感知·理解·升華
——小學數(shù)學概念教學策略的實踐與思考

浙江杭州市金都天長小學（310008） 鄭 建

小學數(shù)學中包含著大量的數(shù)學概念，它們是構成數(shù)學知識的基礎，是數(shù)學思想與方法的載體。數(shù)學概念的學習毫無疑問是小學數(shù)學學習中的重中之重。下面筆者結合實際教學，談談如何在概念教學中引領學生經(jīng)歷“感知、理解、升華”三個階段，從而深化對概念的理解與應用。

一、感知——經(jīng)歷概念的發(fā)生

根據(jù)奧蘇泊爾“有意義學習”理論的研究，小學生主要是通過“概念形成”和“概念同化”兩種認知方式來學習和掌握數(shù)學概念的。而不論小學生采用哪種認知方式，都是建立在已有知識經(jīng)驗的基礎之上的，他們總是從已有認知的角度出發(fā)去認識和理解新的概念。從這個角度講，學生已有的生活、知識、經(jīng)驗越豐富，他們掌握數(shù)學概念就越容易。

1．提供素材，豐富直觀感性認知

概念的形成過程，對小學生來說是一種發(fā)展的過程。由于受年齡和認知水平的限制，他們還不具備從具體實例中抽象概括出事物本質(zhì)特性的能力。因而在概念教學中，我們有必要為學生提供大量的學習素材，讓學生在充分感知事物的基礎上形成事物的表象，為學習理解新知奠定基礎。如在三角形、平行四邊形和梯形等平面圖形的學習中，就應引導學生深入觀察物體的不同形狀，讓學生在頭腦中建立起相應的表象，并利用這些表象去更好地理解和掌握圖形的特征。

2．巧設情境，經(jīng)歷概念發(fā)生過程

概念引入的關鍵是建立感性經(jīng)驗與抽象概念之間的關系，建立這種關系是概念學習的起點。因此在概念的引入教學中，教師需要思考的是創(chuàng)設怎樣的情境，呈現(xiàn)怎樣的學習材料，讓學生經(jīng)歷怎樣的概念發(fā)生過程。以“方程的認識”為例，一般教師都是從天平的平衡與不平衡引出等式與不等式。學生根據(jù)教師的引導，再對這些式子進行分類，從分類中得出方程的意義。這樣的設計倒也簡潔，但還是停留在抽象的數(shù)學符號（式子）上。概念的學習應當包括理解概念的實際意義和形式（符號）意義，從這樣的角度出發(fā)會發(fā)現(xiàn)，有無具體的問題情境對概念的學習影響至深。下面的教學片段值得借鑒。

師（出示商品圖）：請看圖（圖1），如果要買若干個機器人模型，需要的錢與20元錢比較可能會出現(xiàn)哪些情況？

圖1

生：2×8+4=20；2×6＜20；2x+8=20;3y+6＞20……

師：你能把這些式子于分類嗎？

生：可以按是否含有未知數(shù)來分。

師：在含有未知數(shù)的式子中還可以分成兩類嗎？

（學生仔細觀察后進行二次分類，得出方程的意義）

從上面的教學過程中，我們可以看到，問題情境有利于學生理解概念的實際意義。學生經(jīng)歷的這個過程，本質(zhì)上就是方程概念形成的原始過程，是方程新定義的發(fā)生過程。

二、理解——經(jīng)歷概念的形成

概念探究是學生理解概念的中心環(huán)節(jié)，學生形成概念的關鍵是主動發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)屬性或規(guī)律，即經(jīng)歷概念的形成過程。

1．在“具體”與“抽象”的轉(zhuǎn)化中掌握概念的本質(zhì)屬性

在教學中，對于一些相對抽象的內(nèi)容，要盡可能地利用恰當?shù)难菔净虿僮魇蛊滢D(zhuǎn)化為具體內(nèi)容，然后在此基礎上抽象出概念的本質(zhì)屬性。例如，“圓周率”這一概念非常抽象，上課時可先讓每個學生經(jīng)歷以下學習活動：寫出圓的直徑；用適合的方法測量圓的周長（如用細繩圍圓周長后測量繩長）；計算周長與直徑的比值。然后讓學生將結果整理成表格：

學生 圓直徑（厘米）A 2 B 3圓的周長（厘米） 周長是直徑的幾倍6.2 3.1 9.6 3.2 C 412.6 3.15 15.7 3.14……D 5

接著引導學生發(fā)現(xiàn)：不管圓的大小如何，它的周長總是直徑的3倍多一點。這時教師再揭示：這個倍數(shù)是個固定的數(shù)，數(shù)學上叫作圓周率。認識圓周率后，再讓學生畫一個圓，量出直徑和周長加以驗證。這樣，引導學生分析大量的感性材料，然后拋棄事物的非本質(zhì)屬性（如圓的大小、測量時用的單位等），抓住事物的本質(zhì)特征（圓的周長總是直徑的3倍多一點），加以概括，形成概念。

2．在“靜”與“動”的轉(zhuǎn)換中加深概念間的橫向理解

有些概念具有關聯(lián)性，反映了對象之間的不同關系。如垂直、平行等，都反映了兩個對象的相互關系——具有關聯(lián)性、對稱性。這些概念，從靜態(tài)的角度看是一種結構關系，用變化的觀點看則是運動過程中的某種特殊狀態(tài)。以“垂直與平行”的學習為例，學生可以采用靜態(tài)觀察與動態(tài)轉(zhuǎn)換相結合來加深對這兩個概念的橫向理解。

首先，在分類中靜態(tài)觀察。教師在明確平面的特征后拋出任務：把一張紙看作一個平面，在上面任意畫兩條直線，引導學生對同一平面內(nèi)兩直線的不同位置關系進行靜態(tài)觀察與分類。

然后，創(chuàng)設兩個活動，引導學生在直線的動態(tài)變換中理解平行與垂直這兩個概念。（1）平移小棒的活動。將小棒與直線a重合，再平移這根小棒，說說小棒與直線的位置關系；最后改變直線a的位置，在頭腦中想象平移小棒的過程，說說結果會怎樣。（2）觀察一根小棒以交點為中心動態(tài)旋轉(zhuǎn)后與原直線相交角度的變化。這兩個活動使學生在動態(tài)的轉(zhuǎn)換中深刻感悟到直線的運動方式（平移和旋轉(zhuǎn)）和最后的運動結果（平行和垂直）之間的因果關系，使概念知識體系中的前后縱向構建更為有力；同時借助“旋轉(zhuǎn)”的動態(tài)變換來讓學生深刻體會“互相垂直”是“相交”位置關系中特殊的一類，加強概念之間的橫向溝通。

最后，上升到數(shù)學化的靜態(tài)。以師生共同整理集合圖的活動來進一步明確“在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關系”之間的概念關系，并以數(shù)學化的集合圖來靜態(tài)呈現(xiàn)。此時的集合圖已經(jīng)經(jīng)歷了直線動態(tài)變化的過程，學生的理解遠比直接呈現(xiàn)來得深刻。

3．在“數(shù)”與“形”的結合中突出對數(shù)概念的理解

如何讓學生更好地把握數(shù)的結構，數(shù)形結合教學是不錯的途徑。以“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”的教學為例，教學中教師引導學生列出數(shù)的乘積式和相應的矩陣。

數(shù) 乘積式 矩陣2 1×2 ··3 1×3 ···1×4 ····2×2 ····5 1×5 ·····4 6 1×6 ······2×3 ·········7 1×7 ·············

通過觀察乘積式可以發(fā)現(xiàn)：任何大于1的整數(shù)都可以表示成乘積式，許多數(shù)可以寫出兩個以上的乘積式。此時再根據(jù)因數(shù)個數(shù)或數(shù)的幾何式進行分類，最后引出質(zhì)數(shù)、合數(shù)概念就水到渠成了。

4．在“同”與“異”的對比中凸顯概念本質(zhì)

對同類概念作對比，可概括共同屬性；對具有從屬關系的概念作類比，可突出被定義概念的特有屬性；對容易混淆的概念作對比，可澄清模糊認識，減少直觀理解的錯誤。例如，教學“統(tǒng)計量的認識”時，可以在“同”與“異”的對比中凸顯概念的本質(zhì)。下面是相關教學片段。

教師出示四（2）班第一小組同學一次性踢毽子的個數(shù)情況：19、20、21、21、21、24。問：用什么數(shù)可以較好地反映這組同學踢毽子的整體水平？

生1：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都行。

師：如果將24變成54，中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)有什么變化？

生2：中位數(shù)、眾數(shù)沒有發(fā)生變化，但是平均數(shù)變大了。

師：用什么統(tǒng)計量來表示比較好?

生3：用中位數(shù)或者眾數(shù)來表示比較好。

……

師生達成共識：每個數(shù)據(jù)的變化都會影響到平均數(shù)。

在對比中，學生充分體會到當出現(xiàn)極端值時，可以運用其他統(tǒng)計量幫助分析，如中位數(shù)，因為中位數(shù)比較穩(wěn)定。通過對比，學生比較深入地認識了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)之間的本質(zhì)差異。

5．在“是”與“非”的例證辨析中明晰概念本質(zhì)

所謂例證是指能反映一類數(shù)學對象本質(zhì)屬性的具體事物。一切包含有概念的共同關鍵特征的事物叫作概念的肯定例證（即正例），反之就是概念的否定例證（即反例）。在揭示概念定義后，為進一步突出概念的本質(zhì)特征，可利用概念的正例或反例幫助我們厘清概念的外延。例如，在學生初步建立“由三條線段圍成的圖形叫三角形”的概念后，讓學生運用三角形概念對圖示進行判斷：

學生通過判斷加深了對三角形概念中的關鍵詞“線段”“圍成”的理解，更精確地掌握了三角形的概念。

三、升華——經(jīng)歷概念的運用

在經(jīng)歷了概念的發(fā)生和形成后，還要讓學生對概念有更深刻的體驗和理解，使學生能夠?qū)W到的數(shù)學概念融入到問題解決中，這樣才能夠讓這些數(shù)學概念在課堂上變得生動活潑起來。

1.在情境變換中運用新概念解決問題

通過變換情境，增加非本質(zhì)干擾因素，有利于學生在運用新概念解決問題的過程中把握概念本質(zhì)。例如，教學“平均數(shù)”時，除了讓學生知道平均數(shù)的算法和初步了解平均數(shù)可以用來代表一組數(shù)據(jù)的平均水平外，還可以通過變換情境的練習，讓學生深刻理解平均數(shù)的統(tǒng)計意義。如：

A.小明所在班級學生的平均身高是140厘米，小強所在班級學生的平均身高是137厘米，可以說小明一定比小強高嗎？為什么？

B.一條小河平均水深1.2米，小強身高1.55米，他不會游泳，但下河玩?？隙ò踩?。對嗎？

2.在逆向問題解決中深化對概念的理解

瑞士心理學家皮亞杰認為，思維的可逆性是兒童數(shù)學概念形成的基礎，也是智力高的重要標志。凡是數(shù)學能力強的孩子，在一個方向上形成了聯(lián)系，就意味著在相反方向上建立了聯(lián)系，因此他們能夠迅速地辨認或理解逆向問題。因此在概念運用中，要重視逆向問題的解決。例如，學習乘法后，學生知道了相同數(shù)連加可以寫成乘法的形式，那么可以寫一個乘法算式，讓學生寫出相應的加法式子或用圖示來表示，這樣學生才算是正真理解了乘法的意義。

3.在綜合練習中尋求對概念理解的升華

能運用基本概念解決一些綜合性強的題，無疑是學習能力強的表現(xiàn)。如一道關于“平均數(shù)”的題：商場服裝店前3天平均每天售出衣服86件，第4天售出的衣服比4天平均售出的衣服少9件。求第4天售出衣服（ ）件。

首先，通過練習要讓學生明白求平均數(shù)的方法本質(zhì)上就是“移多補少”，明確超過平均數(shù)部分之和等于未到平均數(shù)部分之和。

其次，引導學生通過圖示分析理解“9件”對應的就是前3天平均每天多于4天平均件數(shù)的數(shù)量之和（如圖2），從而得出第 4 天的件數(shù)：83－9=74（件）。

圖2

如此，從平均數(shù)的意義出發(fā)分析解決問題，學生對平均數(shù)的理解也就更為深刻了。

值得注意的是，概念變式的運用應服務于概念理解，并要掌握好時機，只有在概念理解的深化階段運用概念變式才能收到理想的效果。否則，學生不僅不能理解變式的目的，變式的復雜性反而還會干擾學生對概念的理解，甚至產(chǎn)生混亂。

綜上所述，我們在概念教學中，首先要選擇適當?shù)乃夭?，設計恰當?shù)膯栴}情境，使學生在經(jīng)歷概念發(fā)生、形成的過程中，認識概念的不同特征；然后通過概念的運用訓練，使學生掌握根據(jù)具體問題的需要改變認識角度、反映概念不同特征的方法，進而深化對概念的理解，有效地應用概念去解決問題。