獨(dú)立情形下自正則和的精確漸近性

付宗魁，吳群英

（桂林理工大學(xué)理學(xué)院，廣西桂林541004）

獨(dú)立情形下自正則和的精確漸近性

付宗魁，吳群英

（桂林理工大學(xué)理學(xué)院，廣西桂林541004）

研究均值為零非退化的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列正則和收斂性，在適當(dāng)條件下，獲得了自正則和精確漸近性的一般結(jié)果.

獨(dú)立同分布；自正則和；精確漸近性

1　引言及主要結(jié)果

隨機(jī)變量序列的精確漸近性的研究是概率極限理論研究中的一個(gè)熱門(mén)話(huà)題.近年來(lái)，得到了許多研究成果，文獻(xiàn)［1-2］得到了獨(dú)立情形下一階矩收斂的精確漸近性；文獻(xiàn)［3］得到了NA序列矩收斂的漸近性質(zhì).自正則極限理論的提出豐富了精確漸近性的理論研究，得到了一些自正則和的精確漸近性結(jié)果，文獻(xiàn)［4］得到了自正則和矩收斂的精確漸近性.下面先介紹穩(wěn)定吸引域的概念.

定義1.1稱(chēng)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列｛X，Xn，n≥1｝是屬于穩(wěn)定吸引域，如果存在An＞0和Bn∈R，使得

其中g(shù)（x）≥0為慢變化函數(shù)，ci（x）≥0，ci（x）→ci，x→∞，i=1，2，c1+c2＞0.

最近，文獻(xiàn)［5］得到了獨(dú)立同分布序列自正則和的一類(lèi)完全矩收斂，即

本文在此基礎(chǔ)上，研究了獨(dú)立同分布情形下自正則和精確漸近性的一般結(jié)果.

在整篇文章中，

C在不同的位置表示不同的常數(shù).下面先給出文中的一些假設(shè)條件.

定理1.2設(shè)｛X，Xn，n≥1｝是均值為0非退化的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且X屬于正態(tài)吸引域，如果滿(mǎn)足假設(shè)條件（i）、（ii）、（iii）和（v），則有

定理1.3設(shè)｛X，Xn，n≥1｝是均值為0非退化的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且X屬于正態(tài)吸引域，如果滿(mǎn)足假設(shè)條件（i）、（ii）、（iv）和（vi），則有

注1.1如果0＜σ2=EX2＜∞，由強(qiáng)大數(shù)定律知a.s.則以代替Vn，定理1.2和定理1.3仍成立.

注1.2滿(mǎn)足假設(shè)條件中的g（x）有很多，比如g（x）=xα，（logx）β，（loglogx）γ.其中α＞0，β＞0，γ＞0為適當(dāng)?shù)膮?shù).

2　引理

引理2.1［6］設(shè)｛X，Xn，n≥1｝是均值為0的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且X屬于正態(tài)吸引域，則有

其中，Φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量分布函數(shù).

引理2.2［7］設(shè)｛X，Xn，n≥1｝是均值為0的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且X屬于正態(tài)吸引域，如果滿(mǎn)足假設(shè)條件（i）、（ii）和（v），則有

引理2.3［8］設(shè)｛X，Xn，n≥1｝是均值為0的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且X屬于正態(tài)吸引域，則對(duì)于任意的存在0＜δ＜1，x0＞1，N0，使得當(dāng)n≥N0和時(shí)，有

引理2.4［1］設(shè)｛ani，1≤i≤n，n≥1｝為實(shí)數(shù)陣列，｛Xi，i≥1｝為實(shí)數(shù)序列且滿(mǎn)足條件：對(duì)任意的i≥1，ani→0，n→∞.對(duì)任意的

3　定理1.2的證明

性質(zhì)3.1在定理1.2的條件下，有

證明參見(jiàn)文獻(xiàn)［9］的性質(zhì)4.1.

性質(zhì)3.2在定理1.2的條件下，有

性質(zhì)3.3M＞4設(shè)在定理1.2的條件下，有

證明參見(jiàn)文獻(xiàn)［9］的性質(zhì)4.3.

性質(zhì)3.4在定理1.2的條件下，有

定理1.2的證明由性質(zhì)3.1-性質(zhì)3.4及三角不等式可知（3）式成立，即定理1成立.

4　定理1.3的證明

由文獻(xiàn)［7］的定理1.1的（1.2）式知（13）式成立，即定理1.3成立.

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Precise asymptotics for self-normalized sums of independent and identically distributed random variables

Fu Zongkui，Wu Qunying

（College of Science，Guilin University of Technology，Guilin 541004，China）

This paper study the convergence of normalized sums for independent and identically distributed nondegenerate random variables with mean zeros，under some conditions，we obtain a general result on precise asymptotics for self-normalized sums.

independent and identically distributed，self-normalized sums，precise asymptotic

O211.4

A

1008-5513（2015）06-0596-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.06.007

2015-05-04.

國(guó)家自然科學(xué)基金（11361019）；廣西自然科學(xué)基金（2013GXNSFDA019001）；廣西高校人才小高地建設(shè)創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)資助計(jì)劃（桂教人［2011］47號(hào)）.

付宗魁（1990-），碩士生，研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì).

2010 MSC：60F15