壽險(xiǎn)年金的最優(yōu)現(xiàn)值研究：正態(tài)分布與ARIMA模型融合

張會(huì)玉 馬岱琪 董師琪

【摘要】 日趨老齡化的人口基本國(guó)情決定了壽險(xiǎn)產(chǎn)品普遍化、多樣化的必然趨勢(shì)，研究和推出定價(jià)合理的壽險(xiǎn)產(chǎn)品具有極大的市場(chǎng)價(jià)值。本文結(jié)合1955—2014年的基準(zhǔn)利率，推算出利率滿(mǎn)足正態(tài)分布時(shí)的保險(xiǎn)年金現(xiàn)值模型，再通過(guò)R軟件分析驗(yàn)證分別得出利率在符合正態(tài)分布和ARIMA模型的條件下n年期生存年金的精算現(xiàn)值。在此基礎(chǔ)上，本文依據(jù)總預(yù)測(cè)殘差方差最小原則，分別對(duì)兩組擬合利率賦予不同的權(quán)重，從而得出最優(yōu)年金現(xiàn)值。本文的研究成果將對(duì)保險(xiǎn)公司壽險(xiǎn)產(chǎn)品的定價(jià)具有極大的參考價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】 正態(tài)分布 時(shí)間序列分析 隨機(jī)利率 年金定價(jià)

一、引言

2014年6月份新“國(guó)十條”的頒布，對(duì)我國(guó)的保險(xiǎn)改革有了明確的指導(dǎo)意義。保險(xiǎn)監(jiān)管部門(mén)將以市場(chǎng)為導(dǎo)向監(jiān)督保險(xiǎn)產(chǎn)業(yè)并且放開(kāi)了對(duì)保險(xiǎn)產(chǎn)品的價(jià)格管制，費(fèi)率市場(chǎng)化必將是大勢(shì)所趨。預(yù)定利率在壽險(xiǎn)費(fèi)率的厘定方面較預(yù)訂死亡率及預(yù)訂附加費(fèi)用率起的作用最大。預(yù)訂利率過(guò)高，收取保費(fèi)偏少，保險(xiǎn)公司將會(huì)面臨破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)；預(yù)訂利率過(guò)低，收取保費(fèi)偏多，將會(huì)降低壽險(xiǎn)產(chǎn)品的吸引力。因此，預(yù)定利率的確定無(wú)疑將對(duì)壽險(xiǎn)精算構(gòu)成極大的挑戰(zhàn)。

基準(zhǔn)利率在整個(gè)利率體系中處于關(guān)鍵地位，無(wú)疑各種利率均是圍繞其上下波動(dòng)。各金融機(jī)構(gòu)的存款利率目前可圍繞基準(zhǔn)利率上下浮10%，貸款利率可圍繞基準(zhǔn)利率上下浮20%，因此基準(zhǔn)利率可以反映市場(chǎng)利率。貨幣市場(chǎng)利率以SHIBOR作為市場(chǎng)利率的呼聲較為高昂，但是由于SHIBOR僅有七年的歷史，數(shù)據(jù)偏少而且其值變化頗不穩(wěn)定。鑒于此，我們選擇基準(zhǔn)利率作為市場(chǎng)利率的參考，本文選擇1955—2014年的基準(zhǔn)利率，展開(kāi)來(lái)研究壽險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)。鑒于n年期壽險(xiǎn)生存年金深得投保人青睞，本文選擇n年期年初付保險(xiǎn)年金作為主要研究對(duì)象，在年金純保費(fèi)的定價(jià)方面，旨為國(guó)內(nèi)外學(xué)者提供科學(xué)的研究方法。

二、文獻(xiàn)綜述

在預(yù)測(cè)波動(dòng)數(shù)據(jù)的研究方法上，國(guó)內(nèi)外學(xué)者運(yùn)用較多的是ARIMA模型、正態(tài)分布模型//指數(shù)平均模型、Monte Carlo模擬研究和復(fù)合泊松過(guò)程等。但是目前還未有學(xué)者將正態(tài)分布及ARIMA模型詳細(xì)具體地運(yùn)用到年金定價(jià)上。不同于以往學(xué)者只用一種模型預(yù)測(cè)隨機(jī)利率，本文結(jié)合正態(tài)分布及ARIMA模型分別對(duì)利率呈現(xiàn)獨(dú)立分布及非獨(dú)立分布的情況進(jìn)行理論推導(dǎo)及實(shí)證分析來(lái)研究年金定價(jià)。

在模型改進(jìn)方面，對(duì)兩種模型進(jìn)行實(shí)際分析，吳航等人（2009）對(duì)數(shù)據(jù)擬合得到2個(gè)ARIMA模型，并加權(quán)重對(duì)兩個(gè)模型進(jìn)行優(yōu)化。博迪《投資學(xué)》在資產(chǎn)定價(jià)法一章中，著重介紹了投資組合資產(chǎn)權(quán)重的確定方法。在模型優(yōu)化過(guò)程中，本文基于依據(jù)兩種模型的擬合利率的殘差及殘差間的相關(guān)性，對(duì)兩組殘差賦予不同權(quán)重，依據(jù)總預(yù)測(cè)殘差方差最小原則，得出兩組擬合利率所應(yīng)賦予的權(quán)重及最優(yōu)年金現(xiàn)值。首先對(duì)基準(zhǔn)利率進(jìn)行預(yù)測(cè)，得出1996—2014年的基準(zhǔn)利率符合正態(tài)分布。在先前論文的基礎(chǔ)上，在模型推導(dǎo)方面，結(jié)合個(gè)人的生存率，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)及微積分知識(shí)得出折現(xiàn)到購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)年份所應(yīng)繳的躉交純保費(fèi)。另外，本文克服了大部分論文純理論或者純應(yīng)用的不足，將模型理論推導(dǎo)、實(shí)證檢驗(yàn)及應(yīng)用結(jié)合。

三、正態(tài)分布模型應(yīng)用

1、數(shù)據(jù)來(lái)源

1955—2014年一年期基準(zhǔn)利率來(lái)源于中國(guó)人民銀行官網(wǎng)。當(dāng)一年內(nèi)多次調(diào)動(dòng)利率的情況下取平均值計(jì)算。選擇中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)分布表（2000～2003）中的非養(yǎng)老金男性業(yè)務(wù)表數(shù)據(jù)計(jì)算被保險(xiǎn)人確定年點(diǎn)的死亡率，生存率等。

2、正態(tài)分布模型應(yīng)用過(guò)程

（1）正態(tài)分布驗(yàn)證。正態(tài)分布模型前提條件是利率服從正態(tài)分布。因此，我們首先要檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的正態(tài)性且在保證正態(tài)性的同時(shí)盡可能多的選擇數(shù)據(jù)樣本。夏皮羅-威爾克Shapiro-Wilk檢驗(yàn)（W檢驗(yàn)）通過(guò)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)與回歸曲線(xiàn)的殘差來(lái)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布。在R語(yǔ)言中，通過(guò)調(diào)用stats包中的shapiro.test函數(shù)可以直接預(yù)測(cè)。經(jīng)過(guò)正態(tài)W檢驗(yàn)，1996—2014年的基準(zhǔn)利率服從正態(tài)分布。

（2）定價(jià)應(yīng)用。假設(shè)被保險(xiǎn)人為30歲男子，購(gòu)買(mǎi)20年期壽險(xiǎn)年金。自被保險(xiǎn)人50歲起，保險(xiǎn)人將于每年初向被保險(xiǎn)人支付保險(xiǎn)年金1000元，止于69歲年初。若被保險(xiǎn)人在20年內(nèi)死亡，保險(xiǎn)公司將停止支付，否則保險(xiǎn)公司需要支付年金直到期滿(mǎn)為止。利用隨機(jī)利率呈正態(tài)分布的特點(diǎn)計(jì)算該年金的精算現(xiàn)值，將參數(shù)帶入模型，利用R軟件計(jì)算，本文得出保險(xiǎn)年金精算現(xiàn)值E（A0）=8472.98。

四、自回歸求和滑動(dòng)平均模型（ARIMA）分析

由于國(guó)內(nèi)外書(shū)籍對(duì)ARIMA模型的理論推導(dǎo)已經(jīng)規(guī)范化，本文此處將不對(duì)該模型的理論部分做相關(guān)論述。

1、數(shù)據(jù)描述和序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)

由于樣本越多預(yù)測(cè)效果更佳，因此在ARIMA模型擬合過(guò)程中，我們利用全部數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。首先對(duì)利率進(jìn)行自然對(duì)數(shù)變換，得到LNI，并作出時(shí)間序列變化的趨勢(shì)?？梢钥闯?955—2014年的利率變化起伏較大。數(shù)據(jù)經(jīng)歷了先升后降，直到平穩(wěn)波動(dòng)變化的趨勢(shì)。對(duì)LNI進(jìn)行一階差分，一階差分后的變量表示為DLNI，對(duì)其進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。在R軟件上，我們需要加載fUnitRoots包才可以應(yīng)用該功能。adfTest（）可以直接得出ADF值及P。通過(guò)分析結(jié)果，我們?nèi)?duì)數(shù)后進(jìn)行一階差分后數(shù)據(jù)是穩(wěn)定的。我們消去了趨勢(shì)部分，剩下不規(guī)則部分。

2、模型定階及結(jié)果展示

（1）自回歸檢驗(yàn)和偏自回歸檢驗(yàn)。我們對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行自回歸檢驗(yàn)和偏自回歸檢驗(yàn)，由檢驗(yàn)結(jié)果得知自相關(guān)系數(shù)及偏自相關(guān)系數(shù)均在置信區(qū)域范圍內(nèi)。由時(shí)間序列特征我們可知自相關(guān)函數(shù)及偏自相關(guān)函數(shù)均屬于拖尾。此處我們選擇ARIMA（p，1，q）進(jìn)行分析。

（2）AIC準(zhǔn)則自助法定階。在ARIMA（p，1，q）模型參數(shù)估計(jì)中，本文選擇極大似然法估計(jì)并依據(jù)AIC值最小為原則選擇出最佳的模型。根據(jù)極大似然值最大、方差估計(jì)最小、AIC值最小原則我們選擇ARIMA（0，1，2）進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到模型如下：

△logIt=？著t+0.7659？著t-1+0.2341？著t-2It+1=elogIt+△lgIt

我們利用Ljung-Box檢驗(yàn)及QQ圖的形式來(lái)判斷擬合的優(yōu)度。Box和Pierce提出統(tǒng)計(jì)量Q=n（），并用該指標(biāo)來(lái)檢驗(yàn)殘差是否是獨(dú)立的。Ljung-Box檢驗(yàn)則是基于該變量上的檢驗(yàn)方法。P值越大，則說(shuō)明擬合效果較佳。對(duì)殘差檢驗(yàn)得出p值為0.2543。P值大于0.1，表明沒(méi)有證據(jù)證明在滯后1-20階中預(yù)測(cè)誤差是非零自相關(guān)的。為了檢查預(yù)測(cè)誤差是否是平均值為0且方差為常數(shù)的正態(tài)分布，我們利用QQ圖來(lái)檢驗(yàn)預(yù)測(cè)誤差是否為白噪聲，得到結(jié)果殘差在QQ圖直線(xiàn)附近，得出結(jié)論：預(yù)測(cè)方差為白噪聲，即我們所預(yù)測(cè)的模型是有效的。

3、定價(jià)應(yīng)用

由被保險(xiǎn)人30歲，年金發(fā)放50歲時(shí)生效且保險(xiǎn)將截止于69歲。那么，在預(yù)測(cè)保險(xiǎn)年金現(xiàn)值的過(guò)程中，我們需要對(duì)未來(lái)四十年的利率進(jìn)行預(yù)測(cè)。在R軟件上進(jìn)行程序操作，基于ARIMA（1，1，0），預(yù)測(cè)出未來(lái)40的年數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行未來(lái)值預(yù)測(cè)，計(jì)算出未來(lái)39年值如下：假設(shè)t+1年初收到保險(xiǎn)年金c元。經(jīng)過(guò)分析得知未來(lái)年金折現(xiàn)現(xiàn)值，且結(jié)合P0得出年金現(xiàn)值定價(jià)模型如下：

得出年金現(xiàn)值定價(jià)為：E（A0）=7301.56元

五、模型擴(kuò)展與優(yōu)化

基于R軟件，本文依據(jù)兩種不同算法，得到不同的保險(xiǎn)現(xiàn)值。由于前期分別對(duì)兩種模型的殘差進(jìn)行分析驗(yàn)證，得知這兩種模型都較好地?cái)M合了利率走勢(shì)，所以基于兩種算法的精算現(xiàn)值都具有合理性。

利率在兩種模型的擬合下，分別得出對(duì)于歷史數(shù)據(jù)的擬合殘差A(yù)及B。雖然兩種模型的殘差都比較小，但是為了得到更為精準(zhǔn)預(yù)測(cè)利率，我們考慮將兩組歷史數(shù)據(jù)的殘差分別賦予不同權(quán)重，從而使總的參差方差最小。當(dāng)殘差方差最小時(shí)，也就意味著預(yù)測(cè)殘差最小。預(yù)測(cè)殘差最小的模型可以保證得到最小誤差的預(yù)測(cè)利率從而進(jìn)行公平定價(jià)。

正態(tài)分布過(guò)程中，預(yù)測(cè)利率利用正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)的方式得出。我們分別設(shè)預(yù)測(cè)利率呈正態(tài)分布模型及ARIMA模型情況下的殘差數(shù)組r1，r2。對(duì)所得結(jié)果賦予不同權(quán)重w1，w2且w1+w2=1。設(shè)兩種模型下，殘差的標(biāo)準(zhǔn)差為？滓1，？滓2。為了讓模型預(yù)測(cè)最為精準(zhǔn)，我們最小化模型組合的預(yù)測(cè)方差。

六、總結(jié)及展望

本文借鑒高建偉（2006）壽險(xiǎn)年金的定價(jià)模型，以中國(guó)1955—2014年的基準(zhǔn)利率為參考，得出利率服從正態(tài)分布及ARIMA模型的情況下壽險(xiǎn)年金的現(xiàn)值。本文在年金定價(jià)過(guò)程中基于兩個(gè)模型得出不同結(jié)果。最后利用證券組合最小方差原理，賦予不同模型權(quán)重，得出較為滿(mǎn)意的結(jié)果。但是，一方面由于基礎(chǔ)面風(fēng)險(xiǎn)難于預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)利率難免存在誤差；另一方面由于本文以基準(zhǔn)利率為研究對(duì)象，但是隨著時(shí)代進(jìn)步，利率市場(chǎng)化將會(huì)更加成熟，純保費(fèi)計(jì)算中所基于的數(shù)據(jù)也會(huì)處于變化中。本文旨在提供參考的定價(jià)研究方法及模型。在現(xiàn)實(shí)生活中保險(xiǎn)定價(jià)還需要考慮更多因素，并不能單純的應(yīng)用本文的定價(jià)模型。學(xué)者共同致力于保險(xiǎn)定價(jià)的研究方案，旨在提供最為精確的壽險(xiǎn)定價(jià)。

（注：華中師范大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃A類(lèi)項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)A2014047。）

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（責(zé)任編輯：熊亞）