一類四階脈沖微分方程邊值問題解的存在性

莊樂森，李姍姍

（新鄉(xiāng)學院數(shù)學與信息科學學院，河南新鄉(xiāng)453003）

一類四階脈沖微分方程邊值問題解的存在性

莊樂森，李姍姍

（新鄉(xiāng)學院數(shù)學與信息科學學院，河南新鄉(xiāng)453003）

研究了帶脈沖的四階微分方程邊值問題，用不動點指數(shù)定理證明了此問題在適當條件下存在兩個非負解。

脈沖邊值問題；不動點指數(shù)定理；非負解

四階微分方程邊值問題在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，因而受到了人們的重視，許多學者對此進行了深入的研究，并取得了一些有用的成果［1-4］，但到目前為止，帶脈沖的四階微分方程邊值問題的研究還比較少。作為微分方程的一個重要分支，帶脈沖的四階微分方程邊值問題能描述突變現(xiàn)象對事物發(fā)展的影響，已在生物學、醫(yī)學和航天等研究領(lǐng)域得到了廣泛的應用。在本文中，我們研究了帶脈沖的四階微分方程邊值問題

1　預備知識及引理

的解。其中：當0≤t≤s≤1時，G（t，s）=t；當0≤s≤t≤1時，G（t，s）=s。

根據(jù)函數(shù)G（t，s）的形式，可以得出G（t，s）具有下列性質(zhì)：對于任意的t、s∈J，G（t，s）≥0，并且是連續(xù)的；對于任意的t、s∈J，有G（t，s）≤G（s，s）≤1；對于任意的t∈［a，b］和s∈J，有G（t，s）≥σG（s，s）；對于任意的t、s∈［a，b］，有G（t，s）≥a。在以上式子中，a∈J1，b∈Jm，σ=min｛a，1-b｝。

定義積分算子T為

則有如下引理。

引理3：算子T是PC［J，?］到PC［J，?］的全連續(xù)算子。

證明：對于任意的u∈PC［J，?］，由（2）式可知，Tu∈PC［J，?］，因為G（t，s）、f （t，u（t））以及Ik均為連續(xù)函數(shù)，所以T在PC［J，?］上是連續(xù)的。對PC［J，?］中任意有界集S，T（S）中的函數(shù)均在J上一致有界，并且在每個Jk（k=1，2，…，m）上等度連續(xù)，于是由Ascoli-Arzela定理可知，T（S）是PC［J，?］中的相對緊集，因此T是全連續(xù)算子。

引理4：u（t）∈PC［J，?］∩C4［J′，?］為（1）式解的充要條件是u（t）∈PC［J，?］為算子T的不動點。

證明：由引理2可知結(jié)論成立。

引理5［5］：設(shè)X是實Banach空間E的一個收縮核，X1是X的一個有界凸收縮核，U是X的非空開集，且U∈X1。又設(shè)A： X1→X是全連續(xù)算子，A（X1）?X1，并且A在X1U上沒有不動點，則必有i（A，U，X）=1。

2　主要結(jié)果

3　定理的應用

考察帶脈沖四階微分方程邊值問題

［1］FENG H Y，JI D H，GE W G.Existence and Uniqueness of Solutions for a Fourth-order Boundary Value Problem［J］.Nonlinear Anal，2009，70：3561-3566.

［2］HAN G D，LI F Y.Multiple Solutions of Some Fourthorder Boundary Value Problems［J］.Nonlinear Anal，2007，66：2591-2603.

［3］MA R Y.Existence of Positive Solutions of a Fourth-order Boundary Value Problem［J］.Appl Math Comput，2005，168：1219-1231.

［4］韋忠禮.四階奇異邊值問題的正解［J］.數(shù)學學報，1999（4）：715-722.

［5］郭大鈞.非線性泛函分析［M］.2版.濟南：山東科學技術(shù)出版社，2004：339-340.

【責任編輯王云鵬】

Existence of Solutions to Boundary Value Problems of Fourth-order Impulsive Differential Equations

ZHUANG Yaosen，LI Shanshan
（School of Mathematics and Information Science，Xinxiang University，Xinxiang 453003，China）

In this paper，a fourth-order differential equation boundary value problem with pulse was discussed.By means of fixed point index theorem，two nonnegative solutions of this problem under appropriate conditions were proved to be existed.

boundary value problem with pulse；fixed point index theorem；nonnegative solution

0175

A

2095-7726（2015）09-0001-03

2015-06-08

莊樂森（1980-），女，河南新鄉(xiāng)人，碩士，研究方向：非線性泛函分析。