海州地區(qū)小學生代數(shù)思維水平的調(diào)查研究

石保艮

[摘 要]從算術(shù)思維到代數(shù)思維的過渡，是小學生學習數(shù)學的一個重要問題。利用帶有未知數(shù)字的式子，來探究學生的思維方式，是目前研究學生算術(shù)思維和代數(shù)思維水平發(fā)展的一個重要途徑。調(diào)查分析發(fā)現(xiàn)，同一年級的學生主要處于算術(shù)思維水平；不同年級學生的思維水平存在顯著性差異；男女生的思維水平不存在顯著性差異。

[關(guān)鍵詞]海州地區(qū) 小學生 算術(shù)思維 代數(shù)思維

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）29-055

一、調(diào)查背景

從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡，是學生認知過程的一次飛躍，是學生數(shù)學學習過程中極為重要的轉(zhuǎn)變階段。2001年，我國《全日制義務教育數(shù)學課程標準》中指出，小學階段應安排豐富的代數(shù)學習素材，發(fā)展小學生的代數(shù)思維，促進小學生實現(xiàn)由算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡?！睹绹鴮W校數(shù)學教育的原則和標準》中也提到：“通常，學校數(shù)學課程要等到初中或高中才明確地包括傳統(tǒng)的代數(shù)，建議在小學就包括代數(shù)?！?/p>

在參閱文獻的過程中發(fā)現(xiàn)，“數(shù)與代數(shù)”是小學甚至是整個數(shù)學學習中最為重要的部分，而代數(shù)思維的培養(yǎng)更是貫穿于整個數(shù)學學習當中。而在小學階段，學生是處在算術(shù)思維水平還是代數(shù)思維水平，或者是從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維的階段，很值得研究與探討。因為它對于小學生主動學習代數(shù)知識以及教師教授代數(shù)方面的知識與技能有著深遠的影響，甚至直接關(guān)系到學生能否很好地從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維。成功的過渡在學生今后的數(shù)學學習中將起到至關(guān)重要的作用。

本文主要研究三個問題：（1）同一年級的學生主要處于什么思維水平？（2）對于同一問題，不同年級的學生是否存在顯著性差異？（3）對于同一問題，男、女生之間是否存在顯著性差異？通過本次調(diào)查研究，可以了解海州地區(qū)小學生當前代數(shù)思維的發(fā)展水平，從而有利于教師幫助學生完成從算術(shù)思維到代數(shù)思維的過渡，引導學生學會用代數(shù)思維來思考數(shù)學問題。通過本次研究，還可以探究小學數(shù)學教學中影響學生代數(shù)思維的因素，進而開發(fā)學生的代數(shù)思維能力，實現(xiàn)小學數(shù)學到中學數(shù)學的成功跨越。

二、研究方法

（一）問卷設(shè)計

已進行的研究使用了包含加法和減法的數(shù)式填空題。而本研究因為涉及三、四、五年級學生，所以問卷中有四個大題，即第一題加法、第二題減法、第三題乘法和第四題除法，每個大題又分出三個小題，總共12道題。

這些題目采用逐層遞進的方式進行編排，以第一題為例，最開始是含有兩個未知數(shù)字的數(shù)式填空。

問題1（a）：在空格A和空格B中填入適當?shù)臄?shù)字，使式子成立。

18+ A =20+ B

這樣的式子可以潛在的起到推動作用，促使學生進行代數(shù)思維。雖然利用計算的方法也可以得出正確答案，但是學生只有超越算術(shù)思維，才能識別出式子中的一般結(jié)構(gòu)關(guān)系，從而認識到使用代數(shù)方法來解決真實世界的問題和數(shù)學問題的優(yōu)越性。

然后是將前面的式子中的數(shù)字進行改換，并給出一個未知數(shù)字的值，求另一個未知數(shù)字的值，并要求寫出計算過程。

問題1（b）：如果用234代替18，236代替20，如果空格A中填了19，那么空格B中應該填多少？寫出計算的過程。

這個問題能夠從具體的數(shù)字例子中做出正確的數(shù)字概括，這是代數(shù)推理中的關(guān)鍵因素。

最后要求學生直接寫出兩個未知數(shù)字之間的關(guān)系。

問題1（c）：當式子成立時，空格A和空格B中所填的數(shù)字應滿足什么關(guān)系？

（二）研究樣本

樣本取自江蘇省連云港市海州地區(qū)某小學，該校學生的數(shù)學素養(yǎng)、數(shù)學思維發(fā)展水平在海州地區(qū)乃至全市范圍都具有一定的代表性。

（三）數(shù)據(jù)收集

為了確保問卷的隨機性，在2012年6月，對學校三、四、五年級部分班級共478位學生進行了問卷測試，其中男生261人，女生217人，共回收有效測試卷三年級151份，四年級157份，五年級158份，均超過發(fā)放問卷的95%。

（四）數(shù)據(jù)分析

代數(shù)思維水平：我國《全日制義務教育數(shù)學課程標準》中指出，代數(shù)思維是指建立數(shù)感和符號意識，發(fā)展運算能力，樹立模型思想。美國NCTM標準認為，代數(shù)思維是指理解變量、代數(shù)式，方程的概念；用數(shù)字、表格、圖形、文字、方程表示信息，并探究這些表征的相互關(guān)系；使用具體的、非正式的、形式化的方法求解線性方程組、不等式、非線性方程組；使用代數(shù)方法來解決真實世界的問題和數(shù)學問題。

算術(shù)思維水平：著重利用數(shù)量的計算求出答案的過程，這個過程是程序性的、含情境的、具有特殊性的、計算性的，甚而建立在直觀上。在算術(shù)思維中，運算式的功用是一種思考的記錄，是直接聯(lián)結(jié)題目與答案的橋梁。處于這個水平的學生，他們通過已知量的運算得出未知量，通過一系列的、連續(xù)的運算得出答案。

以第一大題為例，在問題1（a）中，根據(jù)學生的演算過程及答案進行整理分類，將其所作答案分成6類：2，0；10以內(nèi)其他數(shù)字；20，18；超過10的其他數(shù)字；未作答；答案錯誤。

通過事后訪談了解到，答案“2，0”是學生通過整體的觀察，發(fā)現(xiàn)等式左邊與右邊相差2得到的，答案“20，18”是學生從等式的性質(zhì)出發(fā)認為只要兩邊相等就可以了，所以就把兩個數(shù)字進行簡單交換，因此把答案“2，0”“20，18”歸為代數(shù)思維水平。在訪談中發(fā)現(xiàn)很多學生先在左邊填入一個數(shù)字，然后進行計算，得出左邊的數(shù)字，那么，把填入數(shù)字像1、3、4、5等的數(shù)字歸為答案“10以內(nèi)其他數(shù)字”，那么答案“超過10的其他數(shù)字”就很容易理解，自然是11、12、13等這些數(shù)字，把這種通過一邊計算得出另一邊的行為歸為算術(shù)思維水平；未作答與答案錯誤歸類為另外一類。

在問題1（b）中，根據(jù)學生的演算過程及答案進行整理分類，將其所作答案分成7類：兩邊比較差為2；列方程，兩邊同加減或者移項或列方程，先左后右；直接列出等式直接得出答案；左邊求和，再做差，得出17；其他；未作答；答案錯誤。

在這個問題中，同樣進行了訪談，了解到學生得到答案“兩邊比較差為2”也是通過整體地看問題而發(fā)現(xiàn)的，那么這屬于代數(shù)思維水平；而答案“列方程，兩邊同加減或者移項”和“列方程，先左后右”是解方程的一般步驟，自然是屬于代數(shù)思維水平；答案“直接列出等式直接得出答案”也體現(xiàn)整體看問題這一特點，所以也歸為代數(shù)思維水平；答案“左邊求和，再做差，得出17”“其他”體現(xiàn)為算術(shù)思維水平；“未作答”與“答案錯誤”自成一類。

在問題1（c）中，根據(jù)學生的演算過程及答案進行整理分類，將其所作答案分成6類：A與B的差為2；A與B的差等于另外兩項的差；A與B之間無明確的數(shù)量關(guān)系；其他答案；未作答；答案錯誤。

關(guān)于這個問題，延續(xù)了問題1（a）中的方法，覺得答案“A與B的差為2”“A與B的差等于另外兩項的差”都是通過左右兩邊同時看問題從而得到的結(jié)果，那么它們體現(xiàn)了代數(shù)思維水平；答案“A與B之間無明確的數(shù)量關(guān)系”“其他答案”體現(xiàn)為算術(shù)思維水平；“未作答”與“答案錯誤”自成一類。

三、調(diào)查分析和研究結(jié)果

所有學生都完成了加法與減法中的（a）、（b）這兩類問題。三、四、五年級學生無法完成全部的問題，有的只完成了加減法的問題。不過這仍然為得出結(jié)論提供了足夠的依據(jù)。雖然有的學生可以利用計算方法解答（a）部分中的問題，但是（b）、（c）問題仍然可以用來“推動”學生做出結(jié)構(gòu)性的回答。通過這樣的題目，幾乎所有學生都嘗試描述空格A和空格B中數(shù)字之間的關(guān)系。

（一）同年級學生主要所處思維水平

從表1中可以看出，在學生可以得到正確答案的前提下，算術(shù)思維所占人數(shù)以壓倒性的優(yōu)勢超過代數(shù)思維所占的人數(shù)，所以認為三、四、五年級的學生，主要是處于算術(shù)思維水平，但在這12道題目中也有例外，如回答對1（c）、2（c）、3（a）和4（a）這四道題目的學生出現(xiàn)了代數(shù)思維人數(shù)超越算術(shù)思維人數(shù)的態(tài)勢。所以，筆者針對這四道題進行了深入的研究。

通過對1（c）問題的反復推敲，認為可能是因為18和20這兩個數(shù)字比較接近，容易看出兩個數(shù)字相差2，如果換成比較長的數(shù)字也許學生就不容易發(fā)現(xiàn)它們的關(guān)系。學生屬于代數(shù)思維的答案可以歸納為兩類：（1）答案一：空格A與空格B中的數(shù)字相差2；（2）答案二：空格A與空格B中數(shù)字的差等于式子中另外兩個已知數(shù)的差。但答案一占大多數(shù)，答案二鮮有出現(xiàn)。這一現(xiàn)象可能是因為1（a）和1（b）兩個問題中的已知數(shù)都是相差2，從而誤導了學生。

因為加法跟減法運用的是一樣的思維方法，學生們的答案也是跟1（c）相同的兩類，所以在這里不對2（c）做另外的說明。

筆者對問題3（a）的反常現(xiàn)象也做了一些思考。

（1）三、四、五年級學生已經(jīng)學習因數(shù)這一概念，所以他們能看出12有1、2、3、4、6、12這幾個因數(shù)，而16有1、2、4、8、16這幾個因數(shù)，又因為生活習慣，習慣把12看做3乘以4，把16看做4乘以4，所以發(fā)現(xiàn)它們有一個相同的因數(shù)——4，為了使等式成立，就容易得出“空格A=4，空格B=3”這一答案。

（2）有些學生在熟悉等式概念的前提下，喜歡耍小聰明，發(fā)現(xiàn)直接將式子中的兩個已知數(shù)交換位置填入空格即可，所以又得到了另一種答案——“空格A=16，空格B=12”。

同樣的乘法與除法其實是一樣的，不過三、四、五年級學生還不知道這個道理，可是在問題4（a）中卻得到了與3（a）相似的數(shù)據(jù)，這足以說明學生在日常學習中也有發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學規(guī)律。

（二）代數(shù)思維在發(fā)展上的差異

根據(jù)問卷上的12道小題，對各年級學生的數(shù)學思維水平進行了分析。根據(jù)表1的分析結(jié)果，發(fā)現(xiàn)各年級學生在每道小題上的數(shù)學思維水平都表現(xiàn)出顯著性差異。

從總體上看，三年級學生代數(shù)思維人數(shù)明顯少于四、五年級，而四年級和五年級學生代數(shù)思維人數(shù)基本持平。由此可見，三年級學生的思維水平跟四、五年級學生有著本質(zhì)上的差距，而四、五年級之間差距不大。這符合事物發(fā)展的規(guī)律，也表現(xiàn)出小學生的思維方式正在從算術(shù)思維向代數(shù)思維緩慢過渡。

（三）男、女生之間代數(shù)思維水平的差異

同樣，根據(jù)學生對12道小題的作答情況，對男、女生數(shù)學思維水平差異進行了分析，得到了圖1、圖2。

根據(jù)分析結(jié)果可知，男、女生的數(shù)學思維水平無顯著性差異。選1（a）、1（b）、1（c）小題進行具體的分析比較。

在1（a）中，有六種答案，每種答案，男、女生所占比例都非常相近，進行卡方檢驗，卡方值為1.024，P值為0.599，大于顯著性水平0.05，因此男、女生在這道題的回答中不存在顯著性差異。

在1（b）中，有六種答案，同樣，每種答案，男、女生所占比例都接近于50%。通過卡方檢驗，得到卡方值為6.111，P值為0.047，小于顯著性水平0.05，由此可知，男、女生在這道題的回答中存在顯著性差異。

在1（c）中，有五種答案。通過卡方檢驗，得到卡方值為1.233，P值為0.540，大于顯著性水平0.05，由此可知，男、女生在這道題的回答中同樣不存在顯著性差異。

雖然以上三個問題中就有一個問題的數(shù)據(jù)顯示男、女生之間存在顯著性差異，但是在圖2中，可以看到在12個問題中也只有在問題1（b）、3（b）上表現(xiàn)出男、女生是有差異的，其他都是沒有差異的。綜上可知，男、女生在數(shù)學學習上不存在所謂的能力差異，這也是符合科學理論的。

四、結(jié)論

通過本次研究得到了以下三個結(jié)論：

第一，同年級學生處在算術(shù)思維水平的占大多數(shù)。不管是三年級、四年級，還是五年級，從總體上看處于算術(shù)思維的人數(shù)具有壓倒性的優(yōu)勢，這可能是因為三、四、五年級都是處于從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡的準備階段。

第二，不同年級學生在代數(shù)思維水平上具有顯著性差異，并且隨著年級的上升，表現(xiàn)出代數(shù)思維水平的學生人數(shù)在不斷上升，不過四年級與五年級是處于一個水平階段的，因為他們表現(xiàn)為代數(shù)思維水平的人數(shù)基本是持平的。

第三，男、女生在代數(shù)思維水平上不存在顯著性差異。這也許可以消除人們對男、女生學習數(shù)學的傳統(tǒng)偏見，至少在這個地區(qū)是這樣的。正如已有的研究表明，男、女生學習數(shù)學的性別差異，主要是在社會經(jīng)濟文化的影響下而產(chǎn)生的。海州地區(qū)是連云港市經(jīng)濟文化發(fā)達的中心城區(qū)，本地居民的思想觀念和生活方式都有了長足的發(fā)展，因此從這一個視角來看，數(shù)學學習性別差異的消失也是必然的。

五、存在的問題及建議

對于五年級學生，從總體上看處于算術(shù)思維的人數(shù)仍占多數(shù)，這也造成了六年級學生在簡單代數(shù)問題的解決中總體表現(xiàn)不佳，分析主要有兩個原因：第一，教材在代數(shù)學習素材上進行了整體的構(gòu)建，但是在具體內(nèi)容安排上仍存在問題；第二，教師對教材中的代數(shù)學習素材缺乏研究。建議教材在編寫過程中，在低年級學段多設(shè)滲透代數(shù)思想的內(nèi)容及相關(guān)的題目，加強小學低年級數(shù)學教師的代數(shù)知識培訓，強化代數(shù)意識。

對于小學生而言，從算術(shù)思維到代數(shù)思維的過渡并不容易。學生要順利完成從算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡，其思維必須經(jīng)歷從數(shù)字到符號、從特殊到一般、從程序到結(jié)構(gòu)的飛躍。為此，教學安排中亦應注重代數(shù)思維的符號化、一般化與結(jié)構(gòu)化三個特征。

（責編 黃春香）