多線性分?jǐn)?shù)次積分算子的交換子在Herz型空間上的有界性

耿朋勃，周 疆

（新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊830046）

多線性分?jǐn)?shù)次積分算子的交換子在Herz型空間上的有界性

耿朋勃，周 疆

（新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊830046）

利用Minkowski不等式、H觟lder不等式及一些泛函分析技巧，證明了由分?jǐn)?shù)次積分算子Il和Lipschitz函數(shù)生成的多線性交換子[b，Il]在Herz空間與Morrey-Herz空間上的有界性.

分?jǐn)?shù)次積分算子；多線性交換子；Lipschitz函數(shù)；Herz空間；Morrey-Herz空間

1 引言與主要結(jié)論

很多數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中都涉及關(guān)于Poisson方程Δu=f解的正則性的研究，其中標(biāo)準(zhǔn)的分?jǐn)?shù)次積分算子Il（又稱Riesz位勢(shì)算子）定義為

分?jǐn)?shù)次積分算子Il是調(diào)和分析理論中重要的奇異積分算子之一，基于其深刻的數(shù)學(xué)物理方程背景，標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)次積分算子Il的理論研究被眾多學(xué)者關(guān)注，并取得了顯著的成果[1-4].Sobolev證明了Il是（p，q）型的，而Zygmund則給出了其弱（ ）型估計(jì)[5].

算子的有界性和函數(shù)空間的刻畫是調(diào)和分析的2方面重要內(nèi)容，交換子可以對(duì)函數(shù)空間進(jìn)行刻畫，因此，研究交換子也是非常有意義的.定義由函數(shù)b和算子Il生成的交換子：

Janson[6]證明了交換子[b，Il]是（p，q）型的（1＜p＜q＜∞），當(dāng)且僅當(dāng)b∈Lipβ（Rn）（β=n（1/p-1/q））.其中，Lipschitz空間Lipβ（Rn）（0＜β≤1）是指所有滿足

的函數(shù)構(gòu)成的空間.

Morrey空間和Herz空間都是Lebesgue空間的推廣，Il及其交換子在這2個(gè)空間上的研究也取得了很多成果.Peetre[7]和Adams[8]研究了Il在Morrey空間上的有界性，陸善鎮(zhèn)等[9]則研究了Il在Herz空間上的有界性.對(duì)于Morrey空間中分?jǐn)?shù)次積分算子的交換子，Shirai[10]證明了[b，Il]是從Mλp（Rn）到Mμq（Rn）上的有界算子.

下面介紹齊次Herz空間和齊次Morrey-Herz空間的定義.設(shè)Bk={x∈Rn：，Ak=BkBk-1，χk=χAk，k∈Z，其中χE是集合E的特征函數(shù).

定義1 設(shè)α∈R，0＜p、q＜∞，齊次Herz空間K觶α，pq（Rn）定義為

其中

定義2 設(shè)α∈R，0＜p、q＜∞，λ≥0，齊次Morrey-Herz空間定義為

其中

本研究討論分?jǐn)?shù)次積分算子的多線性交換子.設(shè)b=（b1，…，bm），定義由b與Il生成的多線性交換子為

1＜q1＜n/l，1/q2=1/q1-（l+β）/n，0＜p1≤p2＜∞，-n/ q2＜α＜n（1-1/q1），則存在常數(shù)C＞0，使得

2 定理的證明

定理1的證明 如果p1＜p2，則從而只需證明p=p=p的情形.12

利用Minkowski不等式可得

首先對(duì)I2進(jìn)行估計(jì)，由于顯然[b，Il]從Lq1（Rn）到Lq2（Rn）是有界的（1/q2=1/q1-（l+β）/n），所以有

對(duì)于I1，注意到：當(dāng)x∈Ak，j≤k-2以及y∈Aj時(shí)，有利用H觟lder不等式及Lipβ（Rn）的性質(zhì)，可得

由以上估計(jì)可得

當(dāng)0＜p≤1時(shí)，根據(jù)已知條件α＜n（1-1/q1）可得

當(dāng)1＜p＜∞時(shí)，根據(jù)已知條件α＜n（1-1/q1）可得

現(xiàn)在估計(jì)I3，當(dāng)x∈Ak，j≥k+2以及y∈Aj時(shí)，有使用類似于I1的估計(jì)方法，應(yīng)用H觟lder不等式可得

從而

類似于前面的方法，由條件α＞-n/q2，有

綜合I1、I2和I3的估計(jì)得

定理1證畢.

定理2的證明 類似于定理1的證明，同樣只需證明p1=p2=p的情形.為簡(jiǎn)便，下文中取‖bi‖Lipβi(Rn)= 1，1≤i≤m.

首先估計(jì)II2，根據(jù)[b，Il]從Lq1（Rn）到Lq2（Rn）有界，可得

對(duì)于II1，注意到：當(dāng)x∈Ak，j≤k-2以及y∈Aj時(shí)，有.類似于I1的估計(jì)，并且由

可得

對(duì)于II3，根據(jù)α＞-n/q2+λ，類似于I3的估計(jì)，對(duì)0＜p≤1，1＜p＜∞分別討論，可得

再由條件α＜n（1-1/q1）+λ，可得

綜上可得

定理2證畢.

[1]DUONG X T，YAN L X.On commutators of fractional integrals[J].Proc Amer Math Soc，2004，132（10）：3549-3557.

[2] STEIN E M，WEISS G.Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces[M].Princeton：Princeton University Press，1971.

[3]薛麗梅，郭景芳，侯常興.一類多線性奇異積分算子的端點(diǎn)估計(jì)[J].河北師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，35（1）：13-16.

[4] GRAFAKOS L.On multilinear fractional integrals[J].Studia Math，1992，102（1）：49-56.

[5] STEIN E M.Singular integrals and differentiability properties of functions[M].Princeton：Princeton University Press，1970.

[6] JANSON S.Mean oscillation and commutators of singular integral operators[J].Ark Math，1978，16（2）：263-270.

[7] PEETRE J.On the theory of Lp，λspaces[J].J Funct Anal，1969，4（1）：71-87.

[8]ADAMS D R.A note onRieszpotentials[J].DukeMathJ，1975，42（4）：765-778.

[9] LU S Z，YANG D C.Hardy-Littlewood-Sobolev theorems of fractional integration on Herz-type spaces and its applications[J].Can J Math，1996，48（2）：363-380.

[10]SHIRAI S.Necessary and sufficient conditions for boundedness of commutators of fractional integral operators on classical Morrey spaces[J]. Kokkaido Math J，2006，35（3）：683-696.

（責(zé)任編校 馬新光）

Boundedness of multilinear commutators of fractional integral operators on Herz-type spaces

GENG Pengbo，ZHOU Jiang
（College of Mathematics and System Sciences，Xinjiang University，Urumqi 830046，China）

The boundedness of the multilinear commutators[b，Il]generated by the fractional integral operators Iland Lipschitz function on Herz spaces and Morrey-Herz spaces are proved by using the Minkowski inequality，the H觟lder inequality and some method of functional analysis.

fractional integral operator；multilinear commutator；Lipschitz function；Herz space；Morrey-Herz space

1671-1114（2015）04-0012-04

O174.2

A

2014-12-06

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11261055）.

耿朋勃（1990—），男，碩士研究生.

周 疆（1968—），男，副教授，主要從事調(diào)和分析方面的研究.