關(guān)于M-矩陣最小特征值的幾個不等式

李艷艷

（文山學院 數(shù)學學院，云南 文山 663099）

關(guān)于M-矩陣最小特征值的幾個不等式

李艷艷

（文山學院 數(shù)學學院，云南 文山 663099）

首先給出了不可約M-矩陣最小特征值q（A）界的較易計算的新不等式，其次利用該不等式與柯西-施瓦茲不等式，得到了M-矩陣AC-1的最小特征值q（AC-1）的新的不等式。這些結(jié)果是對M-矩陣最小特征值界的估計的有益補充。

M-矩陣；Hadamard積；最小特征值；不等式

1　預備知識

記Cn×n（Rn×n） 表示n×n階復（實）矩陣集，N= ｛ 1， 2， …， n｝ 表示自然數(shù)集。

設(shè)A = （aij）∈Rn×n，1）若aij≥ 0，則稱A為非負矩陣（A≥ 0）；2）若aij≤ 0，i≠j，則稱A為Z矩陣；3）若A為Z矩陣， 且A-1≥ 0（A-1為A的逆矩陣），就稱A為非奇異M-矩陣。

矩陣A = （aij），B = （bij）∈Rn×n的Hadamard積為AB = （aijbij）∈Rn×n，矩陣A的r次Hadamard冪為A（r）=為正整數(shù)）。

令q（A）=min｛ Re（λ）， λ:∈σ （A）｝ ，σ （A）是Z矩陣A的特征值的集合。

M矩陣A = （aij）分裂為A = DA- CA（DA= diag（a11， a22， …， ann），稱JA= DA-1CA為A的迭代矩陣。

M矩陣C = （cij）∈Rn×n的逆矩陣C-1= （ βij）∈Rn×n≥0，分裂為C-1= EC-1- FC-1，EC-1= diag（ β11， β22， …，βnn），稱的迭代矩陣。

引理1［1］設(shè)a=（a1， a2， …， an）T≥ 0 ，b=（b1， b2， …， bn）T≥ 0 ，則有

引理2［2］設(shè)A是不可約M-矩陣，則

2　主要結(jié)果

定理1 設(shè)A是不可約M-矩陣，則

將以上兩方面應用到引理2得

定理2 設(shè)A = （aij）∈Rn×n，C = （ cij）∈Rn×n是M-矩陣，則C-1= （ βij）∈Rn×n≥0，且

證明

設(shè)U = diag （u1， u2， …， un），V = diag （v1， v2， …， vn），ui， vi＞ 0

W = UV = diag （u1v1， u2v2， …， unvn），則

3　數(shù)值算例

［1］ 杜琨.矩陣Hadamard積和Fan積的特征值的界［J］.華東師范大學學報，2008（5）：45-50.

［2］ 章偉，黃廷祝.不可約M-矩陣最小特征值的估計［J］.工程數(shù)學學報，2004（6）：31-34.

Some Inequalities on the Minimum Eigenvalue of M- matrix

LI Yanyan
（School of Mathematics， Wenshan University， Wenshan Yunnan 663099， China）

First of all， more easily calculation new inequality of irreducible M- matrix of minimum eigenvalue are given. Next the new inequalities of minimum eigenvalue of M- matrix is obtained through the inequality and cauchy-schwarz inequality. These results are benefi cial to the estimate of the M- matrix minimum eigenvalue bound.

M- matrix； Hadamard product； minimum eigenvalue； inequalities

O151.21

A

1674 - 9200（2015）06 - 0059 - 04

（責任編輯 劉常福）

2015 - 03 - 19

云南省教育廳科研基金項目“幾類對角占優(yōu)矩陣的逆矩范數(shù)界的估計”（2013Y585）；文山學院重點學科“數(shù)學”建設(shè)項目。

李艷艷，文山學院數(shù)學學院講師，碩士。