淺談解決立體幾何中“動(dòng)態(tài)問(wèn)題”的幾種方法

葉昭蓉

摘 要：立體幾何中的“動(dòng)態(tài)問(wèn)題”主要是研究空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，當(dāng)某些點(diǎn)、線、面位置變化時(shí)，尋找變化量與不變量的關(guān)系，將高中階段所學(xué)函數(shù)、向量、解析幾何等相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

關(guān)鍵詞：動(dòng)態(tài)問(wèn)題;函數(shù)法;解析法;等價(jià)轉(zhuǎn)換法

立體幾何中的“動(dòng)態(tài)問(wèn)題”是指空間圖形中的某些點(diǎn)、線、面的位置是不確定的或可變的一類開(kāi)放性問(wèn)題。由于某些點(diǎn)、線、面位置的不確定，對(duì)學(xué)生的空間想象能力、知識(shí)的綜合能力、思維的轉(zhuǎn)化能力提出了更高的要求。因此，在教學(xué)過(guò)程中非常有必要對(duì)知識(shí)進(jìn)行活化，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化等思維過(guò)程，開(kāi)拓學(xué)生的思維;動(dòng)靜結(jié)合，化動(dòng)為靜，找到相應(yīng)的幾何關(guān)系; ?在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，用熟悉的平面幾何知識(shí)、代數(shù)方法等進(jìn)行解答。下面淺談幾種解決立體幾何中“動(dòng)態(tài)問(wèn)題”的方法。

一、函數(shù)法

由于某些點(diǎn)、線、面在動(dòng)，必然導(dǎo)致某些位置關(guān)系或一些量的變化。當(dāng)變量變化時(shí)會(huì)引發(fā)其他量的變化，從而建立函數(shù)關(guān)系，則可將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)來(lái)解。

例1.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P1，P2分別是線段AB、BD1（不包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，且線段P1P2平行于平面 A1ADD1，則四面體P1P2AB1的體積的最大值為_(kāi)_____.

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P1、P2分別是線段AB，BD1上的動(dòng)點(diǎn)，所以線段 P1P2在平面ABD1內(nèi)，又∵P1P2∥平面A1ADD1，∴P1P2∥平面AD1作P2O⊥BD于點(diǎn)O，連接OP1，則P2O⊥平面ABCD，OP1⊥AB，即OP1為三棱錐P2-P1AB1的高，設(shè)AP1=x，0

∴VP-PAB=S△ABP·OP1=··x·（1-x）≤（）2=

當(dāng)且僅當(dāng)x=1-x？圯x=時(shí)，四面體P1P2AB1的體積的最大值為。

二、解析法

利用空間直角坐標(biāo)系解決立體幾何問(wèn)題，即實(shí)現(xiàn)幾何問(wèn)題代數(shù)化。由于空間向量集代數(shù)（坐標(biāo)）運(yùn)算和幾何運(yùn)算于一體，成為溝通空間“數(shù)”和“形”的最佳載體，因此，利用空間直角坐標(biāo)系將空間圖形中的若干構(gòu)成元素坐標(biāo)化后，借助于向量進(jìn)行運(yùn)算和分析， 是解決這類問(wèn)題常用的方法。

例2.已知四面體ABCD中，DA=DB=DC=3，且DA，DB，DC兩兩互相垂直，點(diǎn)O是△ABC的中心，將△DAO繞直線DO旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線DA與直線BC所成角的余弦值的最大值是 ? .

【解析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)D及平行于BC的直線分別為y，z軸建立空間直角坐標(biāo)，則B（-，3，0），C（-，-3，0），D（0，0，），

設(shè)A（2cosθ，2sinθ，0），則=（2cosθ，2sinθ，-），=（0，-6，0），

設(shè)直線DA與直線BC所成角為α，則cosα==≤

三、等價(jià)轉(zhuǎn)換法

“動(dòng)”與“靜”是相對(duì)的，在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，要善于尋求或構(gòu)造與之相關(guān)的一些不變因素，將一些變化的點(diǎn)、線、面進(jìn)行合理轉(zhuǎn)換，以實(shí)現(xiàn)變量與不變量的有機(jī)結(jié)合。

例3.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2.若存在各棱長(zhǎng)均相等的四面體P1P2P3P4，其中P1，P2，P3，P4分別在棱AB，A1B1，C1D1，CD所在的直線上，則此長(zhǎng)方體的體積為 ? .

【解析】由正四面體相對(duì)的棱間的距離相等，即P1P2，P3P4間距離與P2P3，P1P4間距離相等，所以求長(zhǎng)方體的高問(wèn)題轉(zhuǎn)化為P2P3，P1P4間的距離問(wèn)題，∵P1P2，P3P4間距離等于AD，∴長(zhǎng)方體的高為2，∴長(zhǎng)方體的體積為4.

四、定義法

當(dāng)點(diǎn)、線、面的變化滿足某些約束條件時(shí)，往往能夠形成其變化的軌跡，若變化的軌跡符合某已知的定義，則可直接得出其軌跡。

例4.棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1在空間直角坐標(biāo)系中移動(dòng)，但保持點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上移動(dòng)，則點(diǎn)C1到原點(diǎn)O的最遠(yuǎn)距離為（ ?）

A.2?B.2?C.5 D.4

【解析】點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上移動(dòng)可看作為x軸、y軸分別繞點(diǎn)A，B移動(dòng)，

∵∠AOB=90°，∴當(dāng)正方體固定時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O的軌跡為以AB為直徑的球面，設(shè)AB的中點(diǎn)為E，則C1O最大值為C1E+1=3+1=4.

以上解決立體幾何中“動(dòng)態(tài)問(wèn)題”的幾種方法，相互間互相滲透，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)充分加強(qiáng)知識(shí)間相互聯(lián)系，讓動(dòng)態(tài)元素動(dòng)起來(lái)，在運(yùn)動(dòng)變化中探求與之相關(guān)的不變的元素及元素間相互關(guān)系。在解決具體問(wèn)題時(shí)，要善于從多角度進(jìn)行思考，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，避免產(chǎn)生數(shù)學(xué)焦慮，從而很好地達(dá)到教學(xué)相長(zhǎng)的境界。

？誗編輯 楊兆東