嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣線性互補(bǔ)問(wèn)題的誤差界

李艷艷

（文山學(xué)院 數(shù)學(xué)與工程學(xué)院，云南 文山 663099）

由于期權(quán)定價(jià)問(wèn)題、最優(yōu)停步問(wèn)題等均可以轉(zhuǎn)換為線性互補(bǔ)問(wèn)題，所以線性互補(bǔ)問(wèn)題解的誤差估計(jì)，得到了許多學(xué)者的關(guān)注和研究。

線性互補(bǔ)問(wèn)題（Lcp (A，q)）的模型是指求x∈Rn，滿足

其中A是實(shí)矩陣，q是實(shí)向量。

2006年，陳小君等在文獻(xiàn)[1]中給出了當(dāng)矩陣A是主子式都為正的實(shí)矩陣（P矩陣）時(shí)線性互補(bǔ)的誤差界

本文研究目前較少被關(guān)注的嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣線性互補(bǔ)問(wèn)題的誤差界估計(jì)問(wèn)題。

1 預(yù)備知識(shí)

為了后面研究的需要，首先引入一些記號(hào)：

定義 1[7]設(shè)A=(aij)∈Rn×n，若存在α∈[0,1]，使得

＞αRi(A) + (1-α)Ci(A)成立，則稱A為嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣。

定義 2[8]設(shè)A=(aij)∈Rn×n，若 ?i，j∈N，都有aij≥ 0，則稱A為非負(fù)矩陣，記為A≥ 0。

定義3[9]設(shè)A=(aij)∈Rn×n，當(dāng)i≠j時(shí)，aij≤0，且A-1≥0，則稱A為非奇異M-矩陣。

引理 1[10]設(shè)A=(aij)∈Rn×n為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則

引理2[11]若

引理3[12]設(shè)A=(aij)∈Rn×n為嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣，則稱A是H-矩陣。

引理 4[13]設(shè)γ＞ 0，η≥ 0，則對(duì) ?x∈ [0,1]，

引理 5[14]設(shè)A=(aij)∈Rn×n滿足則對(duì)任意的xi∈[0,1]，i∈N，有

2 主要結(jié)果

這部分，首先給出嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣線性互補(bǔ)問(wèn)題的誤差界，其次利用該誤差界，通過(guò)把嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣分裂成嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣和對(duì)角矩陣，得到了嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣線性互補(bǔ)問(wèn)題的新誤差界。

B+是Z矩陣(非主對(duì)角元素非正的矩陣)，C是非負(fù)矩陣。

定理1設(shè)A=(aij)∈Rn×n是對(duì)角元素為正的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，可表示為A=B++C，其中B+=(bij)，則

結(jié)合（1）～（3）式得

下面利用定理1的結(jié)果，通過(guò)對(duì)嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣進(jìn)行分裂，得到該矩陣線性互補(bǔ)問(wèn)題的誤差界。

定理 2設(shè)A=(aij)∈Rn×n為嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣，α∈[0，1]，

證明：令A(yù)=B-F，其中B=(bij)，F(xiàn)=(fij)，且

因?yàn)锳=(aij)∈Rn×n為嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣，所以

若i∈N1，則bii=aii+α(Ri(A)-Ci(A))+(1-α)＞Ri(A)=Ri(B)

若i?N1，則bii=aii+Ri(A)+α(Ri(A)-Ci(A))＞Ri(A)=Ri(B)

則B是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，令

因此

因?yàn)槭菄?yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，由定理1知

下面證明

由引理2知

由以上證明知

定理證畢。

3 數(shù)值算例

通過(guò)該例說(shuō)明，本文估計(jì)式一定程度上提高了文獻(xiàn)[14]中的相應(yīng)結(jié)果。