引領(lǐng)學(xué)生親歷數(shù)學(xué)意義的建構(gòu)過程

王志南

教學(xué)中常常有這樣的現(xiàn)象：某一類型的題目講了多遍，也練過多次，可是學(xué)生還是反復(fù)地出錯(cuò)。此時(shí)，大多數(shù)教師的應(yīng)對方法是精講精練，讓學(xué)生在實(shí)戰(zhàn)中積累解題經(jīng)驗(yàn)。然而，即便如此，部分學(xué)生仍不能從本質(zhì)上理解題目的內(nèi)涵，掌握解題的方法和策略。深入分析上述現(xiàn)象，學(xué)生之所以出錯(cuò)，是因?yàn)樗麄儧]有真正理解數(shù)學(xué)問題的內(nèi)涵，未能從本質(zhì)上分析數(shù)學(xué)問題。那么，教師如何引導(dǎo)學(xué)生讓知識(shí)和方法“生根”，讓“數(shù)學(xué)思維的腳印”踏得更深呢？

其實(shí)，在解決許多陌生或復(fù)雜的問題時(shí)，人們往往不急于尋找解決問題的方法和路徑，而是向后退一退，回到問題情境的初始狀態(tài)，這樣就更容易發(fā)現(xiàn)和理解問題的本質(zhì)，尋獲解決問題的突破點(diǎn)。

一、 動(dòng)手操作，親歷實(shí)踐中尋獲數(shù)學(xué)規(guī)律

在五年級上冊的期末測試中，有這樣一道題：王大爺用12米長的柵欄靠墻圍成一個(gè)長方形羊圈（如圖1），如果每條邊的長都取整米數(shù)，一共有多少種不同的圍法？所圍的長方形面積最大是多少？

從測試數(shù)據(jù)的分析來看，參加測試的所有學(xué)生中，本題得滿分的占總?cè)藬?shù)的32.1%，全錯(cuò)的占總?cè)藬?shù)的48.3%。而錯(cuò)誤的原因在于，許多學(xué)生未注意到條件中的“一面靠墻”，直接將12米當(dāng)成長方形周長，除以2后列舉長和寬。事實(shí)上，這道習(xí)題曾在課后練習(xí)和單元測試卷中都出現(xiàn)過，這樣看來，做過兩次后學(xué)生再次遇到仍未能正確地分析和解答，說明這些同學(xué)并沒有真正理解問題情境的含義，未能真正掌握解決問題的方法。

羅杰斯說：“真正能夠影響一個(gè)人的行為的知識(shí)，只能是他自己親身經(jīng)歷并加以同化的知識(shí)，凡是可以教給別人的結(jié)果性知識(shí)相對來說都用處不大?！蹦敲矗绾我I(lǐng)學(xué)生回到原點(diǎn)，從本質(zhì)上理解問題情境，進(jìn)而避免認(rèn)知上的偏差和失誤呢？筆者在展開“圍籬笆問題”的教學(xué)時(shí)，為了讓學(xué)生真正理解問題情境，設(shè)計(jì)了讓學(xué)生“用火柴棒圍長方形”的操作活動(dòng)，先讓學(xué)生用12根火柴棒圍長方形，發(fā)現(xiàn)圍長方形時(shí)要先求出長和寬的和，再依次列舉。在教學(xué)“一面靠墻圍長方形”時(shí)，再次讓學(xué)生用火柴棒擺，并引導(dǎo)學(xué)生思考和比較：①一面靠墻圍籬笆，先要確定哪條邊？為什么？②共有幾種圍法，你是怎樣有序地圍的？③比較“直接用籬笆圍長方形”和“一面靠墻圍長方形”，你覺得在解題思路上有怎樣的不同？通過操作、思考、比較和交流，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“一面靠墻圍長方形”必須先確定“需要圍兩條邊的其中一條”，從1米想起，依次列舉。如果先確定“只需要一條邊”的那條邊，另一邊就會(huì)出現(xiàn)小數(shù)，列舉起來不方便。兩題的不同之處在于，前者12米是長方形的周長，而后者12米是一條邊加另兩邊的長度和。

顯然，基于學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生對“如何圍長方形”有了更豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和更深入的理解。同時(shí)，值得一提的是，我們要避免讓操作活動(dòng)淪為“表層的動(dòng)手操作”，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在操作中展開數(shù)學(xué)思考、比較和發(fā)現(xiàn)，獲得“用籬笆圍長方形”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在活動(dòng)中感悟和體驗(yàn)，進(jìn)而尋獲深刻的、富有意義的內(nèi)在規(guī)律。

二、 構(gòu)畫草圖，數(shù)形結(jié)合中理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

畫圖作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本策略，不僅可以幫助學(xué)生理解題意，解決問題，還可以借助畫圖，回到問題情境的初始狀態(tài)，讓學(xué)生在數(shù)與形的結(jié)合中直抵?jǐn)?shù)學(xué)問題情境的“內(nèi)核”，洞察數(shù)學(xué)本質(zhì)。而在數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多教師往往習(xí)慣于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象的數(shù)學(xué)思考，而忽視畫圖這一基本策略的存在，如果這樣，也就不難理解為什么有的學(xué)生面對陌生問題情境時(shí)會(huì)束手無策了。如學(xué)習(xí)“公倍數(shù)和公因數(shù)”后，學(xué)生遇到如下的題目，內(nèi)心世界就開始糾結(jié)萬分，無從下手了。

把一張長24厘米、寬18厘米的長方形紙剪成邊長是整厘米且同樣大小的正方形紙沒有剩余。最多可以剪多少個(gè)，最少呢？

學(xué)生之所以難以找到解題的突破口，在于學(xué)生在解決“公倍數(shù)與公因數(shù)”的實(shí)際問題時(shí)，習(xí)慣于從題目中的“最大”或“最小”來確定要找的是最大公因數(shù)還是最小公倍數(shù)，而此題中，同一問題情境中既要求“最多剪多少個(gè)”，又要求“最少剪多少個(gè)”，學(xué)生就感到為難了。

與題目中抽象數(shù)量關(guān)系的理解相比，構(gòu)畫草圖有其獨(dú)特的優(yōu)越性，以“數(shù)學(xué)圖像”勾勒出“智力圖像”，讓思維不再抽象，而是具體可視。教學(xué)中，我們不妨引導(dǎo)學(xué)生放慢思維的腳步，根據(jù)題意構(gòu)畫草圖（圖2），結(jié)合草圖來思考小正方形的邊長與長方形的長、寬分別有怎樣的關(guān)系？也就是長方形長與寬的公因數(shù);進(jìn)而再來思考：最多可以剪多少個(gè)，選怎樣的公因數(shù)？ 最少剪多少個(gè)，選怎樣的公因數(shù)？

事實(shí)上，畫圖作為一種基本的數(shù)學(xué)分析方法，教師應(yīng)重視學(xué)生畫圖習(xí)慣的養(yǎng)成和內(nèi)化，要使之成為學(xué)生分析問題時(shí)自發(fā)的意識(shí)和習(xí)慣。蘇教版教材四年級下冊也特意安排了“畫圖策略”的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生用畫線段圖、平面圖等方法理解題意、解決問題。然而，學(xué)生在面對難以理解的問題時(shí)，往往沒有自覺構(gòu)畫草圖的意識(shí)，或者覺得無從畫起。顯然，這與教師的教學(xué)行為有關(guān)，學(xué)生習(xí)慣于在題目要求畫圖時(shí)才畫圖，不要求畫圖就不畫圖。因而，教師更需加強(qiáng)對學(xué)生具體的畫圖方法的指導(dǎo)和實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)用畫圖策略解決具體問題的過程中，逐漸養(yǎng)成自發(fā)的畫圖習(xí)慣和意識(shí)。

三、 尋根究源，簡約建構(gòu)中提煉數(shù)學(xué)思想

著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏說：“我們走向社會(huì)后， 能夠留在我們腦海深處的是數(shù)學(xué)的思維、數(shù)學(xué)的方法以及數(shù)學(xué)的思想?！币蚨跀?shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于結(jié)合具體內(nèi)容的教學(xué)滲透數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生更好地理解和掌握相內(nèi)容，更好地感受數(shù)學(xué)的精神和精髓，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維。而在實(shí)際教學(xué)中，教師仍習(xí)慣于就事論事，難以擺脫具體問題情境的束縛，缺乏以數(shù)學(xué)思想方法統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)的基本理念。如在教學(xué)“間隔規(guī)律”時(shí)，許多教師往往只注重“找”規(guī)律，即出示情境圖讓學(xué)生先認(rèn)識(shí)情境圖中的一一間隔現(xiàn)象（夾子與手帕、兔子與蘑菇等），并讓學(xué)生在表格中填寫相關(guān)物品的個(gè)數(shù)，探究發(fā)現(xiàn) “兩端物體相同時(shí)，兩端物體會(huì)比中間物體多1個(gè)”“兩端物體不同時(shí)，兩種物體一樣多”的規(guī)律。

顯然，這樣的探究是膚淺的。教師未能從間隔規(guī)律中挖掘其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法（一一對應(yīng)思想），導(dǎo)致教學(xué)中的“看圖說話”，規(guī)律探究未能發(fā)揮其應(yīng)有的教學(xué)價(jià)值。特級教師周衛(wèi)東在教學(xué)本課時(shí)，首先讓學(xué)生觀察兩組圖形的排列，在比較中感受并體會(huì)了什么是“一一間隔”現(xiàn)象;接著讓學(xué)生“創(chuàng)造”一個(gè)“一一間隔”的排列，并開展“站隊(duì)”游戲，讓男生女生按性別“一一間隔”站好隊(duì);游戲過后，周老師對同學(xué)們提出了更高的要求，把不同的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分類，從而體會(huì)“一一間隔”的兩種情況：一一對應(yīng)，兩種圖形一樣多;一一對應(yīng)后還多出一個(gè)。這樣，通過挖掘間隔規(guī)律中的一一對應(yīng)思想，讓學(xué)生進(jìn)行意義建構(gòu)，獲得對規(guī)律本質(zhì)的深入而透徹的理解。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想的教學(xué)內(nèi)容還有很多，如假設(shè)策略中的數(shù)學(xué)模型思想，平均數(shù)、中位數(shù)中所蘊(yùn)含的統(tǒng)計(jì)思想，正反比例關(guān)系圖像中的數(shù)形結(jié)合思想等。回到原點(diǎn)，以數(shù)學(xué)思想來統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的開展，可以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，對數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行簡約構(gòu)建，進(jìn)而獲得有利于自身全面發(fā)展的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

四、 原型再現(xiàn)，釋疑解惑中感悟數(shù)學(xué)方法

在“公因數(shù)和公倍數(shù)”的課后練習(xí)中，有這樣一道題：

小華的爸爸上5天班休息一天，媽媽上3天班休息一天。如果小華的爸爸、媽媽3月10日同時(shí)在家休息，那么下一次同時(shí)在家休息是幾月幾日？

學(xué)生在解答此題時(shí)，絕大多數(shù)學(xué)生能直接求出5和3的最小公倍數(shù)15，然后用3月10日加15天得到3月25日。顯然，學(xué)生并沒有真正理解題目的含義，而如果直接告訴學(xué)生“爸爸上5天班休息一天”就是“每6天休息一次”，學(xué)生還是會(huì)感到難以理解，即使接受教師的看法也只是“被動(dòng)地接受”，并非真正地理解其中的數(shù)理關(guān)系。

那么，怎樣讓學(xué)生真正地理解“爸爸上5天班休息一天”的含義呢？筆者啟發(fā)學(xué)生：你們知道 “爸爸上5天班休息一天”到底是什么意思嗎？可以借助什么來幫助我們理解呢？學(xué)生說這個(gè)問題和日歷有關(guān)，于是畫出3月的日歷，再在日歷上把爸爸、媽媽休息的日子分別找出來，問題就迎刃而解了。（如圖3）

教師在學(xué)生面對復(fù)雜疑難問題糾結(jié)、茫然時(shí)，不妨退一退，回到問題情境的初始狀態(tài)，這樣學(xué)生就更容易清晰地認(rèn)識(shí)問題的本來面目，獲得最為原始但又最為深刻的認(rèn)識(shí)和理解。當(dāng)然，我們不能僅僅滿足于解決問題，還應(yīng)對問題解決的過程作進(jìn)一步的思考：你現(xiàn)在理解了“爸爸上5天班休息一天” “媽媽上3天班休息一天”這兩句話了嗎？經(jīng)過的天數(shù)還可以怎樣求得呢？回到原點(diǎn)，同時(shí)在問題的思考中走向深刻，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力得以提升，對數(shù)學(xué)方法的掌握也更為牢固。

【責(zé)任編輯：陳國慶】