綜合模態(tài)控制力下壓電致動器的優(yōu)化布局

楊依領(lǐng),婁軍強(qiáng),魏燕定,傅 雷,田 埂,趙曉偉

（1.浙江大學(xué)現(xiàn)代制造工程研究所浙江省先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)研究實(shí)驗(yàn)室,浙江杭州310027；2.寧波大學(xué)機(jī)械與力學(xué)學(xué)院,浙江寧波315211）

綜合模態(tài)控制力下壓電致動器的優(yōu)化布局

楊依領(lǐng)1,婁軍強(qiáng)2,魏燕定1,傅 雷1,田 埂1,趙曉偉1

（1.浙江大學(xué)現(xiàn)代制造工程研究所浙江省先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)研究實(shí)驗(yàn)室,浙江杭州310027；2.寧波大學(xué)機(jī)械與力學(xué)學(xué)院,浙江寧波315211）

針對智能撓性結(jié)構(gòu)中致動器的優(yōu)化布局問題,在分析撓性結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程和狀態(tài)空間方程的基礎(chǔ)上,采用模態(tài)理論,對系統(tǒng)控制矩陣進(jìn)行奇異值分解,提出一種表征最大綜合模態(tài)控制力的評價(jià)準(zhǔn)則,該評價(jià)準(zhǔn)則兼顧保留模態(tài)和截?cái)嗄B(tài)對模態(tài)控制力的影響,綜合考慮模態(tài)權(quán)重.最后以粘貼有壓電致動器／應(yīng)變傳感器的撓性梁為例,通過理論計(jì)算和改進(jìn)的遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化分析,得到綜合模態(tài)控制力最大時(shí)壓電致動器的布局位置,并建立實(shí)驗(yàn)測控系統(tǒng)進(jìn)行驗(yàn)證.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：采用優(yōu)化結(jié)果中的致動器布局時(shí),系統(tǒng)具有較好的綜合模態(tài)控制力,控制效果也更優(yōu),所提出的評價(jià)準(zhǔn)則和優(yōu)化方法是可行的.

智能撓性結(jié)構(gòu)；綜合模態(tài)控制力；壓電致動器；優(yōu)化布局

由于具有質(zhì)量輕、操作空間大、發(fā)射成本低和能耗低等優(yōu)點(diǎn),撓性結(jié)構(gòu)被廣泛地應(yīng)用在航空航天領(lǐng)域［1-2］.然而,在使用過程中,撓性結(jié)構(gòu)因自身低剛度、低阻尼和低固有頻率等特性,很容易產(chǎn)生彈性振動,影響系統(tǒng)的性能,因此需要對撓性結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動控制研究［3］.

壓電材料制成的致動器具有頻響寬、響應(yīng)速度快和動態(tài)性好等優(yōu)點(diǎn),被廣泛地應(yīng)用于智能撓性結(jié)構(gòu)的主動振動控制［4-5］.致動器／傳感器的布局位置密切影響著撓性結(jié)構(gòu)的控制性能,不當(dāng)?shù)牟季治恢脮?dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生控制和觀測溢出等問題［6］,因此,有必要對智能撓性結(jié)構(gòu)中致動器／傳感器的優(yōu)化布局進(jìn)行研究.

對于撓性結(jié)構(gòu)中致動器／傳感器的優(yōu)化布局問題,國內(nèi)外許多研究者進(jìn)行了相關(guān)研究.系統(tǒng)能控性／能觀性準(zhǔn)則廣泛地應(yīng)用在致動器／傳感器的優(yōu)化布局中,錢鋒等［7］研究模態(tài)能控準(zhǔn)則下致動器／傳感器的優(yōu)化布局問題.考慮致動器的致動能力,Lindberg等［8］研究了簡單控制力準(zhǔn)則下致動器的優(yōu)化布局問題；考慮到模態(tài)截?cái)鄷?dǎo)致溢出效應(yīng),Ambrosio等［9］和邱志成［10］通過采用H2范數(shù)準(zhǔn)則,研究了智能結(jié)構(gòu)中致動器／傳感器的布局問題；Bruant等［11］和Nestorovic等［12］在系統(tǒng)能控性／能觀性的基礎(chǔ)上,通過考慮截?cái)嗄B(tài)來限制溢出效應(yīng),提出了一種改進(jìn)的控制力準(zhǔn)則,并對簡支板上的壓電致動器進(jìn)行了優(yōu)化布局研究.然而,對于智能撓性結(jié)構(gòu)而言,振動具有多模態(tài)特性［13］,在實(shí)際應(yīng)用中,傳感器一般與致動器同位布局,而致動器的致動能力又往往有限,為了使控制效果達(dá)到最佳,又希望致動器對受控模態(tài)具有最大控制力［14］,因此需要對在綜合模態(tài)下如何實(shí)現(xiàn)致動器的控制力最優(yōu)這一問題,進(jìn)行深入地研究.

針對智能撓性結(jié)構(gòu)中致動器的優(yōu)化布局問題,本文首先提出一種表征最大綜合模態(tài)控制力的評價(jià)準(zhǔn)則,然后以粘貼有壓電致動器／應(yīng)變傳感器的撓性梁為例,通過理論計(jì)算和改進(jìn)的遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化分析,得到綜合模態(tài)控制力最大時(shí)壓電致動器的布局位置,最后建立實(shí)驗(yàn)測控系統(tǒng)驗(yàn)證所述評價(jià)準(zhǔn)則和優(yōu)化方法的有效性.

1 系統(tǒng)建模

描述撓性結(jié)構(gòu)振動的動力學(xué)方程一般可以表示為

式中：M為質(zhì)量矩陣,K為剛度矩陣,F（t）為廣義力矢量,x（t）為位移矢量.

考慮撓性結(jié)構(gòu)的阻尼效應(yīng),得到撓性結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程的常微分方程形式：

式中：D為阻尼矩陣.

對式（2）作模態(tài)變換,得到撓性結(jié)構(gòu)振動的模態(tài)坐標(biāo)方程：

式中：q（t）為廣義模態(tài)坐標(biāo)矢量；Dm、Km和Bm分別為進(jìn)行模態(tài)變換后的阻尼矩陣、剛度矩陣和控制矩陣；u（t）為輸入矩陣.

為了對撓性結(jié)構(gòu)進(jìn)行特性分析,引入狀態(tài)變量X（t）,得到撓性結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程的狀態(tài)空間表達(dá)形式：

式中：X（t）為狀態(tài)變量,是2k×1矩陣；Y（t）為輸出變量,是p×1矩陣,具體表達(dá)式如下：

As,Bs,Cs分別為2k×2k狀態(tài)矩陣、2k×r控制矩陣和p×2k輸出矩陣,具體表達(dá)式如下：

式中：ζk為第k階模態(tài)阻尼比,ωk為第k階固有頻率,Bjr是與致動器位置有關(guān)的振型函數(shù),Cpj是與傳感器位置有關(guān)的振型函數(shù),j等于2k.

2 評價(jià)準(zhǔn)則

系統(tǒng)能控性用來分析輸入變量u（t）對狀態(tài)變量X（t）的控制能力,由系統(tǒng)狀態(tài)方程中的狀態(tài)矩陣As和控制矩陣Bs決定,而狀態(tài)矩陣As取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和內(nèi)部參數(shù),控制矩陣Bs則取決于控制力的施加位置.在智能撓性結(jié)構(gòu)中,受致動器致動能力的制約,有必要對致動器的位置進(jìn)行優(yōu)化布局,希望致動器對受控模態(tài)具有最大控制力,以使控制效果達(dá)到最佳［14］.

根據(jù)式（4）,致動器控制力的表達(dá)式為

將式（5）兩邊分別左乘其轉(zhuǎn)置矩陣,得到

采用奇異值分解,令Bs＝WSNT

式中：W為2k×2k矩陣,WTW＝I；N為r×r矩陣, NTN＝I；S為2k×r矩陣,其表達(dá)式如下：

代入式（6）,并進(jìn)行簡化可得

將v＝NTu代入式（7）,并進(jìn)一步簡化得到

式中：Δi代表矩陣S中第i行第i列的元素.

由于vTv＝uTu,從能量輸入的角度來看,輸入變量v與輸入變量u等價(jià).由式（8）可知,模態(tài)控制力與參數(shù)Δi和輸入變量vi有關(guān),參數(shù)Δi的大小取決于致動器的位置和大小；參數(shù)Δi越大,用于抑制撓性結(jié)構(gòu)振動的輸入變量越??；在同等輸入情況下,致動器所能產(chǎn)生的模態(tài)控制力也越大.

對于保留的模態(tài),也就是受控模態(tài),模態(tài)控制力越大,代表控制力越強(qiáng),容易達(dá)到較好的控制效果；而對于未考慮的截?cái)嗄B(tài),由于不需要進(jìn)行控制,故希望模態(tài)控制力越小越好.因此,定義如下所示考慮模態(tài)權(quán)重比值的最大綜合模態(tài)控制力評價(jià)準(zhǔn)則

式中：1≤i≤d1,d1為保留的模態(tài)數(shù)；1≤j≤d2,d2為截?cái)嗟哪B(tài)數(shù)；1／ζiωi為第i階模態(tài)的權(quán)重,其大小反映了不同階次模態(tài)控制力能所占的比重.

由式（9）可知,Δi越大,受控模態(tài)的控制力越大；Δj越小,不予考慮的模態(tài)控制力越?。惶岢龅木C合考慮模態(tài)權(quán)重比值的最大模態(tài)控制力評價(jià)準(zhǔn)則的數(shù)值也越大,致動器所處位置也越好；當(dāng)評價(jià)準(zhǔn)則取最大值時(shí),致動器所處布局位置最優(yōu).

3 改進(jìn)的遺傳算法

針對日益出現(xiàn)在各領(lǐng)域中的多種復(fù)雜優(yōu)化問題,一些學(xué)者提出采用仿生智能優(yōu)化算法進(jìn)行求解.其中,粒子群算法和遺傳算法是2種常用而典型的智能優(yōu)化算法.粒子群算法較為簡單、易于實(shí)現(xiàn),然而其理論基礎(chǔ)尚未完善、收斂速度較慢,容易陷入局部最優(yōu)解,從而影響求解精度［15］.

遺傳算法具有算法簡單、尋優(yōu)過程自適應(yīng)和能夠并行處理等優(yōu)點(diǎn),廣泛應(yīng)用于參數(shù)估計(jì)、函數(shù)優(yōu)化和控制系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域.但是傳統(tǒng)的遺傳算法存在容易早熟收斂和后期搜索效率較低的缺點(diǎn),為了提高求解精度和算法求解效率,本文采用改進(jìn)的遺傳算法進(jìn)行求解.

與二進(jìn)制編碼相比,浮點(diǎn)數(shù)編碼求解精度更高,無需解碼,使用起來更為方便.因此,根據(jù)數(shù)學(xué)模型所確定的搜索空間,將致動器位置xasn這一待優(yōu)化變量,直接組成染色體串進(jìn)行編碼.

與標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法相比,自適應(yīng)遺傳算法的交叉算子和變異算子可以根據(jù)個(gè)體適應(yīng)度值進(jìn)行相應(yīng)改變,提高遺傳算法的求解效率和收斂能力,因此,交叉算子和變異算子可采用如下公式進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整［16］：

式中：zmax為種群中最大適應(yīng)度值,zavg為種群的平均適應(yīng)度值,z′為可能進(jìn)行交叉的2個(gè)個(gè)體中較大的適應(yīng)度值,z為要變異的個(gè)體適應(yīng)度值；h1、h2、h3、h4∈［0,1］.

4 算例分析

具體的針對貼有n組壓電致動器的智能撓性梁結(jié)構(gòu),如圖1所示,撓性梁的長、寬和高分別為Lb、bb和hb,壓電致動器的寬和高分別為ba和ha,第n組壓電致動器起始和終止位置距梁固定端的距離分別為xasn和xaen.

圖1 智能撓性梁模型示意圖Fig.1 Model of smart flexible beam

假設(shè)撓性梁為Euler-Bernoulli梁模型,同時(shí)忽略壓電致動器的引入對原撓性梁系統(tǒng)的影響,以n組壓電致動器的控制電壓作為輸入變量,則智能撓性梁的控制矩陣為

φk（x）為一端固定一端自由邊界條件下,撓性梁的第k階模態(tài)振型函數(shù),具體表達(dá)式如下：

式中：βk為第k階無量綱彎曲振動頻率,由撓性梁頻率方程（15）確定.

聯(lián)合控制矩陣Bs和評價(jià)準(zhǔn)則F,最終建立撓性梁系統(tǒng)致動器優(yōu)化布局問題的數(shù)學(xué)模型如下：

選取撓性梁的幾何尺寸Lb、bb和hb分別為620.0、30.0和3.0 mm,Eb＝34.6 GPa,ρb＝1 840 kg／m3.選取壓電致動器的La、ba和ha分別為40.0、10.0和0.8 mm,Ea＝117.0 GPa,密度ρa(bǔ)＝7 500 kg／m3,d31＝187×10－12C／N.設(shè)定撓性梁的模態(tài)阻尼比分別為0.02、0.01和0.006.

考慮到二階以上的模態(tài)對撓性梁系統(tǒng)的輸出貢獻(xiàn)非常小,首先研究單組壓電致動器的優(yōu)化布局問題,如圖2所示給出了單組壓電致動器位置與評價(jià)準(zhǔn)則F之間的對應(yīng)關(guān)系.圖2（a）僅僅選取了撓性梁的一階模態(tài)作為保留模態(tài),而圖2（b）則選取了撓性梁的前兩階模態(tài)作為保留模態(tài).從圖2中可以看出,選取的保留模態(tài)不同時(shí),致動器位置與評價(jià)準(zhǔn)則F的關(guān)系曲線明顯不同,同時(shí)將單組壓電致動器布局在撓性梁根部時(shí),評價(jià)準(zhǔn)則F最大,綜合模態(tài)控制力也最大.

圖2 單組致動器位置與評價(jià)準(zhǔn)則F關(guān)系圖Fig.2 Relationship between evaluation criteria F and location of single actuator

為了佐證評價(jià)準(zhǔn)則的普適性,采用改進(jìn)遺傳算法對2組壓電致動器的位置進(jìn)行優(yōu)化,并與理論計(jì)算結(jié)果相比較.取撓性梁的前兩階模態(tài)作為保留模態(tài),撓性梁的第3階模態(tài)作為截?cái)嗄B(tài),遺傳算法初始參數(shù)設(shè)置如下：群體規(guī)模15,最大進(jìn)化代數(shù)50,遺傳優(yōu)化過程如圖3所示,圖中G代表進(jìn)化代數(shù),R代表適應(yīng)度函數(shù),與評價(jià)準(zhǔn)則F成倒數(shù)關(guān)系.由圖3可知,適應(yīng)度函數(shù)R在40代左右收斂到最優(yōu)值.

圖3 平均及最佳適應(yīng)度的優(yōu)化過程Fig.3 Optimization process of mean and best ftness

經(jīng)過多次優(yōu)化,當(dāng)一組壓電致動器布局在距撓性梁根部0.004 m處,另一組壓電致動器布局在0.278 m處時(shí),F取得最優(yōu)解.如圖4所示給出了多組壓電致動器優(yōu)化布局位置與評價(jià)準(zhǔn)則的關(guān)系曲線,與優(yōu)化結(jié)果對比可知：采用2組壓電致動器對撓性梁的前兩階模態(tài)進(jìn)行控制時(shí),一組致動器布局在撓性梁根部,另一組致動器布局在撓性梁中部時(shí),獲得的綜合模態(tài)控制力最大.

圖4 多組致動器位置與評價(jià)準(zhǔn)則F關(guān)系圖Fig.4 Relationship between evaluation criteria F and location of multiple actuators

5 實(shí)驗(yàn)研究

建立如圖5所示的智能撓性梁實(shí)驗(yàn)系統(tǒng),撓性梁采用環(huán)氧樹脂材料制成.根據(jù)算例分析結(jié)果,并考慮實(shí)驗(yàn)布線情況,在距離撓性梁的根部25和280 mm處分別對稱地粘貼一組壓電致動器（PZT-5型壓電材料制成）.為了檢測撓性梁的變形,在撓性梁根部粘貼有一組采用半橋接法的應(yīng)變傳感器（電阻應(yīng)變片,電阻值120Ω,靈敏度系數(shù)2.08）.

研制的最大放大倍數(shù)5 000的應(yīng)變放大器,可將撓性梁的彈性變形轉(zhuǎn)換放大為±10 V的電壓信號；數(shù)據(jù)采集卡采用研華科技PCI-1742U多路數(shù)據(jù)采集卡,可以實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)A／D、D／A轉(zhuǎn)換；研制的以運(yùn)算放大器3 583芯片為核心的功率放大器,可將D／A轉(zhuǎn)換后的±10 V電壓信號放大輸出為±150 V.

實(shí)驗(yàn)研究包括模態(tài)特性實(shí)驗(yàn)、綜合模態(tài)主動激振實(shí)驗(yàn)和沖擊信號下的振動控制實(shí)驗(yàn).通過沖擊錘敲擊激起撓性梁的自由振動,經(jīng)過計(jì)算,得到撓性梁前兩階模態(tài)的固有頻率和阻尼比的理論值和實(shí)驗(yàn)值如表1所示,其中f1、f2分別代表撓性梁的一階、二階固有頻率,ζ1、ζ2分別代表撓性梁的一階、二階模態(tài)阻尼比.

圖5 智能撓性梁實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.5 Experimental system of smart flexible beam

由表1可知,撓性梁固有頻率的實(shí)驗(yàn)值與理論值有些差異,為了消除理論計(jì)算中忽略的黏結(jié)層和材料實(shí)際特性等因素對優(yōu)化結(jié)果的影響,需要對優(yōu)化結(jié)果中的致動器的布局效果進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.

表1 前兩階模態(tài)的固有頻率和阻尼比Tab.1 Natural frequency and damping ratio of first two modes

對布局在撓性梁根部和中部的壓電致動器分別施加16 s的綜合模態(tài)激勵(lì)信號為

在根部致動器施加綜合模態(tài)激勵(lì)信號,粘貼在撓性梁根部的應(yīng)變傳感器的輸出信號如圖6（a）所示,其中U為傳感器時(shí)域輸出,t為時(shí)間；對中部致動器施加相同激勵(lì)信號后,應(yīng)變傳感器的輸出信號如圖6（b）所示,2種情況下頻域信號的對比情況如圖7所示,其中M為傳感器頻域輸出,f為頻率.

圖6 不同位置致動器激勵(lì)下應(yīng)變傳感器時(shí)域信號Fig.6 Time domain response of strain sensors actuated by piezoelectric actuators in different position

圖7 不同位置致動器激勵(lì)下應(yīng)變傳感器頻域信號Fig.7 Frequency response of strain sensors actuated by piezoelectric actuators in different position

圖6和7實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在綜合模態(tài)激勵(lì)信號f（t）的作用下,雖然在10 s以后,布局在撓性梁中部的壓電致動器激起的綜合模態(tài)振動略大,但從總體來看,布局在撓性梁根部的壓電致動器激起的綜合模態(tài)振動更大,這說明對于撓性梁的綜合模態(tài)振動,單組壓電致動器布局在根部比布局在中部時(shí),致動能力更強(qiáng),綜合模態(tài)控制力也更大.

如圖8所示給出了經(jīng)模態(tài)提取后得到的撓性梁一階模態(tài)響應(yīng).實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在相同激勵(lì)信號作用下,布局在撓性梁根部的壓電致動器激起的一階模態(tài)振動更大；這說明對于撓性梁的一階模態(tài)振動,單組壓電致動器布局在根部時(shí)比布局在中部時(shí),致動能力更強(qiáng),一階模態(tài)控制力也更大.而對于撓性梁系統(tǒng),其一階模態(tài)占主導(dǎo)地位,因而根部致動器的綜合模態(tài)控制力也更大.

圖8 不同位置致動器激勵(lì)下?lián)闲粤旱囊浑A模態(tài)響應(yīng)Fig.8 Response of first mode of beam actuated by piezoelectric actuators in different position

為了從控制效果的角度來比較不同布局位置下壓電致動器的控制性能,在撓性梁的中部施加一沖擊激勵(lì)信號,并采用負(fù)反饋控制對撓性梁的振動進(jìn)行抑制,如圖9所示給出了利用布局在撓性梁根部、中部的壓電致動器進(jìn)行振動抑制的實(shí)際控制效果曲線,從圖中可以看出,根部和中部壓電致動器均能較為有效地抑制撓性梁的振動,但根部致動器的控制效果明顯要優(yōu)于中部,因此,當(dāng)采用單組壓電致動器時(shí),將壓電致動器布局在撓性梁根部,所獲得的綜合模態(tài)控制力更大.

如圖10所示給出了僅利用根部壓電致動器和同時(shí)利用根部、中部壓電致動器進(jìn)行振動抑制的實(shí)際控制效果曲線,從圖中可以看出,同時(shí)利用根部、中部壓電致動器的控制效果要優(yōu)于僅利用根部壓電致動器,因此,當(dāng)采用2組壓電致動器時(shí),一組布局在撓性梁根部,另一組布局在撓性梁中部時(shí),所獲得的綜合模態(tài)控制力更大.

圖9 單組致動器控制時(shí)應(yīng)變傳感器的時(shí)域信號Fig.9 Time domain response of strain sensors for single actuator

圖10 單組與多組致動器控制時(shí)的應(yīng)變片傳感器的時(shí)域信號Fig.10 Time domain response of strain sensors for single and multiple actuators

綜上,對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果和算例分析可知：在相同激勵(lì)信號下,當(dāng)采用單組壓電致動器時(shí),將致動器布局在撓性梁根部時(shí),獲得的綜合模態(tài)控制力最大,當(dāng)采用多組壓電致動器時(shí),分別將其布局在撓性梁根部和中部時(shí),所獲得的綜合模態(tài)控制力更大,與算例分析結(jié)果一致.

6 結(jié) 語

采用提出的表征最大綜合模態(tài)控制力的評價(jià)準(zhǔn)則,對智能撓性結(jié)構(gòu)中致動器的優(yōu)化布局問題進(jìn)行了研究,理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：采用優(yōu)化結(jié)果中的致動器布局位置時(shí),系統(tǒng)具有更好的綜合模態(tài)控制力,振動抑制效果也更優(yōu),所提出的評價(jià)準(zhǔn)則和優(yōu)化方法是可行的.雖然文中選擇的梁為簡單的撓性梁結(jié)構(gòu),但研究方法可以延伸到其他復(fù)雜的智能撓性板殼結(jié)構(gòu)上,從而豐富了致動器優(yōu)化布局的方法.

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Optimal placement of piezoelectric actuators using synthetic modal control force

YANG Yi-ling1,LOU Jun-qiang2,WEI Yan-ding1,FU Lei1,TIAN Geng1,ZHAO Xiao-wei1
（1.Institute of Manufacturing Engineering,Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology of Zhejiang Province,Zhejiang University,Hangzhou 310027,China；2.College of Mechanical Engineering and Mechanics,Ningbo University,Ningbo 315211,China）

This paper dealt with the optimal placement of actuators in smart flexible structures.Based on the analysis of dynamic equations and state space equations of flexible structures,the modal theory was adopted and the singular value decomposition of control matrices was employed.Then,a criterion of the maximum synthetic modal control force was proposed.The criterion involved the effect of reserved and residual modes to the modal control force.Meanwhile,modal weights were considered.Finally,a flexible beam with piezoelectric actuators／strain sensors was chosen as an example,theoretical calculations and the improved genetic algorithm were used for the optimal analysis.Thus,the optimal positions of piezoelectric actuators with maximum synthetic modal control force were found,and an experimental system was set up to verify the proposed method.The experimental results demonstrate that the system has a good synthetic modal control force and control effect by using the optimal placement result of actuators.The proposed evaluation criterion and optimal method is feasible.

smart flexible structures；synthetic modal control force；piezoelectric actuators；optimal placement

10.3785／j.issn.1008-973X.2015.05.005

TP 24；TH 113

A

1008-973X（2015）05-0841-07

2014-10-17. 浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版）網(wǎng)址：www.journals.zju.edu.cn／eng

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51375433）；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（LY13E050008）.

楊依領(lǐng)（1987－）,男,博士生,從事振動主動控制、壓電應(yīng)用等方面研究.E-mail：meyangyl＠zju.edu.cn

魏燕定,男,教授.E-mail：weiyd＠zju.edu.cn