例說利用幾何變換求線段和的最小值

張海華 潘從清

新課程改革及新中考改革，都要求學(xué)生學(xué)會自主學(xué)習(xí)，嘗試探疑，發(fā)現(xiàn)知識，尋找規(guī)律。故近年各地中考熱點(diǎn)之一是動手操作性的探索問題，即通過已知條件，結(jié)合數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過幾何圖形變換探索其內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論。利用幾何變換求線段和的最小值，就屬于此類題型。本文結(jié)合具體的例子說明如何利用幾何變換求線段和的最小值。

一、利用圖形的對稱變換

1.求兩條線段和的最小值

例1.如圖1已知AB為⊙O的直徑，AB=4，OC⊥AB于O，點(diǎn)D在弧BC上，2倍的弧BD等于弧DC，點(diǎn)P是OB上一動點(diǎn)，則PC+PD的最小值為 。

解析：由OC⊥AB于O知，延長CO交⊙O于點(diǎn)E，則點(diǎn)C、點(diǎn)E關(guān)于AB對稱，連接DE交OB于P，則PC=PE，此時PC+PD=DE最小，連接DC，則∠CDE=90°，又因?yàn)?倍的弧BD等于弧DC，所以∠E=30°，則DE=CE·cos30°=4×=，則PC+PD的最小值為。

例2.（2004年黑龍江省中考試題）如圖2，已知正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)M在DC邊上，且DM=2，N是AC上的動點(diǎn)，則DN+MN的最小值為 。

解析：注意到正方形關(guān)于對角線AC對稱性，連接BN、BM，則DN+MN=BN+MN≥BM（B、M、N共線時等號成立）。

又根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短知，當(dāng)B、M、N共線時，DN+MN轉(zhuǎn)化為線段BM，此時最短，由條件可得BM=10。

所以DN+MN的最小值為10。

2.求幾條線段和的最小值

例3.（初中數(shù)學(xué)奧林匹克競賽教程）如圖3，∠AOB=45°，角內(nèi)有一點(diǎn)P，PO=10，兩邊上各有點(diǎn)Q、R（均不同于O），則△PQR周長的最小值為 。

解析： 作P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)，根據(jù)對稱性質(zhì)可知

PQ=P1Q，PR=P2R。

即求P1Q+QR+ P2R的最小值，由兩點(diǎn)間直線距離最短，可知當(dāng)Q、R分別為P1 P2與OA、OB的交點(diǎn)時，P1Q+QR+ P2R值最小。

∵∠P1OA=∠POA，∠POB=∠P2OB，

∴∠P1O P2=90°。

又P1O= PO=P2O=10，

∴P1P2=，即為所求。

二、利用圖形旋轉(zhuǎn)變換

例4.如圖，D是邊長為7的等邊三角形ABC外一點(diǎn)，且DA長為8，連接DB、DC，求線段DB+DC的最小值。

解析： 將線段DB繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°（向形外），到DE，連接BE、EC，則△BDE是等邊三角形，從而推出△BAD≌△BCE，AD=CE。

又∵BD+DC=DE+DC≥CE，

∴當(dāng)且僅當(dāng)E、D、C三點(diǎn)在同一直線上時，取等號。

即當(dāng)∠BDC =120°時，BD+DC的和最小 ，最小值為8。

三、利用圖形平移變換

例5.（初中奧林匹克競賽教程）張村和李莊在河的兩側(cè)，到河兩岸的距離分別為6千米和2千米，河寬2千米，兩村的水平距離為6千米，現(xiàn)欲在河上修一座橋，使自張村過橋到達(dá)李莊的距離最短（假設(shè)河的兩岸平行，且橋要垂直于河岸修建），請?jiān)趫D5上標(biāo)出橋址，并求出此最短距離。

解析：如圖5所示，作線段AA1⊥L1且AA1=2，連接A1B，交L2于點(diǎn)C，過C 作CD⊥L1于點(diǎn)D，則CD即為所求橋址，連接AD，則有AD+DC+CB= AA1+A1B，構(gòu)造Rt△A1PB，則

A1P=6+2=8，PB=6。

∴A1B=10。

∴最短距離為AA1+ A1B=10+2=12（千米）。

綜上所述，求線段和的最小值問題通常需要通過圖形的對稱、旋轉(zhuǎn)、平移等幾何變換，轉(zhuǎn)化為求某一線段的長度的問題，使相對復(fù)雜、困難的問題簡單化，充分體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)解題思想。

解決這類問題，我們可以通過微課設(shè)計(jì)課堂，還學(xué)生自由探究的時空，沒有過多的師生對話，也沒有過多的鋪墊，多的是師生之間、生生之間有效的雙邊互動，讓每個學(xué)生都有展示自己的機(jī)會。教師通過適時點(diǎn)撥、調(diào)節(jié)、激發(fā)學(xué)生思維的火花，營造相互質(zhì)疑、爭執(zhí)的良好氛圍，使學(xué)生在互動中探究解決問題，落實(shí)知識點(diǎn)。

教師不急于用自己的思考來干擾學(xué)生的思考，而是作為一名導(dǎo)演，和學(xué)生一起交流、探究，并抓住契機(jī)適時地加以點(diǎn)撥、引導(dǎo)。教師還可以根據(jù)學(xué)生的板演、練習(xí)的反饋信息，抓住關(guān)鍵，點(diǎn)撥存在的問題，應(yīng)當(dāng)注意的問題，并教給學(xué)生分析問題、解決問題的方法。

在學(xué)生依靠自己的力量無法解決問題時，教師組織、引導(dǎo)學(xué)生小組或同桌討論，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動作用，給學(xué)生充分的時間合作嘗試解決。學(xué)生在積極思考和探索中，親身體驗(yàn)成功的快樂，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的愿望和熱情。

總之，我們在平時的教學(xué)實(shí)踐中，敢于創(chuàng)新，大膽探索，善于總結(jié)，就能有效地解決求線段和的最小值問題，有效地提高教學(xué)質(zhì)量。