電磁場散射問題PML逼近方程棱離散系統(tǒng)的一種預(yù)條件子方法

劉春梅

（湖南科技學(xué)院 理學(xué)院，湖南 永州425199）

電磁場散射問題PML逼近方程棱離散系統(tǒng)的一種預(yù)條件子方法

劉春梅

（湖南科技學(xué)院 理學(xué)院，湖南 永州425199）

文章針對一類二維散射電磁場PML逼近方程棱有限元離散系統(tǒng)，為其構(gòu)造了一種基于PGmres方法的高效預(yù)條件子，本質(zhì)地將該預(yù)條件行為轉(zhuǎn)化成兩個(gè)對稱正定問題的求解，然后利用基于HX預(yù)條件子的PCG方法求解這兩個(gè)對稱正定問題對應(yīng)的離散系統(tǒng)，數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)回頭數(shù)較大時(shí)，PGmres方法求解二維散射電磁場PML逼近方程棱有限元離散系統(tǒng)是高效的。

PML逼近方程；預(yù)條件子

1　模型問題及變分問題

考慮如下模型問題［1］

圖1. 計(jì)算區(qū)域

注意到Q是對稱不定矩陣，其條件數(shù)很差，而且當(dāng)問題規(guī)模變大時(shí)，其條件數(shù)越差，因?yàn)闉槠錁?gòu)造快速算法是非常必要的。

2　預(yù)條件子構(gòu)造

本節(jié)我們將為對稱不定系統(tǒng)（1.4）構(gòu)造高效預(yù)條件子。

設(shè)其對應(yīng)的矩陣為A?， 顯然該矩陣為對稱正定矩陣。

接著為求解不定系統(tǒng)（1.4）的PGmres構(gòu)造如下預(yù)條件子

即用PGmres法求解如下預(yù)條件系統(tǒng)

本文中我們將采用基于HX預(yù)條件子（見文［2］）的PCG求解上述兩個(gè)對稱正定離散系統(tǒng)。

3　數(shù)值實(shí)驗(yàn)

第二個(gè)分向量函數(shù)的電場分布情形，在下面的實(shí)驗(yàn)中，我們將分別與之作比較。

圖2. 真解函數(shù)ur的第一個(gè)分量（左圖）和第二個(gè)分量（右圖）的電場分布圖

圖4. PGmres方法求解時(shí)解函數(shù)（左圖）和（右圖）的電場分布圖

圖4和圖5分別為PGMREs方法求解時(shí)有限元解函數(shù)的實(shí)部和虛部的兩個(gè)分量的電場分布圖， 分別與圖2和圖3比較可知， 我們所求的有限元解函數(shù)能很好地模擬真解函數(shù)。

下面采用基于預(yù)條件子-1C的PGMREs方法求解不定系統(tǒng)（1.4）。

圖5. PGmres方法求解時(shí)解函數(shù)（左圖）和（右圖）的電場分布圖

表1. 回頭數(shù)=10 時(shí)PGmres方法求解（1.4）的數(shù)值實(shí)驗(yàn)

表2. 回頭數(shù)=40 時(shí)PGmres方法求解（1.4）的數(shù)值實(shí)驗(yàn)

表3.回頭數(shù)=40 時(shí)PGmres方法求解（1.4）的數(shù)值實(shí)驗(yàn)

上述數(shù)值實(shí)驗(yàn)可知，當(dāng)回頭數(shù)較大時(shí)，PGmres方法求解不定系統(tǒng)（1.4）是有效的。

［1］J. Bramble and J.Pasciak，Analysis of a cartesian PML approximation to the three dimensional electromagnetic wave scattering problem，Int.J.Numer.Anal. Model.2012，9：543-561.

［2］RHiptmair and J.Xu，Nodal auxiliary spaces preconditions in H（curl） and H（div） spaces，SIAM J.Numer.Anal.，2007，45：2483-2509.

［3］C.M. Liu， S. Shu， Y.Q. Huang， L.Q.Zhong and J.X. Wang， An iterative two grid method of a finite element PML approximation for the two dimensional Maxwell problem， Adv. Appl. Math. Mech.，2012，4（2）：175-189.

（責(zé)任編校：何俊華）

O343.3； TB115

A

1673-2219（2015）05-0011-05

2015－01－20

國家自然科學(xué)基金（11426102）。

劉春梅（1981－），女，山西五臺人，博士，講師，主要研究方向?yàn)閰^(qū)域分解及多重網(wǎng)格法。