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    非均勻受壓矩形鋼管混凝土局部彈性屈曲分析

    2015-10-30 10:57:08劉永健李慧張寧

    劉永健 李慧 張寧

    摘要:應(yīng)用不同的特征函數(shù)描述了矩形板在非均勻壓力作用下的屈曲形態(tài),解決了采用三角級(jí)數(shù)為屈曲函數(shù)模擬非均勻受壓荷載作用下單側(cè)表面約束矩形板件屈曲模態(tài)的不對(duì)稱(chēng)問(wèn)題;通過(guò)伽遼金法建立屈曲控制方程組,分析了非均勻荷載作用對(duì)矩形鋼管混凝土構(gòu)件局部彈性屈曲性能的影響。結(jié)果表明:鋼管屈曲系數(shù)隨著不均勻荷載梯度α增加而增大,純彎作用下(α=2)的板件彈性屈曲荷載特征值約為軸壓作用下的6倍;鋼板的寬厚比限值隨不均勻加載梯度α的增大而增加;非均勻荷載作用下非加載邊固支約束板件的屈曲系數(shù)明顯大于簡(jiǎn)支約束的板件。

    關(guān)鍵詞:矩形鋼管混凝土;局部彈性屈曲;伽遼金法;臨界屈曲系數(shù)

    中圖分類(lèi)號(hào):TU398.9 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

    Local Elastic Buckling Analysis of Rectangular Concrete-filled

    Steel Tube Under Non-uniform Compression

    LIU Yong-jian1, LI Hui1, ZHANG Ning2

    (1. Shaanxi Provincial Major Laboratory for Highway Bridge & Tunnel, Changan University, Xian 710064, Shaanxi, China; 2. School of Water Resources and Architectural Engineering, Northwest A&F University, Yangling 712100, Shaanxi, China)

    Abstract: The buckling modes of rectangular plates under non-uniform compression were described by using different characteristic functions, and the trigonometric series as buckling function to simulate the surface of the unilateral constraints under non-uniform compression load were solved, which rectangular plate buckling mode was asymmetric. The buckling governing equations by Galerkin method were built, then the effect of local elastic buckling under non-uniform load on rectangular concrete-filled steel tube (CFST) was analyzed. The results show that the steel tube buckling coefficient increases with non-uniform loading gradient α, uniform bending (α=2) plate under elastic buckling load characteristic value is about 6 times than axial compression. The limit values of width-thickness ratio of steel increase with non-uniform loading gradient α. The buckling coefficient of fixed constraint plate with unloaded edges under non-uniform load is greater than that of simply supported plate.

    Key words: rectangle concrete-filled steel tube; local elastic buckling; Galerkin method; critical buckling coefficient

    0引 言

    與圓鋼管混凝土相比,矩形鋼管混凝土結(jié)構(gòu)具有節(jié)點(diǎn)連接構(gòu)造簡(jiǎn)單、施工方便的特點(diǎn)[1],適合作為鋼管混凝土拱、桁架梁等新型橋梁結(jié)構(gòu)的壓彎桿件。為使壓彎桿件具有較大的抗彎剛度和承載力,一般會(huì)增加矩形鋼管混凝土的截面厚度(寬厚比)[2-3]。若桿件截面寬厚比過(guò)大,矩形鋼管混凝土側(cè)壁板件在壓力作用下易發(fā)生局部鼓曲,降低了結(jié)構(gòu)的整體承載力[4-5]。

    鋼管屈曲時(shí),核心混凝土對(duì)鋼板提供側(cè)向約束,阻止鋼板向混凝土一側(cè)屈曲,使屈曲只能朝外側(cè)發(fā)生,因而提高了板件失穩(wěn)時(shí)的屈曲荷載特征值[6-7]。在壓彎作用下,鋼管側(cè)壁的局部穩(wěn)定看作單側(cè)表面約束矩形板的非均勻受壓屈曲問(wèn)題。該模型假定鋼板放置在無(wú)拉力彈性地基上,受非線性接觸約束[8-9]。此類(lèi)屈曲能夠使用能量法近似求解,通過(guò)假定符合板件約束條件的變形函數(shù),利用勢(shì)能駐值原理建立相應(yīng)的方程組求解[10]。Wright[11]認(rèn)為單側(cè)受混凝土約束的鋼板屈曲變形可用二重三角級(jí)數(shù)描述,并且計(jì)算了軸壓鋼板在各種邊界約束條件下的彈性屈曲荷載特征值。該函數(shù)能夠反映軸壓作用下板件的撓曲面形狀,在矩形鋼管混凝土柱的局部屈曲分析中得到了廣泛應(yīng)用[12]。Uy等[13]使用有限條法計(jì)算了各類(lèi)板件的屈曲荷載特征值,該方法仍然使用三角函數(shù)描述沿荷載作用方向的屈曲變形,而在垂直荷載作用方向?qū)Π寮l分離散,用有限個(gè)離散點(diǎn)的側(cè)向位移來(lái)描述板件的撓曲變形,得到板件屈曲的半解析解。Shahwan等[14]通過(guò)變分原理建立了單側(cè)表面約束板件的屈曲方程組,然后在板件上施加側(cè)向力形成初始缺陷,用以抵消迭代求解方程組時(shí)遇到的矩陣奇異問(wèn)題,所求結(jié)果可近似看作結(jié)構(gòu)的屈曲特征值。Ma等[15]使用高次多項(xiàng)式函數(shù)近似表示板件沿垂直荷載作用方向的變形,并代入板件屈曲偏微分控制方程,通過(guò)數(shù)值迭代板件的非線性接觸問(wèn)題。這些研究可獲得單側(cè)表面約束矩形板在軸壓作用下的屈曲荷載特征值,以及板件邊界條件對(duì)屈曲模式的影響,其變化規(guī)律符合試驗(yàn)研究結(jié)果[16]。然而,針對(duì)壓彎荷載作用下的單側(cè)表面約束板件屈曲問(wèn)題還沒(méi)有得到有效解決,這是由于以三角級(jí)數(shù)作為屈曲函數(shù)不能完全模擬非均勻荷載帶來(lái)的板件屈曲模式不對(duì)稱(chēng)問(wèn)題,而有限條法等數(shù)值方法求解過(guò)程復(fù)雜,無(wú)法直接給出該類(lèi)板件屈曲的解析解。

    在此基礎(chǔ)上,本文針對(duì)矩形鋼管混凝土管壁屈曲時(shí)的邊界條件,嘗試使用不同的特征函數(shù)來(lái)描述矩形板在非均勻壓力作用下的屈曲,通過(guò)伽遼金法建立屈曲控制方程組,分析非均勻荷載對(duì)矩形鋼管混凝土構(gòu)件局部屈曲性能的影響。

    1屈曲模型

    屈曲板件的非均勻荷載分布如圖1(a)所示,將幾何尺寸為a×b的矩形鋼板放置于混凝土上,忽略鋼板與混凝土之間無(wú)粘結(jié)和摩擦作用,其中,a為板件長(zhǎng)度,b為板件寬度。在壓力和彎矩共同作用下,鋼板沿y方向的截面應(yīng)力為線性分布,受壓邊緣最大壓應(yīng)力為σ1,受拉邊緣的應(yīng)力為σ2,計(jì)算時(shí)以壓應(yīng)力為正值,拉應(yīng)力為負(fù)值。引入應(yīng)力梯度系數(shù)α=(σ1-σ2)/σ1,則距受壓邊緣y處的應(yīng)力σ可表示為σ=σ1(1-αy/b)。鋼管混凝土管壁受臨界屈曲應(yīng)力σcr作用下的屈曲模型如圖1(b)所示。

    可以發(fā)現(xiàn),α=0表示均勻受壓的板,而α=2為純彎作用的板。由彈性板的小撓度理論可得受面內(nèi)荷載作用的平板穩(wěn)定方程為[17]

    D(4ωx4+24ωx2y2+4ωy4)=

    Nx2ωx2+2Nxy2ωxy+Ny2ωy2

    (1)

    式中:ω為撓曲函數(shù);D為單位寬度板的抗彎剛度,D=Et312(1-ν2),t為鋼板厚度,E為鋼板彈性模量,ν為鋼板泊松比;Nx,Ny分別為沿x,y方向的中面力;Nxy為面內(nèi)的剪切荷載。

    由于板僅承受單向面內(nèi)荷載,有Ny=0,Nxy=0,Nx=-N0(1-αyb),則整理式(1)可得

    ω4x4+24ωx2y2+4ωy4+N0D(1-αyb)2ωx2=0

    (2)

    將式(2)坐標(biāo)系量綱為1化,引入ξ=xa,η=yb,則有

    L(ω)=4ωξ4+2β24ωξ2η2+β44ωη4+ a2N0D(1-αyb)

    2ωξ2=0

    (3)

    式中:β為屈曲板件的長(zhǎng)寬比,β=a/b;L(ω)為非均勻荷載作用下板屈曲的平衡偏微分函數(shù)。

    屈曲變形函數(shù)的多項(xiàng)式可表示為

    ω=∑ni=1Aiφi(ξ,η)

    (4)

    式中:Ai為屈曲變形函數(shù)的待定系數(shù);φi(ξ,η)為相應(yīng)的基函數(shù);i為屈曲函數(shù)的疊加次數(shù)。

    結(jié)合式(3)和式(4),建立伽遼金方程組,即

    薄壁鋼管的撓曲函數(shù)ω受板邊界約束影響,若將內(nèi)側(cè)混凝土看作剛性基底,鋼板向外側(cè)鼓曲,沿y方向僅有1次鼓曲,而沿x方向連續(xù)鼓曲(圖1)。受混凝土側(cè)向約束的影響,鋼板加載邊轉(zhuǎn)角為0,可視作固支邊界。鋼板沿y方向屈曲時(shí),上、下邊緣的非加載邊不能自由轉(zhuǎn)動(dòng),該位置是介于簡(jiǎn)支與固支之間的彈性約束,可分別考慮2種極限邊界條件下的屈曲模式。

    1.1非加載邊為固支約束

    若非加載邊為固支邊界,鋼板屈曲變形應(yīng)滿(mǎn)足:

    (1)當(dāng)x=0,a時(shí),w=0,wx=0。

    (2)當(dāng)y=0,b時(shí),w=0,wy=0。

    假設(shè)屈曲函數(shù)式(4)中符合該條件的特征形函數(shù)滿(mǎn)足

    φi(ξ,η)=X(ξ)Yi(η)

    (6)

    式中:X(ξ)為x方向的屈曲位移;Yi(η)為y方向的屈曲位移。

    沿x方向鋼板連續(xù)鼓曲,可使用三角函數(shù)來(lái)描述側(cè)向屈曲位移,即

    X(ξ)=1-cos(2πξ)

    (7)

    沿y方向鋼板屈曲受非均勻壓力作用的影響,鼓曲變形非對(duì)稱(chēng)分布,本文使用單跨固支梁的自由振動(dòng)特征函數(shù)來(lái)描述該方向的屈曲位移[18]。

    當(dāng)i=1,3,5,…時(shí)

    式中:當(dāng)i≥3時(shí),ω接近真實(shí)的屈曲位移,本文中取i=4。

    將特征函數(shù)代入方程組式(5),積分后得線性方程組,令方程組的系數(shù)行列式為0,可得板件的屈曲荷載特征值Ncr=kπ2Db2,k為屈曲系數(shù),在不均勻荷載梯度α一定時(shí),k值取決于矩形鋼板的長(zhǎng)寬比β。對(duì)于α=2的純彎板,沿x方向鼓曲1個(gè)半波(波數(shù)m=1)時(shí),屈曲系數(shù)k可近似表示為

    k=25.5β2+7/β2+32.8

    (8)

    此時(shí)板件長(zhǎng)寬比范圍為0<β<1.1,且在β=0.72附近取得屈曲系數(shù)最小值kmin=59.2。當(dāng)β超過(guò)1.1時(shí),板件沿x方向屈曲2個(gè)半波(m=2),并且隨著長(zhǎng)寬比的增大,m值不斷增加,而屈曲系數(shù)k的變化幅度逐漸縮小,并且最終趨近于kmin,如圖2所示。非加載邊固支鋼板分別在荷載梯度α=0,1,2時(shí),屈曲系數(shù)k與長(zhǎng)寬比β的對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)表1。Leissa等[19]計(jì)算了相同荷載作用下無(wú)表面?zhèn)认蚣s束矩形板的屈曲系數(shù)k隨β的變化情況。由表1可見(jiàn),混凝土側(cè)向約束能夠有效提高受壓鋼板的屈曲荷載,與側(cè)向可自由屈曲的板件相比,其臨界屈曲系數(shù)kmin可提高50%左右。此外,由于混凝土側(cè)向約束的存在,板件沿x方向屈曲變形的波長(zhǎng)有增大的趨勢(shì),如板件受純彎作用(α=2)時(shí),其臨界半波長(zhǎng)由0.5增加到0.7。因此,對(duì)于同樣長(zhǎng)度的矩形板件,單側(cè)表面約束板沿縱向局部屈曲波的數(shù)量要少于無(wú)側(cè)向約束板。

    1.2非加載邊為簡(jiǎn)支約束

    若將鋼板視為加載邊固支、非加載邊簡(jiǎn)支約束,則有邊界條件:

    (1)當(dāng)x=0,a時(shí),w=0,wx=0。

    (2)當(dāng)y=0,b時(shí),w=0,2wy2=0。

    式(4)符合該邊界條件的特征形函數(shù)可設(shè)為

    φi(ξ,η)=X(ξ)Yi(η)= [1-cos(2πξ)]sin(iπη)

    (9)

    同樣將該特征函數(shù)代入方程組式(5),積分后得線性方程組,解得屈曲系數(shù)k隨非均勻荷載梯度α和板件長(zhǎng)寬比β的變化情況,如表2所示。表2中給出了無(wú)表面?zhèn)认蚣s束板在非加載邊簡(jiǎn)支下的屈曲系數(shù)k值[20],與有單側(cè)約束的板件相比,其臨界屈曲系數(shù)kmin提高40%左右。同樣由于側(cè)向約束的存在,板件沿x方向屈曲波間距相對(duì)增加,并且大于

    非加載邊固支的板件,如板件受純彎作用(α=2)時(shí),其臨界半波長(zhǎng)由無(wú)側(cè)向約束的1.0增加到有側(cè)向約束的1.5。

    對(duì)于α=2的純彎板,屈曲系數(shù)k隨鋼板長(zhǎng)寬比β的變化趨勢(shì)見(jiàn)圖3。由圖3可見(jiàn),非加載邊簡(jiǎn)支板的屈曲荷載特征值明顯小于固支約束情況,其最小臨界值kmin=33.7,為固支條件的57%。同時(shí),沿x方向發(fā)生單波鼓曲的長(zhǎng)度范圍相對(duì)較大,0<β<1.5且在β=1.02時(shí)具有最小屈曲系數(shù)。當(dāng)β>1.5時(shí),屈曲板件沿x方向發(fā)生2次鼓曲,并且隨著長(zhǎng)寬比的增大,鼓曲數(shù)量不斷增加,m>5后的屈曲系數(shù)k趨近于最小臨界值kmin。因此,長(zhǎng)寬比對(duì)屈曲荷載的影響僅在β較小時(shí)有效,特別是板件沿x方向只發(fā)生1次屈曲的情況,此時(shí)屈曲系數(shù)k隨長(zhǎng)寬比β的變化曲線可用如下函數(shù)形式表示

    k=Aβ2+B/β2+C

    (10)

    式中:A,B,C均為系數(shù)。

    函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)A,B,C受板件非加載邊約束和不均勻荷載梯度的影響,不同條件下的系數(shù)取值如表3所示。

    2局部屈曲模式

    圖4,5分別為非加載邊固支和簡(jiǎn)支下的屈曲系數(shù)k隨不均勻荷載梯度α的分布曲線。由圖4,5可見(jiàn),隨著α增加,板件屈曲系數(shù)k不斷增大。在α>1后,板件屈曲系數(shù)的提高幅度較為明顯,此時(shí)加載邊底部荷載由壓力變?yōu)槔?,受拉?yīng)力的作用,板件的局部穩(wěn)定性迅速提升。另一方面,非加載邊的約束支撐條件對(duì)板件的屈曲系數(shù)影響較大。通過(guò)比較可知,固支約束的板件在不同外荷載梯度下的屈曲系數(shù)k均大于簡(jiǎn)支約束的板件。固支約束邊界的屈曲系數(shù)在10.32

    彈性屈曲后,板件側(cè)向鼓曲模式同樣受不均勻荷載梯度和非加載邊約束的影響。如前所述,鋼板沿y方向僅發(fā)生1次鼓曲,而沿x方向連續(xù)鼓曲。隨不均勻荷載梯度α的增加,縱向鼓曲波間距逐漸減小,并且單波波峰沿橫向逐漸向壓力大的一側(cè)偏移。圖6為β=3時(shí)非加載邊固支約束板在不同荷載梯度下的彈性屈曲模態(tài)。一般而言,當(dāng)α<1時(shí),其屈曲變形與板件受軸壓作用的鼓曲模式接近,屈曲鋼板基本在橫向中心線上發(fā)生最大側(cè)向鼓曲,而相鄰屈曲波的縱向間距近似等于板件寬度b。當(dāng)α>1時(shí),非均勻荷載開(kāi)始出現(xiàn)一部分拉力,致使屈曲荷載系數(shù)k不斷增加,屈曲波的波峰明顯向板件受壓側(cè)偏移,受純彎作用(α=2)的波峰最大偏移量約為0.19b,此時(shí)屈曲波的橫向斷面為非對(duì)稱(chēng)形式。此外,沿相鄰屈曲波的縱向間距有縮短趨勢(shì),其間距從受軸壓作用的1.0b減小到受純彎作用的0.7b,因此在板件長(zhǎng)度一定時(shí),受彎板件沿縱向的屈曲波數(shù)量將相對(duì)增加。由圖6可以看出,當(dāng)α=2時(shí),板件沿縱向的屈曲波數(shù)量從3個(gè)增加到4個(gè),此時(shí)單波間距為0.75b。值得注意的是,在β較小時(shí),沿x方向的縱波數(shù)量同樣受β影響。如當(dāng)α=1.5時(shí),圖6中的縱波數(shù)量m=3與板件長(zhǎng)寬比β=3相等,即縱波間距等于1.0b;當(dāng)β=5時(shí),縱波數(shù)量m將增加到6個(gè),此時(shí)的縱波間距約為0.83b。隨著長(zhǎng)寬比增大,β對(duì)屈曲板件縱波數(shù)量的影響逐漸減小,縱波間距趨于固定值,對(duì)于非均勻荷載梯度α=1.5的無(wú)限長(zhǎng)板件,該間距值約為0.92b。

    同樣,非加載邊簡(jiǎn)支板件在不同荷載梯度下的彈性屈曲模態(tài)變化規(guī)律與固支板件較為接近,如圖7所示。當(dāng)α<1時(shí),其屈曲變形可近似用板件受軸壓作用的鼓曲模式表示,鼓曲波形沿橫向斷面基本呈對(duì)稱(chēng)分布;當(dāng)α>1時(shí),屈曲波峰逐漸向板件受壓側(cè)偏移,在純彎作用下(α=2)產(chǎn)生最大偏移,偏移量約為0.2b,該值略大于非加載邊固支約束的板件。此外,隨著α的增加,鼓曲波的縱向間距從1.5b逐漸減小到1.0b,該間距大于非加載邊固支約束的板件,因此對(duì)于相同長(zhǎng)度的板件,簡(jiǎn)支板的鼓曲次數(shù)應(yīng)小于固支約束的板件。如當(dāng)α=2時(shí),鼓曲波數(shù)量m=3(圖7),而相同荷載作用下固支約束板m=4(圖6)。

    3臨界寬厚比

    當(dāng)板件長(zhǎng)寬比β較大時(shí),屈曲系數(shù)k不再隨之發(fā)生變化,并且趨近于最小臨界值kmin,因此可用kmin近似計(jì)算細(xì)長(zhǎng)板件的屈曲荷載特征值。臨界屈曲系數(shù)kmin受不均勻荷載梯度α和非加載邊約束條件的影響,其變化分布曲線見(jiàn)圖8。由圖8可以看出,臨界屈曲系數(shù)kmin隨不均勻荷載梯度α呈非線性增加,在0<α<1范圍內(nèi),臨界屈曲系數(shù)的增速相對(duì)較慢,與軸心受壓板件的屈曲系數(shù)相比,約提高了1倍;在1<α<2范圍內(nèi),kmin迅速提高,其極值比軸心受壓情況提高了5倍左右。

    由矩形板的屈曲荷載計(jì)算一般式可得到臨界屈曲應(yīng)力σcr[17],即

    σcr=k12(1-μ2)π2E(b/t)2

    (11)

    為使板件承載力得到充分利用,板件不應(yīng)先于鋼管混凝土構(gòu)件整體屈曲,即滿(mǎn)足等穩(wěn)原則。矩形鋼管混凝土構(gòu)件的等穩(wěn)條件較為復(fù)雜,為簡(jiǎn)單起見(jiàn),可要求板件的彈性屈曲應(yīng)力不小于其屈服強(qiáng)度f(wàn)y,即fy≤σcr。將臨界屈曲應(yīng)力公式(11)代入關(guān)系式,并引入板件的相對(duì)寬厚比參數(shù),整理可得

    btfy235≤kπ2E12(1-μ2)1235

    (12)

    式中:btfy235為板件的相對(duì)寬厚比;對(duì)于鋼板,E=2.06×105 MPa,μ=0.3。

    對(duì)于長(zhǎng)寬比β較大的細(xì)長(zhǎng)板件,可用其最小臨界屈曲系數(shù)kmin代表k值,并根據(jù)上述kmin與α的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得鋼管相對(duì)寬厚比限值隨不均勻荷載梯度α的變化曲線,如圖9所示。鋼板的寬厚比限值隨α的增大而增加,若非加載邊看作固支約束,受純彎作用板件的寬厚比限值約為216,是軸壓作用下寬厚比限值的2.4倍。在非加載邊簡(jiǎn)支約束下,鋼板的寬厚比限值能達(dá)到163,仍然遠(yuǎn)大于各種約束條件下鋼板受軸壓作用的臨界寬厚比。因此,對(duì)于偏心受壓或純彎作用的矩形鋼管混凝土構(gòu)件,可根據(jù)不均勻荷載梯度α的大小,適當(dāng)放寬截面尺寸從而提高結(jié)構(gòu)的承載力。

    4結(jié)語(yǔ)

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