邊界元法介紹及其在陰極保護(hù)領(lǐng)域應(yīng)用

同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院 陳 石 秦朝葵

邊界元法介紹及其在陰極保護(hù)領(lǐng)域應(yīng)用

同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院 陳 石 秦朝葵

數(shù)值模擬方法是對(duì)在實(shí)驗(yàn)研究方法遇到困難或難以展開(kāi)時(shí)的補(bǔ)充。在對(duì)常見(jiàn)數(shù)值模擬方法的比較之后，得出邊界元法在陰極保護(hù)領(lǐng)域的優(yōu)勢(shì)。邊界元法作為一種新的數(shù)值模擬方法，其數(shù)學(xué)模型的建立需要一定合理的假設(shè)。數(shù)學(xué)模型的求解需要一定的邊界條件，這些邊界條件可分為三類(lèi)，每一類(lèi)別在相關(guān)環(huán)境中對(duì)應(yīng)著一定的情況。在結(jié)果呈現(xiàn)中，由于參考電位的選取在不同行業(yè)有著不同的規(guī)定，因此在對(duì)相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行對(duì)照比較時(shí)應(yīng)搞清不同參比電極之間的電位關(guān)系并進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)換。此外，還概括了邊界元方法在陰極保護(hù)領(lǐng)域的使用現(xiàn)狀。

數(shù)值模擬 陰極保護(hù) 邊界元法 邊界條件

0 前言

陰極保護(hù)技術(shù)是最常用、最有效的預(yù)防電化學(xué)腐蝕所導(dǎo)致危害的方法之一。通常被保護(hù)對(duì)象的現(xiàn)場(chǎng)環(huán)境情況比較復(fù)雜，如海洋中行駛的船舶、敷設(shè)在土壤中的鋼質(zhì)天然氣管道等，一方面現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)較為困難，另一方面由于船舶的形狀不規(guī)則、天然氣管道穿越不同性質(zhì)的地形，影響因素多等因素，難以通過(guò)實(shí)驗(yàn)或現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試的方法進(jìn)行全面而詳細(xì)的研究。作為實(shí)驗(yàn)研究的補(bǔ)充，數(shù)值模擬方法在陰極保護(hù)領(lǐng)域的應(yīng)用研究就顯得十分重要。邊界元方法是一種上世紀(jì)60年代發(fā)展起來(lái)的新的數(shù)值模擬方法，已逐步應(yīng)用在陰極保護(hù)的數(shù)值模擬領(lǐng)域。特別是天然氣管道的陰極防護(hù)數(shù)值模擬仿真近年來(lái)受到很大的關(guān)注。

1 幾種陰極保護(hù)數(shù)值模擬計(jì)算方法介紹與比較

常用的數(shù)值模擬方法包括有限差分法(FDM)、有限元法(FEM)和邊界元法(BEM)。有限差分法是最原始的數(shù)值模擬方法，其用線性離散方法來(lái)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；有限元法是對(duì)有限差分法在三維復(fù)雜情況下的改進(jìn)，但是在無(wú)限大或半無(wú)限大區(qū)域求解時(shí)，有限元法需對(duì)整個(gè)區(qū)域進(jìn)行求解來(lái)得到目標(biāo)區(qū)域的函數(shù)值，因此網(wǎng)格的數(shù)量和計(jì)算量較大。而邊界元法僅需對(duì)目標(biāo)區(qū)域的邊界進(jìn)行網(wǎng)格劃分。圖1和圖2示出了邊界元法與有限元法的對(duì)比。

圖1 邊界元法的網(wǎng)格劃分示意

圖2 有限元法的網(wǎng)格劃分示意

前者對(duì)無(wú)底圓柱內(nèi)部及周?chē)鸁o(wú)需進(jìn)行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格全部集中在圓柱的表面上；后者則需對(duì)整個(gè)圓柱體進(jìn)行網(wǎng)格劃分，圖中顯示了其中的三個(gè)截面，其內(nèi)部還存在大量的網(wǎng)格。另外，若考慮周?chē)沫h(huán)境變化，還需要對(duì)其周?chē)M(jìn)行網(wǎng)格劃分。

在陰極保護(hù)(Cathodic Protection，CP)模擬計(jì)算領(lǐng)域，F(xiàn)DM和FEM的共同特點(diǎn)是必須對(duì)全部區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，欲獲得被保護(hù)體表面的電位分布，首先必須計(jì)算出電解質(zhì)內(nèi)部的電位分布，因此計(jì)算量和數(shù)據(jù)準(zhǔn)備量巨大、計(jì)算精度不高是這兩種方法處理該領(lǐng)域復(fù)雜三維空間問(wèn)題的共同缺陷。BEM則因克服了FDM和FEM數(shù)據(jù)準(zhǔn)備量大的缺陷，成為陰極保護(hù)輔助設(shè)計(jì)中最具廣闊前景的數(shù)值計(jì)算方法。

2 邊界元法的數(shù)學(xué)模型

2.1 邊界元法的假設(shè)

數(shù)值模擬需要對(duì)實(shí)際事物及其所處環(huán)境進(jìn)行合理的假設(shè)從而建立簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型進(jìn)而求解，BEM也不例外，它需對(duì)研究對(duì)象電化學(xué)性質(zhì)以及所處工作環(huán)境進(jìn)行一定的簡(jiǎn)化，假設(shè)內(nèi)容如下：

(1)電解質(zhì)為均勻介質(zhì)或分區(qū)域均勻介質(zhì)：以天然氣管道埋設(shè)的土壤環(huán)境為例，土壤的電導(dǎo)率受到不同環(huán)境的影響而有所變化。不同季節(jié)、不同溫度、不同深度、不同含水量的土壤，其電導(dǎo)率均會(huì)有變動(dòng)，但總體來(lái)說(shuō)，對(duì)于具有相同性質(zhì)同一分塊區(qū)域的土壤，電導(dǎo)率變化是比較小的并且是各項(xiàng)同性的，他們對(duì)陰極保護(hù)電位的影響甚微，故對(duì)電解質(zhì)或者同一分塊區(qū)域的電解質(zhì)，可假設(shè)電導(dǎo)率 k為常數(shù)。在BEASY軟件中，同一Zone或同一Layer的電導(dǎo)率參數(shù)k為單一值，若要反映不同的土壤性質(zhì)則要將土壤分為不同的Zone或Multi-layer，從而對(duì)不同區(qū)域進(jìn)行電導(dǎo)率的定義。

(2)電位場(chǎng)為穩(wěn)態(tài)場(chǎng)：陰極保護(hù)領(lǐng)域中，需考察的主要是長(zhǎng)期極化后陰極表面的電位分布，其隨時(shí)間變化極小，可以認(rèn)為該電位場(chǎng)為穩(wěn)態(tài)電位分布場(chǎng)。對(duì)于非穩(wěn)態(tài)計(jì)算，需要根據(jù)時(shí)間輸入相應(yīng)的變化曲線，如極化曲線、鈣沉積曲線等，但此類(lèi)變化的時(shí)間單位為年，且經(jīng)常將時(shí)間間隔定為 1年及以上，因此計(jì)算時(shí)可作為穩(wěn)態(tài)問(wèn)題來(lái)進(jìn)行考慮。

(3)模型遵從歐姆定律：由電化學(xué)腐蝕的原因和基本特點(diǎn)可以得知此假設(shè)是合理的。電解質(zhì)中兩點(diǎn)的電位差與兩點(diǎn)之間的電流密度值存在線性關(guān)系。

(4)模型區(qū)域內(nèi)電解質(zhì)服從電中性原理：對(duì)于電解質(zhì)中特定的閉合曲面，流進(jìn)的電流大小等于流出的電流大小，其本身不儲(chǔ)存或者釋放電荷，電解質(zhì)中任何一處的凈電荷為零。即：電介質(zhì)中的電位場(chǎng)為無(wú)源場(chǎng)。

2.2 數(shù)學(xué)模型

對(duì)均勻的各項(xiàng)同性介質(zhì)，由于電解質(zhì)(土壤)中呈電中性，電流的流動(dòng)遵循拉普拉斯方程：

要獲得式(1)在特定情況下的解還需要兩個(gè)限定條件。其中一個(gè)是普適性的，即電流和電位之間的關(guān)系服從電工學(xué)上的歐姆定律：

式(1)、(2)中：

u——電位，mV；

j——電流密度，mA/m2；

k——電導(dǎo)率，S/m；下文相同。

另外一個(gè)即為邊界條件，可以分為三種類(lèi)型，筆者分別將其歸納為第一類(lèi)、第二類(lèi)和第三類(lèi)邊界條件。

2.2.1 第一類(lèi)邊界條件

給定邊界的電位值：

對(duì)于無(wú)外加電流的陰極保護(hù)系統(tǒng)，陽(yáng)極與陰極管道的電位即為保持其本身自然電位不變的恒定電位。

對(duì)于無(wú)窮遠(yuǎn)處電位假定為零，即u=0(單位：mV)，屬于給定邊界電位值的情況。

另外，在恒電位控制的外加電流陰極保護(hù)系統(tǒng)中，被控制點(diǎn)電位的邊界條件也屬于此類(lèi)。

2.2.2 第二類(lèi)邊界條件

給定邊界的電流密度值：

對(duì)于一般的外加電流陰極保護(hù)系統(tǒng)中的輔助陽(yáng)極，輸出的陽(yáng)極電流是定值i=Const(單位：mA)。

對(duì)于特定的系統(tǒng)及特定形狀的輔助陽(yáng)極，相應(yīng)的電流密度值為定值，即j=i/A=Const (單位：mA/m2，其中 A為輔助陽(yáng)極表面面積，單位：m2)。在相關(guān)軟件中也可直接將陽(yáng)極的邊界條件設(shè)置為一定的電流密度值，即j=Const (單位：mA/m2)。

在土壤表面，空氣的電阻率無(wú)限大，其電導(dǎo)率相對(duì)于土壤可視為無(wú)窮小，因此地表面可作絕緣處理，其電流密度值為零，即j=-k▽u=0(單位：mA/m2)。一般可將地表面處理為幾何學(xué)上的對(duì)稱面(Symmetry plane)，在計(jì)算時(shí)表示該面的法向通量(電流密度值)為零。另外對(duì)于土壤電解質(zhì)中一般的絕緣面也符合該類(lèi)條件。

另外，無(wú)窮遠(yuǎn)處法向電流密度亦假定為零，即j=-k▽u=0(單位：mA/m2)，屬于給定電流密度值的情況。

2.2.3 第三類(lèi)邊界條件

給定邊界的電位與電流密度之間的關(guān)系：

所謂金屬材質(zhì)的“極化曲線”即屬于該種情況，在BEASY軟件中默認(rèn)采用的該類(lèi)邊界條件即為軟件自帶，一般是反應(yīng)材料極化電位與法向電流密度之間關(guān)系的實(shí)測(cè)曲線。

另外在以往的相關(guān)研究中，還有一些對(duì)于該類(lèi)邊界條件的處理方法[3][7]包括：假定極化電位不受電流密度的影響；假定極化的電位與法向電流密度存在線性函數(shù)關(guān)系，即j=au+b(其中a，b為常數(shù)，j，u為電流密度與電位，下同)；基于相關(guān)理論確定極化電位與電流密度之間的函數(shù)關(guān)系式j(luò)=f(u)(包括一些經(jīng)驗(yàn)公式)。對(duì)于這幾種情況，均可通過(guò)人為地在有關(guān)軟件中編輯材料的極化曲線進(jìn)而實(shí)現(xiàn)。

邊界元方法的求解是用格林公式對(duì)微分方程積分后再離散處理，最終通過(guò)求解關(guān)于電位和電流密度的線性方程組系統(tǒng)?？杀硎緸?/p>

式(3)中：H、G分別為通過(guò)邊界元方法定義的系數(shù)矩陣；E、I分別為節(jié)點(diǎn)電位矩陣和電流密度矢量，其矩陣中每一項(xiàng)分別為待求的電位和電流密度。

3 邊界元方法及相關(guān)軟件的使用

對(duì)于邊界元法使用在陰極保護(hù)領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)外也做了相關(guān)的探索，其中包括指導(dǎo)性的介紹、針對(duì)電化學(xué)腐蝕本身的使用以及針對(duì)特定領(lǐng)域或特定技術(shù)(包括油氣管道的陰極保護(hù))的使用。

侯志強(qiáng)、邢少華為了準(zhǔn)確評(píng)價(jià)被保護(hù)結(jié)構(gòu)物的保護(hù)效果，概括了使用BEASY軟件所需要的外加給定條件。在陰極保護(hù)系統(tǒng)中這些外加條件一般包括：犧牲陽(yáng)極以及被保護(hù)結(jié)構(gòu)材料的極化特性曲線、涂層狀態(tài)、電解質(zhì)的電導(dǎo)率或電阻率以及被保護(hù)結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格劃分形式和方法等。

I.A. Metwally等人對(duì)陰極保護(hù)干擾進(jìn)行分類(lèi)，并用邊界元軟件研究了不同參數(shù)變化對(duì)每一干擾類(lèi)別的影響并對(duì)其進(jìn)行分析。

邢少華、李相波等運(yùn)用基于BEM算法的軟件計(jì)算了以鐵作為犧牲陽(yáng)極對(duì)不同材質(zhì)、型號(hào)的銅管材的有效保護(hù)距離大小，并用實(shí)際測(cè)量結(jié)果驗(yàn)證了軟件的計(jì)算結(jié)果，證明鐵陽(yáng)極在350 mm范圍內(nèi)對(duì)銅質(zhì)管路起到良好的犧牲陽(yáng)極保護(hù)作用。

J.X.Jia等人用對(duì)數(shù)和線性邊界條件的邊界元程序來(lái)研究電腐蝕問(wèn)題，其中線性條件運(yùn)用線性或分段線性方法實(shí)現(xiàn)，對(duì)數(shù)條件運(yùn)用分段線性方法實(shí)現(xiàn)。

姜潤(rùn)翔、胡英娣、龔沈光利用應(yīng)用邊界元法的軟件計(jì)算出船舶電場(chǎng)信號(hào)作為仿真數(shù)據(jù)對(duì)基于點(diǎn)電源的靜電場(chǎng)深度換算方法的有效性進(jìn)行了檢驗(yàn)。

劉福國(guó)、馬桂君、李響對(duì)小型導(dǎo)管架式海洋平臺(tái)外加電流陰極保護(hù)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬分析研究，并進(jìn)行物理模型實(shí)驗(yàn)。

姚華介紹采用數(shù)值模擬軟件系統(tǒng)得到地下管線及儲(chǔ)罐罐底的陰極保護(hù)電位和電流密度分布及其干擾因素影響的計(jì)算結(jié)果。

I.A. Metwally等人用現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試以及邊界元法模擬評(píng)估脈沖陰極保護(hù)系統(tǒng)的有效性和適用性，從而尋找找出了雜散電流的源頭，并提出了降低腐蝕電流的實(shí)用性措施。

以BEASY為例，邊界元法的最終計(jì)算結(jié)果可以視覺(jué)呈現(xiàn)出電極表面垂直方向的電流密度、被保護(hù)裝置的保護(hù)電位以及各點(diǎn)的電位值。其中電流密度值即為絕對(duì)值的大小，保護(hù)電位及電位值為相對(duì)值，其大小離不開(kāi)參考電位的選取，保護(hù)電位即為陰極電位與其鄰近電解質(zhì)電位之差，而電解質(zhì)的電位為其各點(diǎn)與參比電極的電位差。參比電極的使用已擴(kuò)展至海洋、淡水、污水、熔鹽、高溫油氣、土壤等環(huán)境。其中Ag/AgCl電極被認(rèn)為是高溫高壓電化學(xué)試驗(yàn)中最耐用的參比電極，也被廣泛應(yīng)用在船舶海洋電化學(xué)腐蝕領(lǐng)域。

對(duì)于在埋地燃?xì)夤艿离娀瘜W(xué)腐蝕的檢測(cè)與研究領(lǐng)域，比較常用的是 Cu/CuSO4參比電極，有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定值也是針對(duì) Cu/CuSO4參比電極設(shè)定。然而在 BEASY軟件中，參考電位選擇的是Ag/AgCl(海水)電極的電位。因此了解不同參比電極之間的電位關(guān)系顯得非常必要，圖3示出了常用的參比電極電位相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)氫電極的大小。

圖3 常用參比電極相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)氫電極的電位值(25℃)

利用該軟件計(jì)算出的電位結(jié)果(如圖4)對(duì)有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行參照時(shí)要進(jìn)行一定的換算，即電位的大小要減去Cu/CuSO4參比電極與Ag/AgCl參比電極電位之差0.05 V(50mV)。

目前國(guó)內(nèi)曾將邊界元法用于艦艇陰極保護(hù)系統(tǒng)或船舶、海洋平臺(tái)方面的仿真優(yōu)化設(shè)計(jì)，而在輸油氣管道上的研究仍十分有限，其大部分研究?jī)H限于實(shí)驗(yàn)室模擬。

根據(jù)相關(guān)軟件的幫助文件，該類(lèi)軟件在油氣管道陰極保護(hù)領(lǐng)域可實(shí)現(xiàn)的功能包含兩個(gè)方面：預(yù)測(cè)管道陰極保護(hù)系統(tǒng)性能，主要為預(yù)測(cè)保護(hù)等級(jí)、評(píng)估各設(shè)計(jì)變量的重要性、預(yù)計(jì)犧牲陽(yáng)極壽命、評(píng)估系統(tǒng)在不同環(huán)境和設(shè)計(jì)條件下的性能；預(yù)測(cè)不同系統(tǒng)間的相互影響，主要為不同來(lái)源雜散電流腐蝕、已有犧牲陽(yáng)極對(duì)現(xiàn)有管道設(shè)備的干擾等。

圖4 BEASY電位計(jì)算結(jié)果示意

4 結(jié)語(yǔ)

邊界元法有著完整的數(shù)學(xué)模型和計(jì)算理論體系，憑借其在無(wú)限大或半無(wú)限大介質(zhì)分析中計(jì)算量方面的優(yōu)越性，在陰極保護(hù)領(lǐng)域可以得到很好地應(yīng)用。

邊界元法及其相關(guān)軟件對(duì)于現(xiàn)在受軌道交通雜散電流影響天然氣管道的數(shù)值模擬能夠很大程度上簡(jiǎn)化預(yù)測(cè)和監(jiān)管的工作量，帶來(lái)一定的經(jīng)濟(jì)性。

有關(guān)數(shù)值模擬軟件針對(duì)管道的建模提供了簡(jiǎn)化的工具和方法，減小了使用人員的工作量，但在使用時(shí)應(yīng)注意參考電位的選取和大小關(guān)系的數(shù)量轉(zhuǎn)換。

Introduction of Boundary Element Method and Its Application in Cathode Protection

School of Mechanical Engineering Tongji University Chen Shi Qin Chaokui

Numerical simulation is the supplement of experiments in meeting difficulties, and advantages of the boundary element method (BEM) in cathode protection (CP) have been found in comparing with other common numerical simulation methods. The mathematical model has been introduced, and the present situation of the application of BEM software in CP has been discussed as well.

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