跨越直觀 深入本質(zhì)

周瑩

“平行四邊形面積”是小學(xué)傳統(tǒng)的幾何內(nèi)容，10年間我先后三次執(zhí)教該節(jié)公開(kāi)課。隨著教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的豐富與教學(xué)理念的不斷更新，課堂教學(xué)從開(kāi)始的“一味強(qiáng)調(diào)等積轉(zhuǎn)化”到“用面積單位度量和等積轉(zhuǎn)化平行展示”，最后“順應(yīng)學(xué)生思維實(shí)現(xiàn)兩種方式的溝通”，真正幫助學(xué)生理解面積計(jì)算公式。這一變化讓學(xué)生學(xué)習(xí)空間不斷加大，教師也由講授者慢慢向組織者與引導(dǎo)者轉(zhuǎn)變。很好地達(dá)成了“引導(dǎo)學(xué)生在直觀理解基礎(chǔ)上，跨越直觀達(dá)到本質(zhì)理解”的課堂教學(xué)效果。

一、引入

1.知識(shí)回顧。（課件出示一個(gè)平行四邊形）這是什么圖形？四年級(jí)的時(shí)候我們認(rèn)識(shí)了平行四邊形，它有什么特點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：一種圖形的面積計(jì)算公式，從本質(zhì)上說(shuō)，是由它的形體特征所決定的。平行四邊形之所以可以通過(guò)“剪、拼”的方式，轉(zhuǎn)化為與它等底等高的長(zhǎng)方形，利用長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式求得面積，就是由它對(duì)邊平行且相等的形體特征所決定的。正是這一特征，使得通過(guò)剪、拼的方法得到長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬正好對(duì)應(yīng)著原來(lái)平行四邊形的底和高。本環(huán)節(jié)喚醒學(xué)生對(duì)平行四邊形形體特征的認(rèn)識(shí)，為后面自主研究平行四邊形面積奠定基礎(chǔ)。

2.引入新課。

師：今天我們來(lái)研究平行四邊形的面積，要想知道這個(gè)平行四邊形的面積是多少，你需要知道些什么？

生1：我想知道長(zhǎng)和寬。

師：你上來(lái)指一下，你需要哪些數(shù)據(jù)？

（學(xué)生指了相鄰的兩條邊，課后調(diào)查，很多學(xué)生把平行四邊形的兩條相鄰的邊自主遷移為平行四邊形的長(zhǎng)和寬。）

師：你是打算研究一下這兩條邊和面積之間的關(guān)系。

生2：我想知道高。

師：剛才這兩位同學(xué)都是想要平行四邊形邊和高的數(shù)據(jù)，不用數(shù)據(jù)可以嗎？

生3：用數(shù)格子的方法也可以的。

師：你想用面積單位來(lái)測(cè)量一下……

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生思考“需要什么？”激活學(xué)生的思維，迫使學(xué)生調(diào)用已有的長(zhǎng)、正方形面積測(cè)量的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，思考確定一個(gè)平行四邊形面積的方法。

二、探究

1.研究目標(biāo)。

老師準(zhǔn)備了這兩種學(xué)習(xí)材料（圖1、圖2），請(qǐng)選擇你需要的材料，想辦法確定出圖中平行四邊形的面積。

圖1 ? ? ? ? ?圖2

2.反饋交流。

師：（多媒體出示圖1）哪些同學(xué)是選擇這個(gè)材料的？誰(shuí)上來(lái)給我們介紹一下你是怎么想的？研究的結(jié)果是什么？

生1：我是這樣想的，這個(gè)平行四邊形的面積就是它所包含的面積單位的個(gè)數(shù)，也就是說(shuō)，我們只要數(shù)出這里面有多少個(gè)面積單位就行了。我的研究結(jié)果是：它的面積是18平方厘米。

師：有同學(xué)對(duì)他的發(fā)言要提問(wèn)或補(bǔ)充的嗎？

生2：請(qǐng)問(wèn)這里面有很多不足一個(gè)面積單位的地方，這些地方怎么數(shù)？

生1：不夠一格的，我們只需要把它們拼成整格的再數(shù)就可以了。大家可以觀察一下，你們看出來(lái)哪些地方可以拼在一起了嗎？

生3：我發(fā)現(xiàn)，每一行左邊的一小塊都可以與它對(duì)應(yīng)的右邊的一塊拼起來(lái)，我給大家拼一下……

（學(xué)生在多媒體課件上拖動(dòng)平移）

生4：其實(shí)也可以把左邊的大三角形整塊移到右邊拼在一起的。

……

師：這樣一拼，剛才不足一格的問(wèn)題解決了嗎？這個(gè)平行四邊形的面積是多少？若是請(qǐng)你寫一道算式，你打算怎么寫？

生5：6乘3等于18平方厘米。

師：這里的6和3分別表示什么？

生5：6表示一層有6平方厘米，3表示有這樣的3層。

師：噢，用了“每層數(shù)×層數(shù)”來(lái)計(jì)算這個(gè)平行四邊形所包含的面積單位的數(shù)量。

師：（多媒體出示圖2）哪些同學(xué)是利用這個(gè)材料來(lái)研究平行四邊形面積的？誰(shuí)上來(lái)介紹一下你是怎么想的？研究的結(jié)論是什么？

生6：其實(shí)我的方法和剛才的差不多，就是把左邊的三角形直接拼到右邊去。不過(guò)不用數(shù)格子，拼好之后就可以看到一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積就等于原來(lái)平行四邊形的面積。

師：有同學(xué)對(duì)他的發(fā)言要提問(wèn)或補(bǔ)充的嗎？

生7：這個(gè)長(zhǎng)方形的面積你是怎么知道的？

生6：我們可以看到長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是6厘米、寬是3厘米，長(zhǎng)乘寬就等于它的面積。

生8：我補(bǔ)充一下，其實(shí)現(xiàn)在看到的這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是原來(lái)平行四邊形的底，寬就是原來(lái)平行四邊形的高。

生9：這里要先明確，是沿著這條“高”剪下來(lái)的。

（交流略有停頓后教師介入。）

師：你們是先把這個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形，再計(jì)算面積，對(duì)嗎？那么大家想一想，一定要沿著這條高剪開(kāi)嗎？其他的行不行？

生10：可以的，只要是這組高都可以的。

生11：若是有數(shù)據(jù)的話，沿著另外一組高剪開(kāi)拼成長(zhǎng)方形也可以的，只是現(xiàn)在沒(méi)數(shù)據(jù)而已。

生12：其實(shí)沿著任意一條高剪開(kāi)來(lái)都可以把這個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。（教師課件演示，確實(shí)也可以。）

設(shè)計(jì)意圖：我們一直在強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)活動(dòng)中學(xué)生是主體，上面的教學(xué)過(guò)程貴在放手讓學(xué)生獨(dú)自探究、獨(dú)立思考。學(xué)生在經(jīng)歷自主研究后，無(wú)論目標(biāo)是否實(shí)現(xiàn)，都會(huì)有話想說(shuō)。事實(shí)上，學(xué)生講得很好！他們?cè)诮處熡幸馓峁┡c搭建的分享與交流平臺(tái)上，各抒己見(jiàn)、相互學(xué)習(xí)、各有所得。問(wèn)題“一定要沿著這條高剪開(kāi)嗎？其他的行不行？”的設(shè)置，意在引導(dǎo)學(xué)生跳出現(xiàn)有思維，展開(kāi)想象，在頭腦中勾勒沿著其他的高線剪開(kāi)拼組的畫面，在實(shí)現(xiàn)方法多樣化的同時(shí)，為后面討論“任何一個(gè)平行四邊形都可以通過(guò)剪拼轉(zhuǎn)化成等積長(zhǎng)方形”從而實(shí)現(xiàn)剪拼轉(zhuǎn)化方法的“一般化”服務(wù)。

3.深入思考。

師：大家有沒(méi)有想過(guò)，為什么剪、拼的時(shí)候這兩條邊會(huì)重合呢？（如圖3）

圖3

師：先把你的想法和同桌交流一下。

師：誰(shuí)來(lái)和大家介紹一下你的想法？

生1：三角形的這條斜邊就是原來(lái)平行四邊形的邊，它們一模一樣的。

生2：我補(bǔ)充一下，這兩條邊是原來(lái)平行四邊形的一組對(duì)邊，它們是平行且相等的。

生3：這兩條邊的方向和長(zhǎng)度都是一樣的，當(dāng)然可以重合了。

師：這個(gè)平行四邊形能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形求得面積，其他平行四邊形是不是都能正好拼成功？

生4：應(yīng)該可以的。

師：誰(shuí)能說(shuō)一說(shuō)其中的原因嗎？

生5：隨便一個(gè)什么樣的平行四邊形，一定有高，那么從高剪開(kāi)來(lái)，因?yàn)閷?duì)邊平行而且相等的緣故，一定能拼成長(zhǎng)方形。

生6：如果這個(gè)平行四邊形很斜很斜的，就不一定了吧？

師：到黑板上把你想的這個(gè)平行四邊形畫下來(lái)給大家看一看。

（這名同學(xué)畫了一個(gè)豎直方向高在圖形外的平行四邊形，在短暫的停頓后，學(xué)生自發(fā)地開(kāi)始討論。幾分鐘后，有人示意要發(fā)言。）

生7：這個(gè)平行四邊形可以轉(zhuǎn)化的，不過(guò)要多割幾次。（學(xué)生跑上來(lái)畫示意圖，沿著豎直方向垂直剪下兩部分，平移拼組。）

師：這個(gè)“長(zhǎng)和寬”還是原來(lái)的“底和高”嗎？

生7：還是的，不過(guò)看起來(lái)有點(diǎn)煩，要幾段接在一起。

師：一定要這么煩嗎？有沒(méi)有人可以突破？

生8：不用的，這個(gè)平行四邊形沿著另外一條斜斜的高剪開(kāi)再拼就可以了。

設(shè)計(jì)意圖：五年級(jí)學(xué)生具備一定的思辨能力，沿著高線剪開(kāi)再拼的方式把平行四邊形轉(zhuǎn)化成等積的長(zhǎng)方形之后，可以嘗試著去思考現(xiàn)象背后的原因。本環(huán)節(jié)意在引導(dǎo)有余力的學(xué)生更深入的思考，使之明確平行四邊形之所以可以轉(zhuǎn)化成等積長(zhǎng)方形求得面積，正是由平行四邊形形體特征決定的。在明確原因后，利用思維的延展性，突破個(gè)例的局限性，得到等積轉(zhuǎn)化對(duì)于平行四邊形具有一般性的結(jié)論。

三、內(nèi)化

1.計(jì)算下列平行四邊形的面積。

2.反饋：面積是？你是怎么想的？

3.公式化：想一想，平行四邊形的面積計(jì)算公式是什么？

設(shè)計(jì)意圖：找到解決問(wèn)題的方式后，照顧不同的個(gè)體，為學(xué)生提供一個(gè)自我建構(gòu)的過(guò)程。引導(dǎo)學(xué)生調(diào)用剛剛的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解釋計(jì)算過(guò)程，逐步向公式化過(guò)渡。

反思：“平行四邊形的面積”是小學(xué)階段圖形測(cè)量教學(xué)中一個(gè)承上啟下的內(nèi)容，它上承長(zhǎng)方形面積，下接三角形、梯形面積計(jì)算教學(xué)，一直被廣大一線教師所重視和研究。但實(shí)際教學(xué)中因教具學(xué)具準(zhǔn)備、操作活動(dòng)時(shí)間限制等因素的制約，學(xué)生實(shí)際動(dòng)手“剪、拼”操作的平行四邊形大多是1個(gè)，準(zhǔn)備充分的時(shí)候也只有2、3個(gè)，利用等積轉(zhuǎn)化的方式推導(dǎo)面積公式時(shí)一般都建立在個(gè)例的操作基礎(chǔ)上;“數(shù)格法”要么在教學(xué)中被忽略，要么以“不足一格算半格”這樣生硬的規(guī)定作為解決策略，數(shù)出面積單位的個(gè)數(shù)確定面積。仔細(xì)追究，不可避免地存在某種程度的缺陷與斷層。那么是否可以找到一種適合的方式彌補(bǔ)這一缺失呢？

上面的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)觀察選擇對(duì)應(yīng)的兩個(gè)不足一格的部分湊成一格后再數(shù)，利用數(shù)面積單位的方法確定了平行四邊形的面積，避免了“不到一格算半格”的不足。其實(shí)利用數(shù)格法計(jì)算面積時(shí)，之所以可以“不足一格的算半格”正是由平行四邊形的特殊性決定的，但卻常常被忽略。當(dāng)學(xué)生有疑問(wèn)時(shí)，也經(jīng)常以“看看書上是怎么處理的”一筆帶過(guò)。在利用等積轉(zhuǎn)化求面積的環(huán)節(jié)，以“這個(gè)平行四邊形能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形求得面積，其他的平行四邊形是不是都能正好拼成功？”引導(dǎo)學(xué)生深入思考，利用“動(dòng)態(tài)想象”與“直觀呈現(xiàn)”相結(jié)合的方法，通過(guò)激活思維實(shí)現(xiàn)了方法的“普適性”，彌補(bǔ)了實(shí)物操作的不足。

教學(xué)實(shí)踐讓我深深地感受到，在幾何圖形的教學(xué)中，我們既要重視直觀操作體驗(yàn)，積累感性經(jīng)驗(yàn)，還要在得到直觀提示的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步思考“如何適時(shí)適度地組織學(xué)生跨越直觀操作，激活理性思維，引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)?shù)耐评砼c數(shù)學(xué)化表達(dá)，試著解釋其背后的原因”。盡管有時(shí)學(xué)生還不能夠完全解釋得清楚，但是堅(jiān)持這樣做，對(duì)于彌補(bǔ)直觀操作的不足、培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，以及后續(xù)進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，一定會(huì)大有裨益！

◇責(zé)任編輯：徐新亮◇