inverted Conical Com posite Horn

Zhang Ming，YiChunjie，Zhao Fangxiao，Mao Shuping
（College of Electromechanical Engineering，Qingdao University of Science and Technology，Qingdao 266061，China）

Based on the design theory of the traditional circular section horn，performance parameters including the resonant frequency，node position and amplification factor of the inverted conical horn can be solved using the longitudinal vibration equation of the sonic.Finite element analysis software WORKBENCH was used to establish the composite horn finite elementmodel，and its dynamics including modal analysis and harmonic response analysis were analyzed.By analyzing the equivalent stress cloud of the horn on the symmetry plane，the position of stress concentration in its working condition was obtained，so reliable guidance for the process optimization of the horn was provided.And the new design and analysis methods for the complex shape of variable cross-section horn were provided.

inverted conical horn；finite element；WORKBENCH；stress

TG663

A

1009－279X（2015）05－0054-04

2015-06-26

張明，男，1960年生，教授。