“圓”來(lái)如此

王有茂

摘要：用解析幾何方法系統(tǒng)研究阿波羅尼斯圓的定義和性質(zhì)，結(jié)合高考試題闡述阿波羅尼斯圓的定義和性質(zhì)在解高考試題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：阿波羅尼斯圓 定義 性質(zhì) 應(yīng)用

阿波羅尼斯圓，一直是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，很多同學(xué)卻很難應(yīng)對(duì)，實(shí)際上，它在各種版本的高中數(shù)學(xué)教材中都有體現(xiàn)，但往往被老師們和同學(xué)們忽視，那么阿波羅尼斯圓是如何定義的？到底有哪些性質(zhì)？又如何運(yùn)用呢？這里本人從解析幾何的角度，將自己的一些粗淺認(rèn)識(shí)與大家一起分享：

一、阿波羅尼斯圓的定義：

平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之比為定值（不為1）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（Apollonius）發(fā)現(xiàn)，故稱(chēng)阿波羅尼斯圓（又把它叫做圓的第二定義）.

簡(jiǎn)單證明：

設(shè)兩定點(diǎn)為、，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如圖1所示坐標(biāo)系，則，設(shè)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之比為定值，則，化簡(jiǎn)得（*）

（1）當(dāng)時(shí)，，所以（*）式表示直線（是線段的垂直平分線）.

（2）當(dāng)時(shí)，，且，所以（*）式表示一個(gè)圓，圓心為，半徑為.

直接應(yīng)用定義的高考試題很多，如：

江蘇2013年，第17題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線.設(shè)圓的半徑為1，圓心在上.

（1）（略）;（2） 若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.

北京2003年春季高考，第20題：設(shè)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離的比為定值，求點(diǎn)的軌跡。等等.

二、阿波羅尼斯圓的性質(zhì)

性質(zhì)1：阿波羅尼斯圓的圓心在直線（為定點(diǎn)）上，設(shè)分別為線段按定比分割的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)，則為該圓的直徑，直徑.（由定義證明易得，證明略）

性質(zhì)2：設(shè)是圓上的一點(diǎn)（不與重合），則是三角形的內(nèi)、外角平分線，（由平面幾何知識(shí)易得，如圖2）.

性質(zhì)3：當(dāng)變化時(shí)，過(guò)的中垂線上任意給定的一點(diǎn)，作圓的切線，切線長(zhǎng)都相等.

證明：由定義證明得圓心為，半徑為，設(shè)，則切線長(zhǎng)為為定值.

實(shí)際上，對(duì)于兩個(gè)不同的得到的兩圓，

圓（1），圓（2）

得，即為的中垂線，這說(shuō)明的中垂線為圓與圓的根軸，這樣，這一性質(zhì)也就不難理解.

反過(guò)來(lái)，對(duì)于給定的圓和一定點(diǎn)（不在圓上且不與圓心重合）以及定值，是否存在另一定點(diǎn)，使得定圓上的任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之比為呢？

設(shè)定圓O的方程為，定點(diǎn)為（不在圓O上且不與O重合），給定的比值，下面探究是否存在一點(diǎn)，使得圓上任意一點(diǎn)，都有.

假設(shè)存在，設(shè)，則，

化簡(jiǎn)得：，

由代入得：，

由對(duì)上的任意點(diǎn)上式恒成立得：

，即.

當(dāng)所給的點(diǎn)和值不滿足滿足時(shí)，不存在點(diǎn).

當(dāng)所給的點(diǎn)和值滿足時(shí)，存在點(diǎn)，此時(shí)，，

因?yàn)?，所以，?）

又，，所以（4）

由（3）、（4）可知性質(zhì)4：只要給定圓和定點(diǎn)（不在圓上且不與重合），則一定存在唯一一個(gè)定值和一個(gè)定點(diǎn)，使得對(duì)于圓上的任意一點(diǎn)都有，且，半徑是、的比例中項(xiàng)（如圖3）.若圓心不在坐標(biāo)原點(diǎn)，則可以通過(guò)平移變換得到.

如果掌握這一性質(zhì)， 2014年湖北卷（文）第17題就顯得非常簡(jiǎn)單了.

已知圓和點(diǎn)，若定點(diǎn)和常數(shù)滿足：對(duì)圓上任意一點(diǎn)，都有，則

（Ⅰ） ; （Ⅱ） .

解：半徑1是、比例中項(xiàng)，，則，又、同向，所以，再由得（或用特殊點(diǎn)到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之比）.

可以肯定，今后的高考阿波羅尼斯圓仍然是高頻熱點(diǎn)問(wèn)題，除了因?yàn)閳A是高考的重要內(nèi)容之外，還因?yàn)樗€充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化氣息，掌握它的性質(zhì)一定會(huì)對(duì)解決這類(lèi)問(wèn)題，起到事半功倍的效果.