平方數(shù)的奧秘

過家福

一、回顧

《新高考》2014.6～2014.8月的高二數(shù)學(xué)雜志上，刊登了談祥柏先生的科普文章《參透玄機(jī)，使奇異變?yōu)槠椒病?，主要是講一組數(shù)字具有的神奇規(guī)律，簡單敘述如下，

從956到958，共有13個(gè)三位數(shù)，這些數(shù)在各自平方之后，全都變成六位數(shù)，如果把它們分別截成前、后兩部分，再相加起來，其和竟然又是一連串的平方數(shù)，請看下列結(jié)果：

談先生戲稱其為三位數(shù)中的“十三太?！?，甚至他自己也在兩位數(shù)中尋找到了具有類似規(guī)律的“五虎大將”，

談先生深入淺出，利用“對偶”的新穎概念，并突破了十進(jìn)位制的限制，從而將這一規(guī)律拓展到了整個(gè)自然數(shù)系，而我，也是從記數(shù)制的角度，思有所悟，特記下心得。

二、十進(jìn)制

若自然數(shù)a，b滿足上述規(guī)律，即由a平方后拆分再相加，可得到b的平方，難點(diǎn)就在于對a進(jìn)行拆分，即談先生所說的“完全平方數(shù)的范式表示”上，我們不妨來分析一下：

已知a+b—10ⁿ-1（兩位數(shù)就是99—10²-1，三位數(shù)則是999=10²-1，以此類推），我們先一起來回顧這一規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過