計(jì)及支座柔性的雙拉桿起重臂平面外穩(wěn)定性*

王騰飛 蘭朋 陸念力

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150001)

大臂長(zhǎng)、大起重量一直是起重機(jī)的發(fā)展趨勢(shì)，為此常常通過拉桿或柔性繩索的牽引來提高臂架結(jié)構(gòu)的剛度及穩(wěn)定性，此時(shí)臂架變?yōu)橄伊夯旌辖Y(jié)構(gòu)，穩(wěn)定性分析復(fù)雜.許多學(xué)者采用微分方程法、能量法及有限元法對(duì)張弦梁、桅桿及預(yù)應(yīng)力撐柱等弦梁混合結(jié)構(gòu)做了研究［1-7］，而針對(duì)大型起重機(jī)常采用的柔性繩索牽拉下的起重臂架的相關(guān)研究較少. 拉桿的牽引力導(dǎo)致起重臂在起升平面外失穩(wěn)時(shí)同時(shí)承受軸向壓力及側(cè)向力，使之成為非保向力問題，從而大大增加了臂架穩(wěn)定性分析的難度. 起重臂多為起升平面內(nèi)交兩端鉸接、起升平面外懸臂結(jié)構(gòu)，這種形式?jīng)Q定了起重臂失穩(wěn)常先發(fā)生于起升平面外. 劉士明等［8］采用微分方程法對(duì)牽繩作用下的多節(jié)伸縮臂進(jìn)行了平面外穩(wěn)定性分析. 針對(duì)拉桿牽引下的塔機(jī)水平臂臂架，有些學(xué)者采用考慮軸力效應(yīng)的轉(zhuǎn)角位移法［9］進(jìn)行研究，文獻(xiàn)［10］則將等效彈性支座的概念引入微分方程中進(jìn)行起重臂穩(wěn)定分析，蘭朋［11］進(jìn)一步結(jié)合等效支座法采用計(jì)及二階效應(yīng)的精確有限元法對(duì)起重臂平面外穩(wěn)定性做了研究，得出了有益的結(jié)論.但這些研究中均未考慮拉桿固支點(diǎn)的側(cè)向柔性，且對(duì)于雙拉桿起重臂，也未給出失穩(wěn)特征方程的解析式.而工程實(shí)際中，拉桿常常固結(jié)在塔機(jī)塔帽或者人字架頂部，相比于起重臂，拉桿固支點(diǎn)側(cè)向支撐剛度較弱，起重臂發(fā)生平面外失穩(wěn)時(shí)，拉桿固支點(diǎn)會(huì)有一定的側(cè)向位移.為此，有必要對(duì)計(jì)及拉桿固支點(diǎn)側(cè)向柔性時(shí)起重臂的穩(wěn)定性進(jìn)行研究.

1 雙拉桿起重臂力學(xué)分析模型

雙拉桿牽引下的起重臂格構(gòu)式模型及等效后的實(shí)腹式模型如圖1 所示，記起重臂各段長(zhǎng)度為li，各拉桿長(zhǎng)度為Si，i =1，2. 其中，拉桿吊點(diǎn)及臂節(jié)鉸接點(diǎn)與起重臂形心軸的偏心對(duì)臂架穩(wěn)定性影響很小［12］，起重臂實(shí)腹式等效時(shí)直接將吊點(diǎn)及鉸接點(diǎn)移至起重臂形心軸.起重臂的平面外穩(wěn)定性為一類穩(wěn)定問題，容易驗(yàn)證起升平面內(nèi)的荷載僅影響臂架軸力及彎矩的分配，對(duì)平面外穩(wěn)定性無(wú)影響［13］. 故后續(xù)推導(dǎo)中，可將起重臂自重忽略.

圖1 雙拉桿起重臂力學(xué)分析模型Fig.1 Analysis model of the crane jib with double rods

2 雙拉桿起重臂平面外失穩(wěn)特征方程

計(jì)及固支點(diǎn)側(cè)向柔性，臂架發(fā)生平面外失穩(wěn)時(shí)，拉桿固支點(diǎn)產(chǎn)生側(cè)向位移δ0，此時(shí)起重臂平面外失穩(wěn)形態(tài)如圖2 所示. 其中，兩拉桿吊點(diǎn)側(cè)向位移為δi，非保向力拉桿拉力為Fi(i=1，2).

圖2 計(jì)及固支點(diǎn)側(cè)向柔性時(shí)起重臂失穩(wěn)形態(tài)Fig.2 Buckling mode of crane jib considering the flexibility of the rod fixed joint

分別以吊臂根部鉸接點(diǎn)及拉桿吊點(diǎn)為原點(diǎn)，以吊臂軸向?yàn)閤 軸方向，建立吊臂段坐標(biāo)系，如圖3 所示.

圖3 雙拉桿起重臂平面外穩(wěn)定性分析Fig.3 Out-of-plane stability analysis of the crane jib with double rods

記兩拉桿在x 軸方向投影為ai，為后續(xù)推導(dǎo)統(tǒng)一，記拉桿固支點(diǎn)投影距吊臂根部鉸接點(diǎn)水平距離為a0=l0，則拉桿力Fi的軸向分力Ni及側(cè)向分力Fiy為

由于拉桿產(chǎn)生的側(cè)向分力Fiy可用拉桿吊點(diǎn)及拉桿固支點(diǎn)處的側(cè)向位移線性表示，故可將其視作彈性力，采用文獻(xiàn)［10］提出的等效彈性支座法推導(dǎo).記各吊點(diǎn)處等效側(cè)向剛度為ki=Ni/ai，由式(1)可得

引入固支點(diǎn)側(cè)向剛度k0表征塔帽對(duì)拉桿的側(cè)向約束，則固支點(diǎn)受力平衡方程為

聯(lián)立方程(2)與(3)，消去固支點(diǎn)側(cè)向位移δ0，拉桿側(cè)向力Fiy由拉桿吊點(diǎn)側(cè)向位移δi線性表達(dá)如下:

設(shè)各段吊臂z 軸慣性矩為Ii，彈性模量為E，列寫變形微分方程如下:

需要注意的是0≤xi≤li，將拉桿側(cè)向力Fiy表達(dá)式(4)代入式(5)，化簡(jiǎn)后得

式中，Pi為兩吊臂段的軸力，P1=N1+N2，P2=N2.為便于實(shí)際工程應(yīng)用，引入無(wú)量綱固支點(diǎn)側(cè)向剛度系數(shù)ξ，將固支點(diǎn)側(cè)向剛度k0與吊臂段1 等長(zhǎng)的懸臂梁端部側(cè)向剛度關(guān)聯(lián)，即記 中 間 量=Pi/(EIi)，則微分方程通解為

利用邊界條件及變形協(xié)調(diào)方程可將撓曲方程中未知量Ai、Bi寫為吊點(diǎn)位移δi的線性表達(dá)式，即［AiBi］T=Ri·［δ1δ2］T，其中Ri為轉(zhuǎn)換矩陣.

引入無(wú)量綱量軸力系數(shù)εi=ωili，兩吊臂段軸力則可表示為

當(dāng)?shù)醣鄹窟吔鐥l件x1=0 時(shí)，y1=y′1=0，代入吊臂段1 撓曲方程，得到

吊臂段1 與吊臂段2 在吊點(diǎn)1 處變形協(xié)調(diào)，即x2=0，x1=l1時(shí)，y2=y1，y′2=y′1，代入吊臂段撓曲方程，得到

當(dāng)邊界條件x2=0 時(shí)，y2=δ1;當(dāng)x2=l2時(shí)，y2=δ2.從而得到關(guān)于吊點(diǎn)位移δi的線性方程組K·δ =0，其中系數(shù)矩陣K 具體表達(dá)式如下:

若起重臂面外失穩(wěn)形態(tài)存在，即拉桿吊點(diǎn)側(cè)向位移δi存在非零解，則須有系數(shù)矩陣行列式det(K)=0，故起重臂平面外失穩(wěn)特征方程det(K)=0. 記拉桿軸向分力比值=N1/N2，則失穩(wěn)特征方程化簡(jiǎn)后表達(dá)如下:

式(12)即為計(jì)及固支點(diǎn)側(cè)向柔性時(shí)雙拉桿起重臂平面外失穩(wěn)特征方程.該方程為關(guān)于軸力P1=N1+N2及P2=N2的超越方程，而特定幅度下拉桿力Fi及其軸向分力Ni是確定的，相應(yīng)中間量ωi及εi也確定，失穩(wěn)特征方程實(shí)質(zhì)上為單變量方程，所有各個(gè)變量均與吊重Q 關(guān)聯(lián). 某特定幅度下，拉桿軸向分力比值=N1/N2已知，代入方程(12)即可求得各段起重臂對(duì)應(yīng)的臨界軸力從而確定吊臂系統(tǒng)臨界吊重Qcr.為方便驗(yàn)證文中穩(wěn)定解析求解方法，取無(wú)量綱量計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μ，記各段起重臂的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)為μi，即Pi，cr=2EIi/，則有μi=/εi.

3 起重臂平面外失穩(wěn)特征方程的若干特殊狀況討論

3.1 固支點(diǎn)側(cè)向完全嵌固時(shí)

當(dāng)拉桿固支點(diǎn)側(cè)向完全嵌固時(shí)，k0→∞，即ξ→∞，穩(wěn)定判據(jù)方程(12)退化為

失穩(wěn)特征方程退化為C1=0，即

式(14)即為拉桿固支點(diǎn)側(cè)向完全嵌固時(shí)雙拉桿起重臂平面外失穩(wěn)特征方程，與文獻(xiàn)［12］所得失穩(wěn)特征方程一致.

3.2 固支點(diǎn)無(wú)側(cè)向剛度時(shí)

當(dāng)拉桿固支點(diǎn)無(wú)側(cè)向剛度時(shí)，k0=0(即ξ =0)，臂架的穩(wěn)定性分析模型如圖4 所示，臂架平面外穩(wěn)定退化為一端固支一端自由有中間壓力作用的軸壓柱穩(wěn)定.

圖4 固支點(diǎn)無(wú)側(cè)向剛度時(shí)穩(wěn)定性分析Fig.4 Stability analysis with zero lateral stiffness for the rod fixed joint

當(dāng)固支點(diǎn)無(wú)側(cè)向剛度時(shí)，拉桿側(cè)向分力Fiy=0，此時(shí)拉桿相應(yīng)的等效側(cè)向剛度ki=0.由于計(jì)及固支點(diǎn)側(cè)向柔性的失穩(wěn)特征方程(即式(12))是在側(cè)向剛度ki≠0 的基礎(chǔ)上推導(dǎo)得出，故固支點(diǎn)無(wú)側(cè)向剛度時(shí)的失穩(wěn)特征方程不能從式(12)直接退化得出.此時(shí)，起重臂微分方程退化為

引入邊界條件及變形協(xié)調(diào)后，相應(yīng)的轉(zhuǎn)換矩陣退化為

由吊臂段2 邊界條件列寫關(guān)于吊點(diǎn)側(cè)向位移δi的線性方程組，得系數(shù)矩陣為

令系數(shù)矩陣行列式det(K)=0，得到固支點(diǎn)無(wú)側(cè)向剛度時(shí)穩(wěn)定判據(jù)方程退化如下:

式(18)與文獻(xiàn)［14］結(jié)果一致.

3.3 單拉桿等截面起重臂

起重臂單拉桿牽引且等截面時(shí)，記I1=I2=I，不妨撤去拉桿1，則N1=0，ω1=ω2=ω，=N1/N2=0，P2=P.計(jì)及拉桿固支點(diǎn)側(cè)向柔性時(shí)雙拉桿起重臂平面外失穩(wěn)特征方程式退化為

式(21)即為計(jì)及固支點(diǎn)側(cè)向柔性時(shí)單拉桿起重臂面外失穩(wěn)特征方程退化形式.值得注意的是，ξ*→∞(即固支點(diǎn)側(cè)向完全嵌固)時(shí)，式(21)又可退化為不計(jì)固支點(diǎn)側(cè)向柔性時(shí)荷重通過一定點(diǎn)軸壓柱的穩(wěn)定判據(jù)方程，與文獻(xiàn)［15］結(jié)果一致.

4 固支點(diǎn)側(cè)向剛度對(duì)起重臂穩(wěn)定性的影響

取QTZ400 雙拉桿塔式起重機(jī)水平起重臂進(jìn)行分析，驗(yàn)算文中失穩(wěn)特征方程(12). 將格構(gòu)式起重臂等效為實(shí)腹式起重臂，雙拉桿起重臂結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖5 所示.

圖5 雙拉桿起重臂結(jié)構(gòu)參數(shù)Fig.5 Structure parameters of the crane jib with double rods

起重臂拉桿布置尺寸為l1=24.2 m，l2=30.0 m，l3=19.8 m，拉桿固支點(diǎn)位置尺寸為l0=1.61 m，h =8.588 m，取起重臂等截面，參數(shù)為I = 7.408 ×10－3m4.將吊重放置在拉桿2 吊點(diǎn)處，求取各段吊臂失穩(wěn)臨界軸力對(duì)應(yīng)計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μi.在ANSYS 內(nèi)建模分析驗(yàn)證文中解析求解方法，其中起重臂采用BEAM44 梁?jiǎn)卧?，拉桿采用僅受拉的LINK10 桿單元建模，固支點(diǎn)側(cè)向柔性采用COMBIN14 彈簧單元模擬.取不同拉桿固支點(diǎn)側(cè)向彈簧剛度求取μi，文中解析法結(jié)果與ANSYS 數(shù)值結(jié)果對(duì)比如表1 所示.

表1 μ1，μ2 的文中解析結(jié)果與ANSYS 結(jié)果比較Table 1 Comparison between the analytical solution and the ANSYS solution of μ1，μ2

由表1 可知，文中結(jié)果與ANSYS 結(jié)果完全相同，失穩(wěn)特征方程的正確性得到驗(yàn)證.隨著固支點(diǎn)側(cè)向剛度系數(shù)ξ 的增大，計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μi不斷減小，趨近于固支點(diǎn)完全剛性時(shí)的長(zhǎng)度系數(shù).

由于兩吊臂段軸力Pi間存在固定比例關(guān)系，兩吊臂段計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μi等效且可相互轉(zhuǎn)化，不妨取吊臂段1 失穩(wěn)臨界力探討固支點(diǎn)側(cè)向剛度對(duì)臂架穩(wěn)定性的影響.記ξ =0 時(shí)，即拉桿固支點(diǎn)無(wú)側(cè)向剛度時(shí)，吊臂段1 失穩(wěn)臨界力為Pcr0，此時(shí)吊臂在平面外退化為具有中間壓力作用的懸臂軸壓柱，由退化式(18)可得. 為顯示柔性拉桿的牽引對(duì)臂架穩(wěn)定性的影響，取固支點(diǎn)側(cè)向剛度系數(shù)ξ=0 ～100，引入失穩(wěn)臨界力比值Pcr/Pcr0，繪制失穩(wěn)臨界力比值Pcr/Pcr0與側(cè)向剛度系數(shù)ξ 的關(guān)系曲線，如圖6 所示.

圖6 失穩(wěn)臨界力比值與固支點(diǎn)側(cè)向剛度系數(shù)關(guān)系Fig.6 Relation between critical load ratio and the lateral stiffness coefficient

由圖6 可知，隨著固支點(diǎn)側(cè)向剛度系數(shù)ξ 的增大，失穩(wěn)臨界力Pcr不斷增大. ξ 較小時(shí)失穩(wěn)臨界力Pcr增長(zhǎng)較快.ξ 由0 增至20 時(shí)，起重臂的失穩(wěn)臨界力Pcr增大近2.5 倍，隨后Pcr增長(zhǎng)放緩，ξ ＞50 后失穩(wěn)臨界力此值Pcr/Pcr0趨于4. 由此可知，固支點(diǎn)側(cè)向剛度較弱時(shí)，適度提高固支點(diǎn)側(cè)向剛度可大大改善起重臂結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性.由圖6 還可以看出，文中算例即使計(jì)及固支點(diǎn)側(cè)向彈性，拉桿的牽引也將起重臂的穩(wěn)定承載能力提高了2 倍多，固支點(diǎn)側(cè)向完全剛性時(shí)，起重臂穩(wěn)定承載能力提高了3 倍. 由此可見，柔性拉桿的牽引對(duì)臂架穩(wěn)定性的改善效果明顯.

5 結(jié)語(yǔ)

文中對(duì)計(jì)及拉桿固支點(diǎn)側(cè)向柔性時(shí)雙拉桿起重臂的平面外穩(wěn)定性進(jìn)行了研究.首先，建立了計(jì)及拉桿固支點(diǎn)側(cè)向柔性的起重臂平面外穩(wěn)定性分析模型，推導(dǎo)了起重臂的平面外失穩(wěn)判據(jù)方程解析式，所得解析結(jié)果與有限元數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合.然后，給出了拉桿固支點(diǎn)側(cè)向剛度兩種極限情況下臂架失穩(wěn)特征方程的退化形式，以及撤去一根拉桿后失穩(wěn)判據(jù)方程由雙拉桿起重臂向單拉桿起重臂的退化，表明了文中失穩(wěn)特征方程的通用性.最后，研究了拉桿固支點(diǎn)側(cè)向剛度對(duì)起重臂穩(wěn)定性的影響，發(fā)現(xiàn)固支點(diǎn)側(cè)向剛度較小時(shí)，適當(dāng)增大固支點(diǎn)側(cè)向剛度可大大改善起重臂的穩(wěn)定性，固支點(diǎn)側(cè)向剛度增大到一定程度后，其對(duì)起重臂穩(wěn)定性影響趨于平穩(wěn).

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