障礙期權(quán)定價(jià)的混合Laplace—Adomian方法探討

李曉敏

【摘要】 期權(quán)是一種重要的金融衍生工具，價(jià)格作為期權(quán)最核心的部分得到人們極大的關(guān)注。其中最著名的是布萊克與斯科爾斯在20世紀(jì)70年代提出的Black-Scholes公式，許多學(xué)者將該公式運(yùn)用于不同種類的期權(quán)計(jì)價(jià)中，并且在具體求解過程中試用了大量不同思路的數(shù)學(xué)方法。本文沿著這一思路，將雙障礙期權(quán)抽離出來(lái)，研究它價(jià)格的計(jì)算方法，具體做法為將Laplace變換與Adomiam分解方法結(jié)合，希望能得到計(jì)算更為簡(jiǎn)潔的求解模型。

【關(guān)鍵詞】 期權(quán) 布萊克-斯科爾斯公式 拉普拉斯變換 Adomian分解

一、背景介紹

1、期權(quán)定義

期權(quán)是指在特定時(shí)間內(nèi)以特定價(jià)格買賣一定數(shù)量交易品種的權(quán)利。合約買入者或持有者以支付期權(quán)費(fèi)的方式擁有權(quán)利；合約賣出者或立權(quán)者收取期權(quán)費(fèi)，在買入者希望行使權(quán)利時(shí)，必須履行義務(wù)。由于對(duì)期權(quán)的擁有者而言，它代表的是一項(xiàng)權(quán)利而不是義務(wù)，因此在金融市場(chǎng)中它是有一定價(jià)值的金融工具，而又由于期權(quán)是在它所對(duì)應(yīng)的標(biāo)的資產(chǎn)基礎(chǔ)上衍生而來(lái)的，因此它被稱作為金融衍生工具。

2、期權(quán)價(jià)值

期權(quán)的價(jià)值是研究期權(quán)問題的核心，它主要由內(nèi)涵價(jià)值和時(shí)間價(jià)值兩部分組成。內(nèi)含價(jià)值又稱履約價(jià)值，指期權(quán)本身所具有的價(jià)值，也是期權(quán)履行合約時(shí)所能獲取的利潤(rùn)。它反映了期權(quán)的敲定價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格之間的變動(dòng)關(guān)系。時(shí)間價(jià)值是指期權(quán)買方隨著時(shí)間的延續(xù)及相關(guān)商品的價(jià)格波動(dòng)可能使期權(quán)增值時(shí)，買入這一期權(quán)所付出的權(quán)利金金額。期權(quán)時(shí)間價(jià)值的變化規(guī)律為：隨著期權(quán)合約剩余有效期的縮短而減小。因?yàn)閷?duì)權(quán)力買方而言，市場(chǎng)發(fā)生有利變化的可能性越大，獲利的機(jī)會(huì)也就越多，他愿意支付的時(shí)間價(jià)值也就越高；從期權(quán)賣方而言，有效期越長(zhǎng)，他需履行義務(wù)的時(shí)間也就越長(zhǎng)，因此承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)較大，收取的時(shí)間價(jià)值也就較高。影響期權(quán)價(jià)格的因素主要有以下幾點(diǎn)。

（1）與標(biāo)的資產(chǎn)有關(guān)的因素。標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前價(jià)值。由于看漲期權(quán)規(guī)定了由固定價(jià)格購(gòu)買標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利，因此標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前價(jià)格的上升能增加看漲期權(quán)的價(jià)值；看跌期權(quán)則恰好相反。

標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的方差。到期日內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)性，對(duì)看漲看跌期權(quán)一樣，在其他因素不變的情況下，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的幅度越大，期權(quán)的價(jià)值越高。因?yàn)槠跈?quán)買方的損失最大不會(huì)超過所支付的期權(quán)費(fèi)，但卻會(huì)從標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的劇烈變化中獲取巨大收益。

標(biāo)的資產(chǎn)支付的紅利。標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金紅利會(huì)影響標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值，從而進(jìn)一步影響期權(quán)的價(jià)值。

（2）與期權(quán)合約相關(guān)的因素。期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格。期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格在期權(quán)的到期日之內(nèi)是固定的。對(duì)看漲期權(quán)而言，由于合約規(guī)定了由固定價(jià)格購(gòu)買標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利，期權(quán)的價(jià)值隨執(zhí)行價(jià)格的上升而下降。如股票以100元的價(jià)格交易，執(zhí)行價(jià)格是80元的看漲期權(quán)內(nèi)在價(jià)值為20元，而執(zhí)行價(jià)格為90元的看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為10元。

期權(quán)的到期期限。無(wú)論是看漲期權(quán)還是看跌期權(quán)，在其他因素都一定的情況下，期權(quán)的價(jià)值都會(huì)隨到期日的臨近而減小。

與金融市場(chǎng)相關(guān)的因素。主要是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的影響，利率升高會(huì)使得看漲期權(quán)的價(jià)值增加，而使看跌期權(quán)的價(jià)值減小。

3、期權(quán)計(jì)價(jià)模型

期權(quán)定價(jià)是指期權(quán)價(jià)格的確定，期權(quán)的價(jià)格為期權(quán)買方為獲得期權(quán)合約所賦予的權(quán)利而向賣方所支付的費(fèi)用。在期權(quán)的交易中，它有很重要的意義，同時(shí)也是十分復(fù)雜的。

1973年，美國(guó)的Fisher Black和Myron S.Scholes聯(lián)合發(fā)表了題為“期權(quán)和公司債務(wù)的定價(jià)”的文章，該文章被刊登在《政治經(jīng)濟(jì)學(xué)》雜志上。文中提出了Black-Scholes公式用來(lái)計(jì)算歐式看漲期權(quán)的定價(jià)問題。公式的最終表達(dá)式為：

其中，C代表期權(quán)價(jià)格，它是關(guān)于股票價(jià)格s和時(shí)間？子的函數(shù)，？滓指股票價(jià)格的波動(dòng)性，rf代表無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。

盡管B-S模型的提出具有重要的意義，但是它也并不是完美的。因此，它并沒有終止人們對(duì)期權(quán)定價(jià)領(lǐng)域的研究，而是為更進(jìn)一步的研究奠定了基礎(chǔ)。在此之后的40多年來(lái)，主要出現(xiàn)了如下重要的成果：Merton（1973）考慮了股利和隨機(jī)利率模型；Brennan（1978）闡述了跳躍過程模型；Macbeth和Merville（1980）檢驗(yàn)了B-S模型；Leland（1985）、Dokuchaev（1998）和Lionel Martellini（2000）將交易成本納入考慮之中；P.P.Boyle（1998，1999）對(duì)多變量或有衍生物進(jìn)行了求解；Vasicek（1997）、Cox Ingersoll和Ross（1985）、Ho和Lee（1986）研究了短期利率模型；Scott（1987）、Steeley（1997）、Finance和Tomas（1997）、Nandi（1999）、Zran和Forsyth（1998）、Danielsson（1998）、Duan（2001）研究了隨機(jī)波動(dòng)率問題；Chang（2001）研究了隨機(jī)利率問題；Ball和Torous（1983）、Black 和Karasinski（1991）、Jamashidian（1989）、Das（1997）、Ho和Stapleton（1997）探討了債券期權(quán)；Garman和Kohlhagen（1983）、Amin和Jarrow（1991）研究了貨幣期權(quán)；Campbell和Whaley（1992）研究了指數(shù)期權(quán)；Wall和Pringle（1989）、Hagn和Bazley（1997）、Hubner（2001）研究了利率互換問題；Rubinstein（1979，1994）對(duì)二叉樹方法進(jìn)行了系統(tǒng)闡述；P.P.Boyle （1994）對(duì)障礙期權(quán)的求解進(jìn)行了研究；P.P.Boyle（1999）對(duì)服從CEV的回望期權(quán)和障礙期權(quán)進(jìn)行了系統(tǒng)研究；J.Hull A.White（1990，1993，1994）對(duì)股票期權(quán)及利率期權(quán)進(jìn)行了大量闡述；D.Heath R.Jarrow（1990，1992）和Black（1995）也對(duì)利率期權(quán)定價(jià)問題進(jìn)行了闡述；另外，Boris（1998，2002）等對(duì)仿射期限結(jié)構(gòu)問題進(jìn)行了研究。在完全金融市場(chǎng)的環(huán)境下，期權(quán)定價(jià)方法除了B-S模型之外，還有二叉樹模型、蒙特卡羅模型及有限差分法等。

4、本文內(nèi)容

障礙期權(quán)作為眾多期權(quán)中的一種，由于其價(jià)格比普通期權(quán)要便宜得多，因此在市場(chǎng)上交易十分活躍。障礙期權(quán)的價(jià)值不僅取決于標(biāo)的資產(chǎn)到期日的價(jià)格，還取決于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格在到期日之前是否會(huì)超過合同所限定的“障礙”，這也為期權(quán)價(jià)值的確定帶來(lái)了阻礙。已有的計(jì)算障礙期權(quán)的方法往往要消耗大量的計(jì)算時(shí)間，本文試圖將Laplace變換同Adomian分解法結(jié)合，希望得出計(jì)算障礙期權(quán)價(jià)格的更有效的算法。本文的主要內(nèi)容包括：第一，介紹期權(quán)的基本含義，主要類型；第二，簡(jiǎn)單介紹Black-Scholes公式及期權(quán)定價(jià)方面的研究現(xiàn)狀；第三，重點(diǎn)將奇異期權(quán)中的雙障礙期權(quán)提出來(lái)，計(jì)算它的價(jià)格，主要思路為先將Black-Scholes公式中的偏微分方程經(jīng)過Laplace變換，再將變換后的方程用Adomian分解法進(jìn)行求解，最后再經(jīng)Laplace逆變換求出我們所要的方程解；第四，對(duì)障礙期權(quán)定價(jià)的混合Laplace-Adomian方法的優(yōu)劣進(jìn)行分析，并加以總結(jié)。

二、模型

在此部分我們以雙障礙看漲期權(quán)為例，探討混合Laplace-Adomian方法的具體步驟。

首先從Black-Scholes公式開始：

其中，C代表期權(quán)價(jià)格，它是關(guān)于股票價(jià)格s和時(shí)間？子的函數(shù)，？滓指股票價(jià)格的波動(dòng)性，rf代表無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，Cs是指期權(quán)價(jià)格C對(duì)股票價(jià)格的一階偏導(dǎo)，Css是期權(quán)價(jià)格對(duì)股票價(jià)格的二階偏導(dǎo)，C？子是期權(quán)價(jià)格對(duì)時(shí)間的一階倒數(shù)。

邊界條件和起始條件如下：

為了進(jìn)行下面的步驟，我們把經(jīng)過Laplace變換后的式（6）先放一放，先來(lái)討論Adomian分解方法在解常微分方程中的應(yīng)用。

已知待定求解方程形式為：

邊界條件為：

運(yùn)用Adomian方法得到：

圖2同樣說明：n越大，？準(zhǔn)n（x）越接近于u（x），而n=7時(shí)，？準(zhǔn)n（x）與u（x）幾乎重合。

以上兩個(gè)例子可說明，Adomian算法對(duì)于求解某些常微分方程是可行的，由n的數(shù)值較小時(shí)？準(zhǔn)n（x）便可以趨近于u（x），還說明該方法是簡(jiǎn)潔有效的。

接下來(lái)要做的工作是將經(jīng)Laplace變換后的方程（6）用Adomian方法進(jìn)行求解，將（6）式作適當(dāng)變形得到如下方程：

最終得到的是期權(quán)價(jià)值C關(guān)于股票價(jià)格s和時(shí)間？子的關(guān)系式。當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和股票價(jià)格波動(dòng)性均給定的情況下，每一組s和？子的值可得到相應(yīng)的C值。

三、數(shù)據(jù)分析

對(duì)以上提出的混合Laplace-Adomian方法，我們希望能通過具體的數(shù)字計(jì)算與已知的解析解進(jìn)行比較進(jìn)，由此來(lái)判斷該方法的可行性。我們挑選的具體數(shù)值如下：

運(yùn)用Matlab程序?qū)⑶懊嫠懻摰腖aplace-Adomian方法的過程編寫出來(lái)，結(jié)果證明n？叟4時(shí)便開始收斂，即 n？叟4后結(jié)果穩(wěn)定在10.4724。

最后，將n=4時(shí)得到的？準(zhǔn)4（x）帶回到方程，移動(dòng)項(xiàng)后得到誤差，證明誤差范圍在0.5%以內(nèi)，如圖3所示。

而按照傳統(tǒng)的算法，解出的期權(quán)價(jià)值C為5.9968。

從計(jì)算步驟的簡(jiǎn)便程度以及計(jì)算量大小方面來(lái)看，此方法的優(yōu)越性還是很明顯的。傳統(tǒng)的二叉樹、三叉樹或是有限差分法，n的值往往要取到幾百甚至幾千才能夠收斂，這大大增加了計(jì)算的時(shí)間，從而降低了效率，而Laplace-Adomian方法的收斂性是非常好的，n取值很小時(shí)便可收斂，由此提高了效率。

四、結(jié)論

本文從Black—Scholes公式出發(fā)，研究了雙障礙期權(quán)價(jià)格的求解問題。首先將Laplace變換運(yùn)用到公式中，使得方程對(duì)中期權(quán)價(jià)格對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)得以消除，大大簡(jiǎn)化了方程求解的難度；再用Adomian分解法來(lái)求出經(jīng)變換后方程的近似解，此方法相較于以往的方法也體現(xiàn)出了收斂性好、節(jié)約計(jì)算時(shí)間的優(yōu)點(diǎn)。如果所變程序經(jīng)調(diào)試后可以得到較精確的結(jié)果，則可以說明該混合方法是確實(shí)可行的。而且該方法不僅局限于計(jì)算期權(quán)定價(jià)的問題，帶雙邊界值的類似形式的偏微分方程均可用它來(lái)求解，因此應(yīng)用將是十分廣泛的。

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（責(zé)任編輯：劉冰冰）