數(shù)學(xué)解題中誘發(fā)學(xué)生分類討論的七種因素

劉家良

能否依照一條“主線”對問題進(jìn)行合理分類是衡量學(xué)生思維條理性及嚴(yán)謹(jǐn)性的試金石.在初中階段，具有哪些因素的問題能誘發(fā)學(xué)生的分類討論呢？對此，筆者歸納了誘發(fā)學(xué)生分類討論的七種因素，旨在引導(dǎo)學(xué)生思考與分類有關(guān)的問題時(shí)能找出問題中的一條“主線”作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，合理取舍，力求使各種可能的結(jié)果做到不重不漏，以此逐步養(yǎng)成學(xué)生的分類討論意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性和嚴(yán)謹(jǐn)性.

一、邊（角）指代不明誘發(fā)的分類

某些圖形中的邊（或角）的大小雖已知，但具體是哪條邊（或哪個(gè)角）指代并不明確.對此先將邊（或角）歸類，再依據(jù)定義或定理求解.

例1 等腰三角形的一條邊長為6，另一邊長為13，則它的周長為（ ）.

（A）25 （B）25或32 （C）32 （D）19

分析：長為6和13的兩邊，沒有明確“誰”是等腰三角形的底邊和腰，所以先需將“6”歸類（分別為底邊和腰）再求三角形的周長.但注意當(dāng)6為腰時(shí)，則其他兩邊為6， 13，因?yàn)?6+6<13，所以6，6，13不能構(gòu)成三角形，應(yīng)舍去.故應(yīng)選C.

例2 一個(gè)直角三角形的兩邊長分別為6和8，則該三角形中較小銳角的正弦值為 .

分析：長為8的邊雖在已知邊中較長，但沒有明確出它是直角邊還是斜邊，對此先需對“8”歸類（分別為直角邊和斜邊）.結(jié)果為：或.

中等生和學(xué)困生在解答邊（或角）指代不明的問題中，常常會(huì)丟掉其中的一種可能情況.對此，教師需將具有種屬和并列關(guān)系的概念“串”在一起，通過比對，尋找異同點(diǎn)，澄清模糊點(diǎn)，做到準(zhǔn)確理解概念內(nèi)涵，把握概念外延.在批改作業(yè)中，在“隱藏”分類的關(guān)鍵字眼處用“字符邊框”的方式圈注進(jìn)行提示，如例2中可將 “兩邊長”圈注，提醒學(xué)生應(yīng)分類思考.

二、圖形間相對位置關(guān)系不明朗誘發(fā)的分類

圖形之間的相對位置關(guān)系若在已知條件中不明朗，則需先列出所有可能的位置關(guān)系，再分情況逐一求解.

例3 已知△ABC的外心為點(diǎn)O，若∠BOC=100°，則∠A的度數(shù)為 .

分析：△ABC與其外心O的位置關(guān)系存在三種情況：當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，其外心O在形內(nèi)；當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，其外心O在形外；當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，其外心O在斜邊上.而這三種情況都有可能，如圖1，圖2.結(jié)果為：50°或130°.

【注】多數(shù)學(xué)生只想到外心在三角形內(nèi)部而忽視了外心在三角形外和一邊上的情形.對此，教師在作業(yè)講評時(shí)，要讓學(xué)生逐一按銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形畫出三角形的外心，明確三種情況，在理解外心定義中，融入了分類意識(shí).

三、對應(yīng)關(guān)系不明確誘發(fā)的分類

三角形的全等或相似的判定和性質(zhì)都體現(xiàn)了“對應(yīng)”思想.所以在已知圖形全等或相似的前提下解邊（或角）的問題時(shí)，需要突出邊（或角）的對應(yīng)關(guān)系.

例4 兩個(gè)三角形相似，一個(gè)三角形的三邊長分別為，，2，另一個(gè)三角形的兩邊長分別為1，，則它的第三邊長為 .

分析：已知三角形的三邊按從小到大的順序排序?yàn)?，?，.設(shè)所求三角形的第三邊長為x，因?yàn)閮蓚€(gè)相似三角形中邊的對應(yīng)關(guān)系不明確，所以需將x的取值需分三種情況：x<1，1.至此，按相似三角形對應(yīng)邊的比相等即可得到x值.結(jié)果為x=.

【注】雖然有部分學(xué)生也得到了問題的答案，但是沒有分類的一種“巧合”.對此類問題要樹立對應(yīng)思想，形成思維問題的有序性.

四、“動(dòng)”——誘發(fā)圖形量變或形變的分類

這里，“動(dòng)” 指圖形大?。ɑ蛐螤睿┳兓耐瑫r(shí)其相應(yīng)圖象也隨之發(fā)生變化.解這類問題時(shí)，要學(xué)會(huì)“閱讀”圖象，既要分“段”破譯，又要將“段”與“段”綜合在一起通盤思考.對此要挖掘每段圖象所蘊(yùn)含的信息量和“段”與“段”之間“折點(diǎn)”的信息，將形與數(shù)的結(jié)合與轉(zhuǎn)換思想融入其中.

例5 如圖3，點(diǎn)E為矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿BE→ED→DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，它們的運(yùn)動(dòng)速度都是1cm/s.設(shè)P，Q出發(fā)t秒時(shí)，△BPQ的面積為y（cm2），已知y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖4（曲線OM為拋物線的一部分）.則下列結(jié)論：

①AD=BE=5cm；②當(dāng)0

（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

分析：從圖4中看出△QBP的面積變化呈現(xiàn)出三個(gè)特征：綜合圖象前2段的信息（5s時(shí)△QBP的面積最大且持續(xù)2s面積都不變），對照圖3，知P，Q出發(fā)5秒時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E，同時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)了點(diǎn)C，從而得到BC，BE的長度；在第2段圖象中，對照圖3，點(diǎn)P從點(diǎn)E到點(diǎn)D中，用時(shí)2s，可得ED，AE的長度.在第3段圖象中，對照圖3，點(diǎn)P從點(diǎn)D到點(diǎn)C中，△QBP的面積逐步減小，直至為0.

解：根據(jù)圖4中前2段的信息，結(jié)合圖3，知當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E的同時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)了點(diǎn)C.因?yàn)辄c(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/s，所以BC=BE=5，AD=5.當(dāng)0

【注】根據(jù)圖4判斷出點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C是解題的關(guān)鍵，是本題的切入點(diǎn).

五、式、方程、函數(shù)內(nèi)涵不具體時(shí)誘發(fā)最高項(xiàng)系數(shù)為0和非0的分類

當(dāng)一個(gè)式、方程或函數(shù)中的最高項(xiàng)系數(shù)是含有字母的式子且式、方程或函數(shù)的“名稱”不明確時(shí)，需對含字母的式子是0和非0進(jìn)行分類.

例6 已知函數(shù)y=mx2-6x+1（m是常數(shù)）.若該函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值.

分析：最高項(xiàng)的系數(shù)為m，而函數(shù)沒有明確一定是二次函數(shù)，所以需對m為0和非0的情況進(jìn)行分類.①當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)y=-6x+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（，0）；②當(dāng)m≠0時(shí)，y=mx2-6x+1為二次函數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，所以二次方程mx2-6x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.所求m的值為0或9.

解這類問題時(shí)需要學(xué)生先仔細(xì)讀題、審題后再下筆.教師在“究因”中，要將易混的相關(guān)概念通過學(xué)生比較尋找出異同點(diǎn)，同時(shí)結(jié)合解題摳字眼的過程進(jìn)一步明晰概念的內(nèi)涵.

六、雙曲線“分支”描述誘發(fā)的分類

反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象為雙曲線.對同一個(gè)k值，其增減性應(yīng)分“象限”考察，就是說，同一個(gè)k值，同一個(gè)象限內(nèi)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小可以按“增減性”去判斷，但在兩個(gè)分支上的點(diǎn)就不能按“增減性”去判斷了.

例7 一次函數(shù)y1=kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)y2=（m≠0），在同一直角坐標(biāo)系中的圖象如圖6所示，若y1>y2，則x的取值范圍是（ ）.

（A）-2

（B）x<-2或0

（C）x<1

（D）-2

分析：由圖6知，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點(diǎn)（-2，-2），（1，4）.當(dāng)-2y2；當(dāng)x>1時(shí)（第一象限），y1>y2.故此，選A.

本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)及學(xué)生讀圖能力，旨在讓學(xué)生注意到反比例函數(shù)的“增減性”是“分支”（分象限）考察的.

七、“規(guī)則”呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)誘發(fā)的分類

某些應(yīng)用題的“規(guī)則”呈現(xiàn)出“動(dòng)態(tài)”性，則相應(yīng)的計(jì)算法則也隨之發(fā)生了變化.

例8 某樓盤一樓是車庫（暫不出售），二樓至二十三樓均為商品房（對外銷售）.商品房售價(jià)方案如下：第八層售價(jià)為3000元/米2，從第八層起每上升一層，每平方米的售價(jià)增加40元；反之，樓層每下降一層，每平方米的售價(jià)減少20元.已知商品房每套面積均為120平方米.開發(fā)商為購買者制定了兩種購房方案：

方案一：購買者先交納首付金額（商品房總價(jià)的30%），再辦理分期付款（即貸款）.

方案二：購買者若一次付清所有房款，則享受8%的優(yōu)惠，并免收五年物業(yè)管理費(fèi)（已知每月物業(yè)管理費(fèi)為a元）.

（1）請寫出每平方米售價(jià)y（元/米2）與樓層x（2≤x≤23，x是正整數(shù)）之間的函數(shù)解析式.

（2）小張已籌到120000元，若用方案一購房，他可以購買哪些樓層的商品房呢？

（3）有人建議老王使用方案二購買第十六層，但他認(rèn)為此方案還不如不免收物業(yè)管理費(fèi)而直接享受9%的優(yōu)惠劃算.你認(rèn)為老王的說法一定正確嗎？請用具體數(shù)據(jù)闡明你的看法.

分析：（1）購買者購買的樓層x有可能高于第八層，也有可能低于第八層，而兩者的購房方案不同.故此需將x分大于8和小于8兩種情況討論.

（2）因?yàn)樾堎彿坎捎梅桨敢?，故只需求出小張按這種方案付款的算式，需按照高于第8層和低于第8層兩種情況來進(jìn)行（承接第一問）；無論購置哪一個(gè)樓層，小張付款金額都不會(huì)大于120000元，由此產(chǎn)生了不等關(guān)系.

（3）判斷老王自想的法則和方案二哪一個(gè)購房更劃算，需先求出各自對應(yīng)的付款算式.因?yàn)榉桨付械乃闶街泻凶帜竌，無法直接比較二者大小，故應(yīng)采用逆向思維的方法分類來解.

解：（1）當(dāng)2≤x≤8且x是正整數(shù)時(shí)，y=3000-（8-x）×20=20x+2840；當(dāng)9≤x≤23且x是正整數(shù)時(shí)，y=3000+（x-8）×40=40x+2680.

（2）由（1），知①當(dāng)2≤x≤8時(shí)，因?yàn)樽钯F的是第8層，首付款為：3000×120×30%=108000元，小于120000元，所以小張可從2～8層中任選一層；②當(dāng)9≤x≤23時(shí)，由（40x+2680）×120×30%≤120000，得x≤16.因?yàn)閤為正整數(shù)且9≤x≤23，所以小張用方案一可以購買二至十六層的任何一層.

（3）若老王按方案二購買第十六層，則要實(shí)交房款為w1=（40×16+2680）×120×92%-60a（元）.若按老王自想的法則要交房款為w2=（40×16+2680）×120×91%（元）.w1-w2=3984-60a.當(dāng)w1>w2時(shí)，得0

【注】（1）分類求函數(shù)式是一個(gè)從特殊歸納出一般規(guī)律的探究過程.（2）“120000元”購置樓房，不論購買哪一層，有可能出現(xiàn)剩余，也有可能用盡.（3）逆向性分類（由結(jié)論找條件），展現(xiàn)了思維的靈動(dòng)性.

以上列舉了誘發(fā)學(xué)生分類討論的七種因素，只不過是拋出了一塊“磚”（分類的形式、內(nèi)容）而已，從中如何引出一塊玉（分類的意識(shí)和思想）是筆者撰文的歸宿點(diǎn).在教學(xué)中讓學(xué)生體驗(yàn)具有種屬關(guān)系概念的分類原則（如有理數(shù)、實(shí)數(shù)的分類），從解有關(guān)“分類”的習(xí)題（如動(dòng)點(diǎn)、圓、相似三角形）中主動(dòng)尋找分類的“主線”.久之，分類的意識(shí)、思想就會(huì)逐步生成.