反問題

從已知信息推斷未知量就是反問題在實(shí)際中的應(yīng)用，本書詳盡地討論了基于模型的反問題的數(shù)學(xué)理論和數(shù)值計(jì)算方法。作者集中討論了線性反問題和非線性反問題的非光滑Tikhonov正則化方法，對(duì)于正則化問題的求解給出了非光滑最優(yōu)化方法、直接反演方法和貝葉斯推斷的不確定性量化方法。本書還給出了許多新型反演計(jì)算方法如價(jià)值函數(shù)計(jì)算方法、增廣Tikhonov正則化方法、多參數(shù)Tikhonov正則化方法、半光滑Newton方法、直接抽樣方法、不確定量化方法和貝葉斯推斷逼近方法。

全書共分7章：1.引言，主要介紹了基于模型的反問題的數(shù)學(xué)理論與求解方法的現(xiàn)狀，并就本書各章講述的主要內(nèi)容作了概述；2.反問題中的模型，主要內(nèi)容有引言、橢圓型反問題、Cauchy問題、反源問題、反散射問題、反譜問題、X斷層攝影術(shù)、計(jì)算機(jī)斷層（CT）、發(fā)射斷層（ET）、電阻抗斷層（EIT）、光學(xué)斷層（OT）和光聲斷層（PT）；3.線性問題的Tikhonov理論，主要內(nèi)容有適定性、價(jià)值函數(shù)計(jì)算、基本估計(jì)、后驗(yàn)參數(shù)選擇規(guī)則、增廣Tikhonov正則化和多參數(shù)Tikhonov正則化；4.非線性反問題的Tikhonov理論，主要內(nèi)容有適定性、經(jīng)典收斂率分析、新型收斂率分析、參數(shù)辨識(shí)問題、Banach空間中的收斂率分析和條件穩(wěn)定性；5.非光滑最優(yōu)化條件，主要內(nèi)容有最優(yōu)點(diǎn)的存在性與最優(yōu)化必要條件、非光滑最優(yōu)化算法、增廣Lagrange方法、GaussNewton方法、半光滑Newton方法、 稀疏最優(yōu)化、原始-對(duì)偶作用集方法、非光滑非凸最優(yōu)化、雙共軛函數(shù)、松弛和半光滑Newton方法；6.直接反演方法，主要內(nèi)容有反演散射方法、MUSIC算法、線性抽樣方法、直接抽樣方法、點(diǎn)源辨識(shí)、數(shù)值連續(xù)唯一性和Gel'fandLevitanMarchenko變換；7.貝葉斯推斷，主要內(nèi)容有貝葉斯推斷的基本原理、模型選擇、Markov鏈、Monte Carlo模擬、MCMC算法、收斂性分析、加速M(fèi)CMC算法、逼近推斷、KullbackLeibler發(fā)散和逼近推斷算法。最后給出的是三個(gè)附錄，附錄A奇異值分解；附錄B 噪聲模型；附錄C 指數(shù)族。

本書討論了基于模型的反問題求解的數(shù)學(xué)理論和計(jì)算方法，給出了許多反問題求解的新方法。該書適合從事反問題、計(jì)算數(shù)學(xué)、工程技術(shù)及相關(guān)領(lǐng)域研究的研究生和科研人員閱讀和參考。

朱永貴，博士，教授

（中國(guó)傳媒大學(xué)理學(xué)院）