二重積分換元法證明及推廣新思路

安明松　王旭琴　馮擁武

（1.中國地質(zhì)大學(xué)（北京）地學(xué)院，北京　100083；2.中央民族大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京　100081；3.西北民族大學(xué)信息學(xué)院，甘肅蘭州　730124）

二重積分換元法證明及推廣新思路

安明松1王旭琴2馮擁武3

（1.中國地質(zhì)大學(xué)（北京）地學(xué)院，北京100083；2.中央民族大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京100081；3.西北民族大學(xué)信息學(xué)院，甘肅蘭州730124）

本文考慮到現(xiàn)在很多大學(xué)數(shù)學(xué)教材中省略了越來越多的教學(xué)拓展內(nèi)容，而滿足不了一些學(xué)有余力同學(xué)對(duì)知識(shí)的本質(zhì)探索與追求的現(xiàn)狀之后，綜合前輩們各種巧妙的思路，很基礎(chǔ)地利用對(duì)微元體進(jìn)行穩(wěn)定體式完全劃分的思想結(jié)合n維穩(wěn)定體體積公式，給出了一種證明二重積分換元法的新思路，并由此展開，對(duì)其進(jìn)行了發(fā)散推廣，擴(kuò)展到三維及 n維的情況。

二重積分換元法微元體積n維穩(wěn)定體

重積分貫穿著空間解析幾何知識(shí)與數(shù)學(xué)分析知識(shí)的綜合應(yīng)用，其核心的內(nèi)涵是一種映射，特別是微元部分的轉(zhuǎn)換。積分域的變換在自變量之間的變換時(shí)就已經(jīng)確定了，積分函數(shù)的變化只是將其自變量作相應(yīng)的變換。抓住微元部分這個(gè)突破口，利用變換函數(shù)確定微元部分各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，通過n維空間中的穩(wěn)定體的體積公式可以計(jì)算變換前后的微元部分的相互關(guān)系。只要把微元部分按所得關(guān)系帶入原來的積分即得換元公式。

1　n維空間穩(wěn)定體的體積公式及推導(dǎo)

定理：n維空間中的穩(wěn)定體的體積為：

2　證明二重積分換元公式

定理：設(shè)f（x，y）在xoy平面上的閉區(qū)域D上連續(xù)，變換 T：x=x（u，v）， y=y（u，v）

將uvw平面上的閉區(qū)域'D變?yōu)閤oy平面上的D，且滿足：

圖1　uvw平面上的閉區(qū)域'D

圖2　xoy平面上的閉區(qū)域D

圖3　

圖4　

（1）x（u，v），y（u，v）在'D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；

（2）在'D上雅克比式

（3）變換T：'D→D是一對(duì)一的，

則有：

證明：如圖1、2所示，表示從uov到xoy的變換。

uov坐標(biāo)系：'σd=dudv=2h，

xoy坐標(biāo)系：1M（1x=x（u，v），1y=y（u，v）），2M（x（u，v）+ux（u，v）h+o（h），y（u，v）+uy（u，v）h+o（h））

M3（x（u，v）+xu（u，v）h+xv（u，v）h+o（h），y（u，v）+yu（u，v）h+yv（u，v）h+o（h））

M4（x（u，v）+xv（u，v）h+o（h），y（u，v）+yv（u，v）h+o（h））n維空間中的穩(wěn)定體的體積公式中取n=2 ，則有：

圖5　

3　二重積分換元公式的推廣

3.1三重積分換元公式

定理：設(shè)變換T：x=x（u，v，w），y=y（u，v，w），z=z（u，v，w）把uvw空間中的區(qū)域'Ω一對(duì)一地映成空間區(qū)域Ω，并設(shè)函數(shù)x（u，v，w），y（u，v，w），z（u，v，w）及它們的一階偏導(dǎo)數(shù)在'Ω內(nèi)連續(xù)且行列式

證明：主要思路已經(jīng)給出，現(xiàn)在著手計(jì)算體積微元，體積微元如下圖（圖3是'dV，圖4是dV）對(duì)應(yīng)關(guān)系。

uvw坐標(biāo)系：3A（u，v，w），3B（u，v+dv，w）3C，（u+du， v+dv），3D（u+du，v，w），4A（u，v，w+dw）

B4（u，v+dv，w+du），C4（u+du，v+dv，w+dw），D4（u+du，v，w+dw），dV'=dudvdw

同理應(yīng)用n維空間中的穩(wěn)定體的體積定理，取n=3，則有：

同理可證：

3.2n重積分的換元公式的推導(dǎo)

f （nxxx，，，21…）在Ω上可積，則

為了計(jì)算（實(shí)際上所有合法的穩(wěn)定體體積都相等），取以下特殊點(diǎn)：

A1（x1（u1，u2，…，un），x2（u1，u2，…，un），...，xn（u1，u2，…，un）），An+1（x1（u1+du1，u2+du2，…，un+dun），x2（u1+du1，u2+du2，…，un+dun），...，xn（u1+du1，u2+du2，…，un+dun））。

故n重積分換元公式得證。

［1］陳志杰.高等代數(shù)與解析幾何上冊(cè)［M］.高等教育出版社，2000.

［2］李小平.n維空間中距離公式、穩(wěn)定體體積公式以及勾股定理的拓廣［J］.http：//www.docin.com/p-362313297.html，2012.3.15.

［3］馮文強(qiáng)，楊漢生.二重積分換元法的另一種證法及推廣［J］.西南科技大學(xué)《高教研究》，2006，（4）：69-74.

［4］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下）［M］.第四版.北京：高等教育出版社，2007.

［5］張筑生.數(shù)學(xué)分析新講第二冊(cè)［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1990（2010.4重?。?331-370.

［6］陳兆斗，褚寶增.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2008. 99-104.

［7］陳兆斗，鄭連存，王輝，李為東.大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽習(xí)題精講［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2010.59-119.

In this paper， considering the many university mathematics textbook omitted expand more and more teaching content， and there is spare capacity can not meet some of the students on the current situation after the nature of exploration and the pursuit of knowledge， integrated predecessors variety of ingenious ideas， very basic use of the micro unit stabilized completely divided ideological postures combined n-dimensional stable body volume formula gives a proof of Double Integral element new ideas， and thus expanded its divergence promotion， expansion to three-dimensional and n-dimensional case.

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