例談高中數(shù)學解題中的“法寶”

吳悅彩

高中數(shù)學教學課程標準中明確規(guī)定了學習數(shù)學不僅包括數(shù)學內(nèi)容、數(shù)學語言，更重要的是數(shù)學思想、方法。在數(shù)學解題過程中，某些數(shù)學問題用常規(guī)方法是難以解決的，這時可以根據(jù)題目的條件和結(jié)論的特征，從新的角度，用新的觀點去觀察分析，用已知的數(shù)學關系為“支架”構造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學對象，使原問題中隱晦不清的關系在新構造的數(shù)學對象中清楚地表現(xiàn)出來，從而借助該數(shù)學對象解決數(shù)學問題。這種解決數(shù)學問題的方法就是構造法。

一、構造法解題的思路

構造法解題的基本思想方法是“轉(zhuǎn)化”思想。用構造法解題的巧妙之處在于不是直接去解決所給的問題，而是把它轉(zhuǎn)化成一個與原問題有關的輔助新問題，然后通過新問題的解決幫助解決原問題。

二、構造法的思維方式

構造法是一種簡捷、快速，靈活變通的解題方法，這些特點，特別是簡捷的特點會大大提高學生的求知欲，他們會有一種躍躍欲試的渴望，但卻無從知道什么樣的問題適合用構造法去解，如何構造？

應用構造法解題的關鍵一是要明確的解題方向，即要明確為了解決什么樣的問題面建立一個相應的構造；二是要弄清條件的本質(zhì)特點，以便重新進行邏輯整合。構造法的思維方式是多樣的，主要有類比構造，即所研究問題對象之間或這些對象與已學過的知識間存在著形式上、本質(zhì)上的相同或相似性的可考慮類比構造；聯(lián)想構造、轉(zhuǎn)換構造、歸納構造、直覺構造、逆向構造，即按逆向思維方式，向原有數(shù)學形式的相反方向去思考，通過構造對立的數(shù)學形式來解決問題。

三、構造法在中學數(shù)學解題中的應用

1. 構造函數(shù)

函數(shù)在整個中學數(shù)學是占有相當?shù)膬?nèi)容，學生對于函數(shù)的性質(zhì)也比較熟悉。選擇爛熟于胸的內(nèi)容來解決棘手問題，會大大提高學生解決問題的能力。

2. 構造一元二次方程

方程作為中學數(shù)學的重要內(nèi)容之一，它與代數(shù)式、函數(shù)、不等式等知識密切不可分。依據(jù)方程理論，能使許多的問題得以轉(zhuǎn)化從而得到解決，這對學生的數(shù)學思想的培養(yǎng)具有重要意義。

有些數(shù)學題，經(jīng)過觀察可以構造 一個方程，從而得到巧妙簡捷的解答。

例2 若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0 ，求證：x，y，z成等差數(shù)列。

分析：拿到題目感到無從下手，思路受阻。但我們細看，題目條件酷似一元二次方程根的判別式。

證明：令a=x- y，b=z-x ，c=y -z，于是可構造方程ax2+bx+c=0 .

由已知條件可知方程有兩個相等根x=1，所以根據(jù)根與系數(shù)的關系有y-z=x-y，即x+z=2y.得證x，y，z成等差數(shù)列。

通過上面的例子我們在解題的過程中要善于觀察，善于發(fā)現(xiàn)，在解題過程中不墨守成規(guī)，要大膽去探求解題的最佳途徑。

3. 構造幾何圖形

借助幾何圖形來解決問題是構造法的一種重要方式。對于本身不具備圖形的一些數(shù)學問題，由于它的條件中數(shù)量關系有明顯的幾何意義或某些方面可以將問題轉(zhuǎn)化成幾何圖形，借助幾何圖形的性質(zhì)來研究，從而實現(xiàn)解題的目標。

4. 構造數(shù)列

在高中數(shù)學教材中，有很多已知等差數(shù)列的首項、公比或公差（或者通過計算可以求出數(shù)列的首項、公比），來求數(shù)列的通項公式，但實際上有些數(shù)列并不是等差、等比數(shù)列，給出數(shù)列的首項和遞推公式，要求出數(shù)列的通項公式。而這些題目往往可以用構造法，根據(jù)遞推公式構造出一個新數(shù)列，從而間接地求出原數(shù)列的通項公式。

構造法遠不只是本文指出的這幾種方法，還有其他方法，在此不一一列舉。在解題過程中，只有善于多觀察，多對比分析，才能更容易找到要創(chuàng)造的對象。在教學中，若能有意識地培養(yǎng)學生在學習研究的過程中創(chuàng)新意識，使學生體會知識間的內(nèi)在聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化，則能為學生解決問題創(chuàng)造出構造解決問題的有利條件。

責任編輯 羅 峰