數(shù)學(xué)實驗活動的探索與反思

陳曉芳

[摘 要] 新課程教學(xué)要求學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動是一種建構(gòu)式的探索活動，不能僅僅依賴于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的模式實現(xiàn). 數(shù)學(xué)教學(xué)實現(xiàn)新課程理念最好的方式是實踐操作，近年來數(shù)學(xué)實驗活動愈來愈深入到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，引領(lǐng)學(xué)生對于數(shù)學(xué)建立更為飽滿的學(xué)習(xí)過程.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；新課程；數(shù)學(xué)實驗；建構(gòu)式；思維

數(shù)學(xué)教育家佛萊登塔爾說過：數(shù)學(xué)課是講重要還是做重要？這個問題從歐幾里得時代就開始琢磨了. 筆者從自己的教學(xué)經(jīng)驗中感受到，講很重要，但是做更重要. 美國教育家蘇娜丹戴克說過：“告訴我，我會忘記，做給我看，我會記住，讓我參加，我就會完全理解. ”給學(xué)生一些創(chuàng)造的空間，學(xué)生的創(chuàng)造力其實遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于我們的想象力.

從新課程實施角度來說，筆者也感同身受. 數(shù)學(xué)課尤其是概念課、新知課怎么才能更好地體現(xiàn)新課程鼓勵學(xué)生積極實踐、建構(gòu)操作的理念？從數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)可以通過發(fā)現(xiàn)的角度來說，很多知識可以從情境設(shè)計中安排學(xué)生自我探求發(fā)現(xiàn)，建構(gòu)主義認(rèn)為只有通過活動產(chǎn)生的經(jīng)驗認(rèn)識才能使知識的理解、記憶更加深刻. 近年來，數(shù)學(xué)活動越來越熱烈地在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中得以實施和開展，教師的設(shè)計、學(xué)生的操作，教師的引導(dǎo)、學(xué)生的實踐成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的發(fā)展趨勢. 根據(jù)21世紀(jì)國際教育評估學(xué)會報道：近十年和過去的十年相比，中國中學(xué)生對于數(shù)學(xué)的喜歡程度上升了十二個百分點，這與新課程實施的活動理念逐年滲透是分不開的. 本文對初中數(shù)學(xué)展開實驗活動教學(xué)結(jié)合案例做了一些淺顯的思考，以求拋磚引玉.

依托實驗教學(xué)，加深概念理解

數(shù)學(xué)概念都是歷經(jīng)多年形成的，猶如化石形成的過程需要時間的積淀. 在數(shù)學(xué)課堂短短的45分鐘時間內(nèi)，教師如何將概念教學(xué)設(shè)計成可供學(xué)生操作、實踐呢？這里既要求學(xué)生做到概念教學(xué)實踐的有效性，也要考慮時間的高效率，從而進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué).

案例1 《無理數(shù)》概念教學(xué)

實驗前期準(zhǔn)備：請學(xué)生準(zhǔn)備邊長為1的正方形卡紙兩張，工具剪刀一把，數(shù)學(xué)計算器一個.

實驗設(shè)計要求：（1）請學(xué)生利用上述工具拼剪出面積為2的正方形；（2）利用數(shù)學(xué)計算器求出的小數(shù)部分.

師：你能用這兩個正方形拼出一個面積為2的正方形嗎？

（學(xué)生以小組為單位一起思考并動手操作）

生：可以. 把兩個正方形分別沿對角線剪開，得到四個全等的等腰直角三角形，將直角頂點重合，以斜邊為邊長拼成的正方形面積正好為2. （展示所拼的正方形，如圖2）

師：非常好. 那么，這個正方形的邊長是多少呢？

生眾：.

師：它是一個整數(shù)嗎？

生眾：不是.

師：你能找到它在哪兩個整數(shù)之間呢？

生：1至2之間. 因為1的平方是1是，2的平方是4，而的平方是2，正好在1與4這兩個連續(xù)的完全平方數(shù)之間.

師：很好. 那你們能用一個分?jǐn)?shù)來表示嗎？

生眾：不能.

師：這是一個有理數(shù)嗎？

（學(xué)生均不太確定）

師：想一想有理數(shù)的概念是什么？

生眾：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).

師：所以不是有理數(shù).

評點 對于拼圖，學(xué)生展示出了較強的動手能力，通過實踐操作，學(xué)生迅速找到了面積為2的正方形的簡單拼接方法（如圖1），根據(jù)之前學(xué)習(xí)算術(shù)平方根的概念，學(xué)生迅速猜測到了正方形邊長為. 在設(shè)計實驗時，考慮到初中生的認(rèn)知心理特點，以及本課的課程特點，實驗過程中設(shè)計了以上層層遞進(jìn)式的問題，上述問題螺旋式上升，為學(xué)生理解“是一個無理數(shù)”打下了基礎(chǔ)，自然地引導(dǎo)學(xué)生理解了除有理數(shù)之外的另一種數(shù)——“無理數(shù)”.

師：下面我們借助計算器來找一找大約等于多少呢？誰能說一說，如何來找這個數(shù)呢？

生：因為這個數(shù)在1和2之間，所以在1和2之間找到一個小數(shù)的平方等于2，那么這個小數(shù)就等于.

師：很好，那我們就借助計算器來找一找這個小數(shù). 1和2之間這個范圍能不能縮小一下呢？

（以小組為單位進(jìn)行試算實驗，組長先分工，計算、記錄、驗證等，并一起討論如何快速縮小范圍.）

生：因為1.52是2.25，所以一定比1.5小.

師：非常好，這位同學(xué)通過取1和2的中間數(shù)1.5，計算了1.52，發(fā)現(xiàn)了在1和1.5之間，我們再用他的這個方法來把的范圍再縮小一下，大家試試看.

生：我計算了1.252是1.5625，1.32是1.69，1.42是1.96，所以在1.4和1.5之間.

師：很好，接下來我們再用剛才那位同學(xué)取中間數(shù)的方法來找一找到底是幾呢？

（學(xué)生以小組為單位共同探索，利用計算器嘗試計算，通過計算1.452，1.432，1.422，1.412等數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)在1.41和1.42之間，再通過不斷調(diào)整數(shù)據(jù)計算發(fā)現(xiàn)在1.4142926和1.4142927之間. ）

師：大家嘗試了多次，可否找到一個有限小數(shù)使其平方恰等于2？

生眾：沒有.

師：大家觀察一下1.4142926……這是一個循環(huán)小數(shù)嗎？

生眾：不是.

師：這是一個無限不循環(huán)小數(shù)，我們把這樣的小數(shù)稱為無理數(shù).

評點 引導(dǎo)學(xué)生通過計算器探求的小數(shù)部分有一定的難度，這里通過讓學(xué)生取中間數(shù)進(jìn)行計算從而一步步縮小范圍，通過不斷調(diào)整數(shù)據(jù)計算，讓學(xué)生從實踐中感受到是一個無限不循環(huán)小數(shù)，從而引入無理數(shù)概念，使學(xué)生自然理解了什么是無理數(shù). 通過這樣的數(shù)學(xué)實驗設(shè)計，讓學(xué)生感受到無理數(shù)產(chǎn)生的過程，并從這一實驗結(jié)果中加深理解了無理數(shù)的概念，同時在實驗操作中也體會到了數(shù)學(xué)探索的樂趣.

依托實驗教學(xué)，培養(yǎng)建構(gòu)能力

建構(gòu)主義教學(xué)理論認(rèn)為，教師對于學(xué)生最大的幫助不在于某一個知識點上的教學(xué)，而是在于學(xué)生學(xué)習(xí)過程中對于知識求解形成于頭腦中的按部就班的問題解決過程，這種解決問題的過程將形成一系列經(jīng)驗留駐于學(xué)生的腦海中，進(jìn)而形成建構(gòu)的能力.endprint

案例2 《勾股定理》教學(xué)

勾股定理是初中數(shù)學(xué)平面幾何中重要的數(shù)學(xué)定理. 教師教學(xué)也可以直接向?qū)W生展示定理，然后進(jìn)行驗證，但是這樣的方式對于學(xué)生數(shù)學(xué)建構(gòu)能力的培養(yǎng)并無多大益處. 因此筆者設(shè)計了下列實驗教學(xué)：

實驗前準(zhǔn)備：四個全等的直角三角形.

師：有一天數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯去朋友家做客，他發(fā)現(xiàn)朋友家的地板花樣圖案非常有意思，他拿著一支筆在那里畫呀畫，請大家看一看，你有什么發(fā)現(xiàn)？（如圖3所示）

生：借助小方格圖想到：兩個小正方形的面積等于大正方形的面積.

師：這三個正方形的面積與直角三角形的三邊有沒有什么關(guān)系呢？

生：有，三個正方形的面積分別是直角三角形三邊的平方.

師：那你能根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)能歸納出直角三角形三邊之間的一個關(guān)系嗎？

生：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

師：這一結(jié)論適用于所有的直角三角形嗎？

生：應(yīng)該是的.

師：那我們一起用課前準(zhǔn)備好的四個全等的直角三角形來拼圖并論證一下剛才這個結(jié)論的正確性.

（學(xué)生在教師引導(dǎo)下分組進(jìn)行實驗探究.）

生1：我們組拼了如圖4的正方形，該正方形的面積有兩種算法：第一種，看成一個整體，該正方形的面積為c2；第二種，用分割的方法，看成中間一個小正方形的面積加邊上四個直角三角形的面積，即4×ab﹢（b-a）2. 根據(jù)同一個圖形的面積相等可得：4×ab﹢（b-a）2=c2，展開并化簡得：a2+b2=c2.所以剛才的結(jié)論是正確的.

生2：我們組拼了如圖5的正方形，通過和第一組一樣的思想，由該正方形面積的兩種計算方法得到一個等式：（a+b）2=4×ab+c2，展開并化簡得：a2+b2=c2. 同樣證明了剛才的結(jié)論是正確的.

生3：我們組用了兩個直角三角形，連接上面兩點得到了一個直角梯形如圖6. 該直角梯形的面積也有兩種算法：（a+b）（a+b）或者2×ab+c2，得到等式（a+b）2=2×ab+c2，化簡同樣得到了：a2+b2=c2.

師：非常好，大家都很善于發(fā)現(xiàn)，也很會實驗并總結(jié). 剛才我們在實驗中驗證的這一結(jié)論，就是直角三角形中的一個非常重要的定理，叫勾股定理.

評點 教師很好地引導(dǎo)學(xué)生利用了普遍具有的“圖形旋轉(zhuǎn)面積不變”這一非形式幾何知識作為知識的生長點，使學(xué)生從原有的知識中自然“生長”出新的知識，這一知識的生長過程是一種探索過程，不僅使新知識找到了牢固的附著點，而且使認(rèn)知結(jié)構(gòu)在探索中得到發(fā)展. 建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)教育希望學(xué)生進(jìn)行討論、合作、反思、商討和再商討. 大多數(shù)數(shù)學(xué)問題（特別是幾何問題），都可以利用構(gòu)圖實驗，從而使學(xué)生進(jìn)入主動探索狀態(tài)，變被動的接受學(xué)習(xí)為主動的建構(gòu)過程，進(jìn)而使學(xué)生對所學(xué)新知加深印象.

開展數(shù)學(xué)實驗，提高合作能力

愈來愈多的社會工作需要團(tuán)隊合作精神，這也是數(shù)學(xué)實驗教學(xué)要培養(yǎng)的能力之一. 心理學(xué)合作理論研究表明：實驗教學(xué)中學(xué)生能力各有所長，恰如其分的團(tuán)隊合作正好將學(xué)生之間的各種能力激發(fā)出來，改善了學(xué)生的人際關(guān)系、合作品質(zhì)等. 以上兩個案例，都體現(xiàn)了團(tuán)隊合作的優(yōu)勢.

案例1 （同上，略）

案例2 （同上，略）

評點 不可否認(rèn)，在目前的不少數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中有這樣一個問題：不重視概念、公式、定理的發(fā)現(xiàn)與證明，只對解題進(jìn)行強化訓(xùn)練. 本著應(yīng)試的目的，注重培養(yǎng)學(xué)生的獨立思考能力，鮮有團(tuán)隊合作的訓(xùn)練. 這導(dǎo)致學(xué)生淹沒在數(shù)學(xué)題海里獨自沉浮，卻沒有攜手共同搏擊大浪的習(xí)慣. 但事實上，各行各業(yè)中杰出成就的取得都是團(tuán)隊合作的結(jié)果. 因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中培養(yǎng)團(tuán)隊合作精神是有必要的，而數(shù)學(xué)實驗活動的實施與開展，小組成員之間通過先分工后匯總，再討論，最后總結(jié)，在很大程度上鍛煉了學(xué)生的團(tuán)隊合作能力. 在案例1中學(xué)生通過分工合作加快了試算實驗的速度，通過互相借鑒、取長補短，找到了不斷地取中間數(shù)（實質(zhì)上是數(shù)學(xué)中的“二分法”）來快速縮小的取值范圍的方法，這不僅加快了實驗探究的進(jìn)程，也讓學(xué)生在實驗活動中體會到了團(tuán)隊合作可以集取眾人的智慧，優(yōu)化解決問題的方法，進(jìn)而提高效率. 在案例2中，學(xué)生同樣通過相互提醒、共同合作找到了驗證勾股定理的方法，并且發(fā)現(xiàn)驗證勾股定理的方法不止一種. 在這個探究過程中調(diào)動了小組內(nèi)各個成員的聰明才智，通過集思廣益，使學(xué)生學(xué)習(xí)思維的開放性、互動性、發(fā)散性都得到了鍛煉. 而且數(shù)學(xué)實驗活動也引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在認(rèn)識數(shù)學(xué)時需要互幫互助，在解決問題時更要集取眾人的智慧. 所以說，數(shù)學(xué)實驗活動的實施與開展對學(xué)生合作意識的提高和合作能力的培養(yǎng)都起到了促進(jìn)作用.

總之，數(shù)學(xué)實驗教學(xué)是一種新課程理念下建構(gòu)的嘗試，是以生為本、以生為動的一次實踐. 我們不僅要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生去建立學(xué)習(xí)陌生新知的學(xué)習(xí)步驟的過程，這是值得我們思考的. 教師的任務(wù)應(yīng)該是在傳授知識的過程中努力培養(yǎng)學(xué)生的能力. 我們培養(yǎng)出來的學(xué)生應(yīng)該具有再學(xué)習(xí)、再應(yīng)用和再創(chuàng)造的能力，應(yīng)該有團(tuán)隊合作精神，以適應(yīng)時代的發(fā)展要求. 我們期待通過數(shù)學(xué)實驗活動的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，而且能夠促進(jìn)其自我發(fā)展，進(jìn)而用這把鑰匙打開其他科學(xué)的“大門”.endprint