蟻群算法在PID控制中的應(yīng)用及其參數(shù)影響

孫鐵成+張思敏+李超波

摘 要： 鑒于傳統(tǒng)PID參數(shù)整定方法的不足，提出了一種采用蟻群算法優(yōu)化選取PID控制參數(shù)的方法。通過建立數(shù)學(xué)模型將PID控制參數(shù)選擇問題抽象成路徑選擇問題，從而將蟻群算法成功的應(yīng)用于PID參數(shù)優(yōu)選，并對(duì)尋優(yōu)過程進(jìn)行了仿真。將結(jié)果與常用的臨界比例度法整定的結(jié)果進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)基于蟻群算法的PID參數(shù)優(yōu)選方案可使系統(tǒng)超調(diào)量大幅減小，并明顯縮短系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間，具有良好的應(yīng)用前景。此外，討論了蟻群算法中的關(guān)鍵參數(shù)對(duì)算法性能的影響，對(duì)比了不同參數(shù)下算法的收斂速度和求解質(zhì)量。

關(guān)鍵詞： PID控制； 蟻群算法； 信息素； 參數(shù)優(yōu)選

中圖分類號(hào)： TN911?34； TP301.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2015）20?0020?06

Application and parameter influence of ACO in PID control

SUN Tiecheng， ZHANG Simin， LI Chaobo

（Key Laboratory of Microelectronics Devices and Integrated Technology， Institute of Microelectronics， Chinese Academy of Science， Beijing 100029， China）

Abstract： In view of the deficiencies of traditional PID parameters tuning method， a new method to optimize and select PID control parameters by means of ACO （ant colony algorithm） is proposed， in which the selection problem of PID control parameters is abstracted into the routing selection problem by building a mathematical model， thus ACO is applied successfully to PID parametric optimization and the optimizing process is simulated. It is found by comparing with tuned results of common critical proportioning method that the PID parameter optimization scheme based on ACO can reduce system overshoot significantly and shorten tuning time of system obviously， and has a great application prospect. In addition， the influence of key parameter in ACO on algorithm performance is discussed， and convergence velocity and solution quality of the algorithm with different parameters are compared.

Keywords： PID control； ant colony algorithm； pheromone； parameter optimization

0 引 言

PID控制是最早發(fā)展起來的控制策略之一，由于其算法簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)、魯棒性好、可靠性高、不依賴被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，因此至今仍然是工業(yè)控制領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的控制方式。然而PID控制的控制效果好壞強(qiáng)烈依賴于控制參數(shù)的選擇，傳統(tǒng)的PID參數(shù)選取多采用人工試湊的方式，這往往需要操作人員具備大量的經(jīng)驗(yàn)且相當(dāng)耗時(shí)，顯然不適合應(yīng)用在通常包含數(shù)百個(gè)PID控制回路的現(xiàn)代工業(yè)系統(tǒng)中。

近年來，隨著傳統(tǒng)PID技術(shù)與現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的結(jié)合，涌現(xiàn)出了一系列全新的PID參數(shù)整定方法，例如將遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、蟻群算法等先進(jìn)技術(shù)用于PID參數(shù)尋優(yōu)[1?3]，使傳統(tǒng)的PID控制煥發(fā)出了新的活力。在這些先進(jìn)方法當(dāng)中，蟻群算法作為求解組合優(yōu)化問題的有效手段，引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[4?7]。本文采用蟻群算法進(jìn)行PID參數(shù)尋優(yōu)，克服了傳統(tǒng)PID參數(shù)整定法的不足，并通過仿真證明該方法的有效性。同時(shí)，還通過仿真研究蟻群算法中信息啟發(fā)因子以及信息素?fù)]發(fā)系數(shù)這兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)對(duì)算法收斂速度和求解質(zhì)量的影響。

1 蟻群算法基本原理

蟻群算法（Ant Colony Algorithm）是20世紀(jì)90年代由意大利科學(xué)家Dorigo Macro等人通過觀察自然界中的螞蟻集體尋徑行為提出的[8]。自然界中的螞蟻沒有視覺，但是會(huì)依靠行走過程中釋放的一種叫信息素（Pheromone）的物質(zhì)來相互協(xié)作，最終使得螞蟻群體具有高度的自組織性[9]。蟻群算法最初成功的應(yīng)用在求解著名的旅行商問題（TSP）上，下面就以該問題為背景介紹蟻群算法的基本原理。

設(shè)C={c1，c2，…，cn}為n個(gè)城市的集合，dij是集合中任意兩個(gè)城市ci和cj之間的歐幾里得距離，TSP問題的目的是找到一條走完C中所有城市的最短路線，并要求每個(gè)城市只訪問1次。采用蟻群算法求解TSP問題時(shí)使用人工螞蟻來代替旅行商。假設(shè)有m只螞蟻從起始點(diǎn)出發(fā)去探索可行的路徑，螞蟻每到一個(gè)城市ci，便根據(jù)該城市到其他可選城市路徑上的信息素的量來決定下一站的目的地。具體來說，螞蟻k從節(jié)點(diǎn)i（城市ci）轉(zhuǎn)向節(jié)點(diǎn)j（城市cj）的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為：

[pkij=τijαηijβs?tabuknτisαηisβ， 若j?tabuk0， else] （1）

式中：tabuk（k=1，2，…，m）用來存儲(chǔ)螞蟻k走過的節(jié)點(diǎn)；tij表示節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j路徑上的信息素含量，因此，某條路徑上的信息素含量越高，選擇該路徑的概率就越大；α為信息啟發(fā)式因子，表示之前的螞蟻在行進(jìn)過程中積累的信息對(duì)當(dāng)前螞蟻的啟發(fā)作用，其值越大，則螞蟻越傾向于選擇其他螞蟻?zhàn)哌^的路徑，螞蟻之間協(xié)作性越強(qiáng)；ηij為能見度信息，通常取ηij=[1dij]；β為能見度的重要性，能見度的引入可以加快算法收斂的速度，但是如果β過大會(huì)造成螞蟻每次只選擇離當(dāng)前節(jié)點(diǎn)最近的可選節(jié)點(diǎn)，但最終產(chǎn)生的總路徑不一定最小，即造成蟻群算法陷入局部尋優(yōu)，因此蟻群算法在實(shí)際應(yīng)用中，可以將能見度這一項(xiàng)忽略（即令β=0），完全用信息素決定螞蟻轉(zhuǎn)移的概率。

當(dāng)m只螞蟻都完成了一次路線探索之后，要對(duì)兩兩城市之間路徑的信息素含量進(jìn)行更新，更新規(guī)則如下：

[τ*ij=（1-ρ）τij+Δτij] （2）

[Δτij=k=1mΔτkij] （3）

式中：[ρ]表示信息素?fù)]發(fā)系數(shù)，取值范圍在0～1之間。[Δτij]表示本次探索中路徑（i，j）上的信息量增量。上述策略模擬了自然界中螞蟻信息素?fù)]發(fā)的特點(diǎn)，可以很好地淘汰掉一些曾經(jīng)探索過的較差路徑。[Δτkij]則表示第k只螞蟻在本次探索中留在路徑（i，j）上的信息量，其計(jì)算方法為：

[Δτkij=FQk， 若螞蟻k經(jīng)過路徑（i，j）0， else] （4）

式中：F為一個(gè)常數(shù)，表示螞蟻在完成一次探索時(shí)所釋放的信息素總濃度；Qk表示第k只螞蟻本次探索的路徑的評(píng)價(jià)函數(shù)值，評(píng)價(jià)函數(shù)的選取視具體問題而定。在TSP問題中，為本次探索出的路徑的總長(zhǎng)度，可見路徑長(zhǎng)度越小（路徑越優(yōu)），留下的信息素越多。

之后，反復(fù)使用m只人工螞蟻重復(fù)上述過程，每次探索結(jié)束都根據(jù)式（2）～式（4）修改路徑信息素含量，直至m只螞蟻選擇的路徑歸于同一條，此時(shí)蟻群算法收斂，所得的路徑便是TSP問題的解。

2 采用蟻群算法優(yōu)化PID控制

2.1 數(shù)學(xué)模型的建立

PID控制系統(tǒng)原理圖如圖1所示。

圖1 PID控制系統(tǒng)原理圖

圖中：r為設(shè)定值；y為輸出值；e為設(shè)定值與輸出值的偏差；u為控制量。偏差e與控制量u之間的關(guān)系為：

[u（n）=KPe（n）+TTIj=0ne（j）+TDe（n）-e（n-1）T] （5）

式中：KP為比例系數(shù)；TI為積分時(shí)間；TD為微分時(shí)間；T為計(jì)算機(jī)采樣周期。式（5）稱為PID的位置型算式，位置型PID算式需要用到誤差的累積，不利于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)，實(shí)際系統(tǒng)中常采用增量型算式：[Δu（n）=KPe（n）-e（n-1）+KIe（n）+ KDe（n）-2e（n-1）+e（n-2）] （6）

式中：KP為比例增益；KI=KP[TTI]稱為積分系數(shù)；KD=KP[TDT]稱為微分系數(shù)。這樣，PID控制系統(tǒng)就只有KP，KI，KD需要確定，這3個(gè)參數(shù)的選擇直接關(guān)系到算法的控制品質(zhì)，因此PID控制參數(shù)的選取可以理解為一個(gè)組合優(yōu)化的問題，即為了達(dá)到最佳的控制效果，如何選擇這3個(gè)參數(shù)。這樣，PID算法參數(shù)優(yōu)選問題完全可以采用蟻群算法協(xié)助解決。

可以將PID參數(shù)優(yōu)選問題與經(jīng)典TSP問題進(jìn)行類比。設(shè)比例系數(shù)KP用4位有效數(shù)字來表示，其中整數(shù)部分2位，小數(shù)部分2位。

由于PID系統(tǒng)對(duì)積分部分十分敏感，積分系數(shù)過大會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)超調(diào)量過大、系統(tǒng)不穩(wěn)定且調(diào)整時(shí)間過長(zhǎng)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，積分系數(shù)KI選取在0～1之間，小數(shù)部分取4位有效數(shù)字。

微分系數(shù)KD取3位有效數(shù)字，整數(shù)部分2位，小數(shù)部1位。這樣，就可以將一組參數(shù)（KP，KI，KD）和一個(gè)長(zhǎng)度為11位的數(shù)字序列一一對(duì)應(yīng)起來，如圖2所示（由于KI整數(shù)部分始終取為0，因此只用4位數(shù)代表它的小數(shù)部分即可）。

圖2 PID控制參數(shù)與11位數(shù)字序列對(duì)應(yīng)關(guān)系

例如一組參數(shù)KP=25.26，KI=0.178 8，KD=20.3，與之對(duì)應(yīng)的11位數(shù)字序列為25261788203?？梢援嫵鲆粋€(gè)二維坐標(biāo)系，橫坐標(biāo)為0～11，縱坐標(biāo)為0～9，如圖3所示。圖中的節(jié)點(diǎn)便對(duì)應(yīng)序列為25261788203，與經(jīng)典的旅行商問題進(jìn)行類比，圖中的每一個(gè)格點(diǎn)都可以比作一個(gè)城市，格點(diǎn)的連接線構(gòu)成了PID參數(shù)優(yōu)選問題中的一個(gè)路徑，這樣PID參數(shù)優(yōu)選問題就轉(zhuǎn)化成了類似TSP問題中的路徑選擇問題。與TSP問題不同的是，這時(shí)的螞蟻每次在橫坐標(biāo)上只能前進(jìn)一步，即若某只螞蟻當(dāng)前所在節(jié)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為i，則下一步只能選擇節(jié)點(diǎn)橫坐標(biāo)為i+1的點(diǎn)作為目的地。

圖3 節(jié)點(diǎn)與路徑示意圖

蟻群算法中評(píng)價(jià)函數(shù)的設(shè)計(jì)直接關(guān)系到蟻群算法求解的質(zhì)量。在經(jīng)典的旅行商問題中，商人把所有目的城市都走到且不重復(fù)經(jīng)過城市所走過的總距離便是旅行商問題的評(píng)價(jià)函數(shù)值。這個(gè)值越?。偩嚯x越短），則方案越好，反之則越差。將這個(gè)思路類比到PID參數(shù)選擇問題上來，關(guān)系到控制品質(zhì)的因素有：上升時(shí)間、超調(diào)量、穩(wěn)定時(shí)間等，為此，可以采用絕對(duì)誤差的矩的積分作為評(píng)價(jià)控制性能的指標(biāo)：

[Q=T2i=1LPie（i）] （7）

式中：T為采樣間隔；LP為仿真計(jì)算的點(diǎn)數(shù)。這樣，當(dāng)系統(tǒng)超調(diào)量過大或穩(wěn)定時(shí)間過長(zhǎng)等情況時(shí)，Q值都會(huì)較大，反之則較小。

2.2 算法實(shí)現(xiàn)流程

（1） 首先選擇m只人工螞蟻，放在起始點(diǎn)原點(diǎn)處，并設(shè)置算法初始參數(shù)；

（2）為每只人工螞蟻設(shè)置一個(gè)長(zhǎng)度為11的數(shù)組tabuk（k=1，2，…，m），用來記錄每只螞蟻的位置信息；

（3） 迭代開始，所有人工螞蟻從原點(diǎn)出發(fā)，每到達(dá)一個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)便根據(jù)式（1）來計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，然后根據(jù)輪盤賭法則為每只螞蟻選擇下一個(gè)節(jié)點(diǎn)，并將人工螞蟻轉(zhuǎn)移到該點(diǎn)上，更新數(shù)組tabuk；

（4） 經(jīng)過11個(gè)時(shí)間單位后所有人工螞蟻都爬到終點(diǎn)，完成了一次迭代，根據(jù)每只螞蟻的tabuk數(shù)組得到相應(yīng)的（KP，KI，KD），根據(jù)式（7）得到評(píng)價(jià)值。然后根據(jù)式（2）～式（4）更新信息素，并記錄本次迭代最好的評(píng)價(jià)值以及對(duì)應(yīng)的PID參數(shù)；

（5） 如果結(jié)果尚未收斂且未達(dá)到最大迭代次數(shù)則進(jìn)行下一次迭代，否則輸出收斂結(jié)果或最后一次迭代的最優(yōu)結(jié)果作為最終的優(yōu)選結(jié)果。最終得到用蟻群算法優(yōu)選PID參數(shù)的流程圖，如圖4所示。

圖4 蟻群算法求解PID最優(yōu)參數(shù)流程圖

2.3 結(jié)果仿真

采用自動(dòng)控制領(lǐng)域常見的二階慣性系統(tǒng)來模擬被控對(duì)象，其傳遞函數(shù)為G（s）=[5ss+20]。取采樣周期T=1 ms，輸入信號(hào)為一階躍信號(hào)。

選取人工螞蟻數(shù)m=50，a=1.3，ρ=0.1，F(xiàn)=50，各路徑初始信息素量C=10 000，在本方案中，為了避免蟻群算法陷入局部尋優(yōu)，故取消了能見度的作用，即令β=0，完全由信息素的作用來尋優(yōu)。圖5～圖8為蟻群尋優(yōu)的過程。

圖5 第1次迭代后的路徑

圖6 第150次迭代后的路徑

圖7 第265次迭代后的路徑

圖8 第313次迭代后的路徑

可以看出，第1次迭代的時(shí)候，由于設(shè)定了各個(gè)子路徑上的信息素含量均為常數(shù)C，根據(jù)式（1）可知，螞蟻在一個(gè)節(jié)點(diǎn)上轉(zhuǎn)向所有可選節(jié)點(diǎn)的概率是相等的，因此第1次迭代時(shí)各個(gè)螞蟻選擇的路徑呈現(xiàn)高度隨機(jī)性，如圖5所示。隨著迭代周期數(shù)的增加，根據(jù)蟻群算法的正反饋機(jī)制：較優(yōu)的路徑上的信息素積累得越來越多，反過來吸引更多的螞蟻選擇較優(yōu)的路徑，而較差的路徑由于揮發(fā)效應(yīng)，信息素慢慢淡化，逐漸被淘汰。最終蟻群選擇的路徑趨于融合，算法收斂，如圖8所示。本次仿真中算法經(jīng)過313次迭代后收斂，獲得優(yōu)化參數(shù)為KP=97.46，KI=0.006 1，KD=56.9。

將蟻群算法尋優(yōu)得到的PID控制參數(shù)用于二階慣性系統(tǒng)G（s）=[5ss+20]中，可得其閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線如圖9中的G1所示，G2為采用傳統(tǒng)的臨界比例度法[10]整定PID參數(shù)對(duì)應(yīng)的閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線?？梢姡啾扔谂R界比例度法，基于蟻群算法的PID參數(shù)優(yōu)選方案響應(yīng)速度更快，顯著減小了系統(tǒng)超調(diào)量，同時(shí)明顯縮短了系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間。

圖9 兩種PID控制參數(shù)尋優(yōu)方法對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)閉環(huán)響應(yīng)

3 蟻群算法中主要參數(shù)對(duì)算法性能的影響

在蟻群算法中，參數(shù)的選取影響著算法的求解質(zhì)量、收斂速度等。但是，目前并沒有完善的理論來支持怎樣合理的選取蟻群算法參數(shù)，大部分情況下都是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來選取參數(shù)。本節(jié)討論信息素?fù)]發(fā)系數(shù)以及信息啟發(fā)式因子這兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)對(duì)算法性能的影響，在各組對(duì)比中，均采用上節(jié)中選用的參數(shù)（m=50，α=1.3，ρ=0.1，F(xiàn)=50）作為對(duì)照組，采用控制變量法，改變其中一個(gè)參數(shù)，比較算法收斂速度以及最優(yōu)解的質(zhì)量。首先在對(duì)照組參數(shù)條件下仿真10次，得到10組算法收斂周期以及最優(yōu)解的評(píng)價(jià)值Q，如表1所示。

表1 對(duì)照組10次仿真結(jié)果

3.1 信息素?fù)]發(fā)系數(shù)對(duì)算法性能的影響

理論上，揮發(fā)系數(shù)對(duì)解的收斂速度有影響，揮發(fā)系數(shù)越大，算法應(yīng)該收斂越快，可通過下面的仿真進(jìn)行證實(shí)：選取ρ=0.3，進(jìn)行10次仿真，將達(dá)到收斂時(shí)的迭代次數(shù)以及評(píng)價(jià)函數(shù)的值與對(duì)照組進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖10所示。

圖10 ρ=0.3與對(duì)照組ρ=0.1算法性能對(duì)比

由圖10（a）可見信息素?fù)]發(fā)系數(shù)ρ=0.3時(shí)，算法達(dá)到收斂時(shí)的迭代周期數(shù)均明顯小于ρ=0.1的收斂周期數(shù)。同時(shí)由圖10（b）可知，ρ=0.3時(shí)最優(yōu)解的評(píng)價(jià)值普遍大于ρ=0.1時(shí)最優(yōu)解的評(píng)價(jià)值，對(duì)于蟻群算法求解PID參數(shù)問題中，評(píng)價(jià)函數(shù)采用式（7）的計(jì)算方式，其值越大說明解的質(zhì)量越差。圖10說明了揮發(fā)系數(shù)增大會(huì)導(dǎo)致算法收斂速度加快但求解質(zhì)量下降。

造成這種現(xiàn)象的原因是蟻群算法尋優(yōu)的機(jī)制造成的，每只螞蟻在節(jié)點(diǎn)處選擇路徑的時(shí)候，是根據(jù)各個(gè)備選路徑上的信息素的量來決定選擇那一條路徑，信息素多的被選擇的概率就大，反之就小。那么當(dāng)信息素?fù)]發(fā)系數(shù)較大時(shí)，較次的路徑上的信息素迅速減少，導(dǎo)致被選中的概率變得更低，因此這時(shí)算法便能較快的排除次解得到較優(yōu)解，收斂速度加快。但是，揮發(fā)系數(shù)大也會(huì)造成求解質(zhì)量的下降，例如在初始時(shí)刻各路徑上的信息素含量為相等的常數(shù)，因此螞蟻在一個(gè)路口上選擇路徑的概率相等，這樣由于隨機(jī)性，螞蟻可能沒有選中一條比較好（評(píng)價(jià)函數(shù)值較?。┑穆窂?，因此在本次迭代中，較好的路徑上沒有留下信息素或留下的很少，這樣在下一次迭代時(shí)，由于揮發(fā)系數(shù)較大，那條路徑上信息素的含量就更低了，被選擇的概率就更小，這樣就有可能漏掉一些優(yōu)解。

3.2 啟發(fā)因子對(duì)算法性能的影響

如圖11所示，10次仿真中，α=2時(shí)算法收斂速度明顯快于α=1.3時(shí)算法收斂速度，但最優(yōu)解的質(zhì)量較α=1.3時(shí)要差。與3.1節(jié)的結(jié)論類似，信息啟發(fā)因子α增大會(huì)導(dǎo)致算法收斂速度加快但求解質(zhì)量會(huì)下降。

圖11 α=2與對(duì)照組α=1.3算法性能對(duì)比

由式（1）可知，信息啟發(fā)因子α表示前面的螞蟻留下的信息素對(duì)當(dāng)前螞蟻選擇路徑時(shí)的指導(dǎo)作用，因此其值越大，螞蟻越容易選擇其他螞蟻?zhàn)哌^的路徑，收斂速度越快，但是正因?yàn)檫@樣，如果先前的螞蟻選擇了質(zhì)量較差的路徑，往往會(huì)“誤導(dǎo)”后來的螞蟻，使其不去開發(fā)新的路徑，而直接選擇這條較差的路徑，這就會(huì)造成較優(yōu)的路徑被漏掉。同時(shí)若啟發(fā)因子取值過小，易造成算法收斂過慢甚至不收斂的現(xiàn)象。例如，取α=0.98，迭代了2 000周期后算法仍未收斂，如圖12所示。

圖12 α=0.98，迭代2 000次后蟻群路徑圖

4 結(jié) 語

蟻群算法本質(zhì)上是一個(gè)復(fù)雜的智能系統(tǒng)，具有較強(qiáng)的魯棒性、優(yōu)良的分布式計(jì)算機(jī)制、易于與其他方法結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)，是解決組合優(yōu)化問題的理想方案。本文將蟻群算法運(yùn)用于PID參數(shù)尋優(yōu)上，通過仿真證實(shí)了該方法的有效性。此外，還研究了信息素?fù)]發(fā)系數(shù)以及信息啟發(fā)因子這兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)對(duì)算法性能的影響，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)參數(shù)的增大都會(huì)使算法收斂速度加快，但相應(yīng)的會(huì)導(dǎo)致算法求解質(zhì)量下降；此外，信息啟發(fā)因子不應(yīng)取值過小，否則會(huì)導(dǎo)致算法收斂過慢甚至不收斂。

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