一類帶比例時滯Fredholm型積分方程Legendre配置解法及收斂性分析

曾統(tǒng)華，王華生，王奇生

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一類帶比例時滯Fredholm型積分方程Legendre配置解法及收斂性分析

曾統(tǒng)華，王華生，王奇生

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

本文利用Legendre配置方法探討一類帶比例時滯Fredholm型積分方程的數(shù)值解法. 首先利用Gauss-Legendre求積公式將積分項進(jìn)行離散，然后將Legendre多項式的零點取為離散化方程組的配置點，把積分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組后進(jìn)行求解，并給出了數(shù)值求解格式和收斂性定理，最后列舉若干數(shù)值例子以驗證該方法的有效性與可靠性.

比例時滯；Fredholm型積分方程；Legendre配置解法；收斂性分析

積分方程是科學(xué)研究、科學(xué)計算和解決工程技術(shù)問題的一個重要數(shù)學(xué)工具. 在靜電學(xué)、電動力學(xué)、彈性力學(xué)、流體力學(xué)、電磁場理論、輻射學(xué)、地球物理勘探以及航空航天、土木、機械等領(lǐng)域，許多問題都可轉(zhuǎn)化為積分方程問題來研究，因而積分方程問題有著廣泛的理論研究和實際應(yīng)用價值[1]. Volterra型、Fredholm型和Volterra-Fredholm 混合型積分方程是3種最常見的積分方程類型，應(yīng)用學(xué)科的許多實際問題都可以歸結(jié)成這3類方程問題來求解. Fredholm型積分方程在物理學(xué)、生物學(xué)、能源科學(xué)等領(lǐng)域有著很好的推廣[2]，時滯積分方程問題在力學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、人口統(tǒng)計學(xué)及流行病學(xué)等領(lǐng)域中有也著廣泛的應(yīng)用[3]. 本文研究一類帶比例時滯Fredholm型積分方程問題：

對積分方程問題的數(shù)值解法有許多研究，常見的如有限差分法與有限單元法、多項式逼近與最佳平方逼近方法、配置與譜配置方法、變分迭代與不動點迭代方法等等. Blübül和Sezer[4]用多項式逼近方法求解了一類雙曲型偏微分方程，陳艷萍等[5]用譜配置方法、王奇生等[6-7]用最佳平方逼近和變分迭代方法求解了一類Volterra-Fredholm混合型積分方程問題. 本文利用Legendre配置求解方法，對帶比例時滯Fredholm型積分方程問題進(jìn)行了較為系統(tǒng)的研究：首先給出積分方程問題（1）精確解的存在唯一性定理，然后給出Legendre配置求解方法與求解格式，第三節(jié)給出數(shù)值解與精確解的誤差估計與收斂性定理，最后給出若干數(shù)值例子驗證該方法的有效性與可靠性.

1 解的存在唯一性

在本節(jié)利用Banach不動點定理，證明積分方程（1）的精確解的存在唯一性，先介紹如下預(yù)備知識.

引理1（Banach定理） 在完備度量空間中的壓縮映射必然有唯一的不動點.

膽囊炎包括急慢性兩種，其中，急性膽囊炎屬于較為常見的一種外科急腹癥[1-2]。近年來，伴隨著微創(chuàng)技術(shù)的提出，經(jīng)皮肝膽囊穿刺置管引流術(shù)得到廣泛應(yīng)用[3]，其結(jié)合腹腔鏡膽囊切除術(shù)，能產(chǎn)生良好的療效，創(chuàng)傷小，安全性高。本研究旨在探討經(jīng)皮肝膽囊穿刺引流術(shù)聯(lián)合腹腔鏡膽囊切除術(shù)在急性膽囊炎中的應(yīng)用價值?，F(xiàn)報道如下。

定理1（解的存在唯一性） 在重要假設(shè)條件i）和ii）都成立的情況下，積分方程（1）存在唯一解.

則

2 求解方法介紹

利用Legendre配置求解方法按以下兩步對方程（1）進(jìn)行數(shù)值求解：

再利用Gauss-Legendre求積公式，

，

則原方程化為

第2步，取Legendre配置點，并舍棄余項，則

令

則（4）可表示成矩陣方程形式：

3 收斂性分析

在本節(jié)將給出方程（1）的精確解與階Legendre配置解之間的誤差估計以及收斂性分析的結(jié)果.

將式（3）減去式（6）得，

則

故

4 數(shù)值例子

本節(jié)將給出一些數(shù)值例子以驗證所提方法的有效性和可靠性，定義如下誤差函數(shù)及最大誤差：

，.

例1 利用Legendre配置方法求解Fredholm型積分方程

表1 例1的誤差計算表

圖1 時的精確解、配置解和誤差函數(shù)

例2 求解如下類型的Fredholm型積分方程

表2 例2中配置點個數(shù)的誤差計算表

表2 例2中配置點個數(shù)的誤差計算表

11.351 7e-0027.122 0e-0037.390 5e-003 26.727 1e-0055.704 4e-0056.213 3e-005 33.781 7e-0081.423 2e-0071.496 6e-007 41.930 7e-0091.338 1e-0091.370 7e-009

圖2 ，時的精確解、配置解和誤差函數(shù)

圖3 當(dāng)變化時的誤差函數(shù)

由上可知，所選取的配置點數(shù)比較小時，就能達(dá)到很好的逼近效果. 因此，Legendre配置方法是求解這類積分方程的有效和可靠數(shù)值方法.

5 結(jié)論

本文首先給出了一類帶比例時滯Fredholm第二型積分方程精確解的存在唯一性的結(jié)果，其次提出了此類積分方程的高精度Legendre配置求解方法，同時證明了其數(shù)值解收斂于精確解. 該研究工作不僅豐富和發(fā)展了比例時滯積分問題的數(shù)值求解方法，而且還直接為科學(xué)與工程技術(shù)人員提供了科學(xué)有效的數(shù)值算法和理論依據(jù)，具有一定的理論意義和應(yīng)用價值.

[1]JERRI A J. Introduction to integral equations with application [M]. London: John Wiley &Sons, 1999.

[2] YOUSEA S, RAZZAGHIB M. Legendre wavelets method for the nonlinear Volterra-Fredholm integral equations [J]. Mathematics and Computers in Simulation, 2005, 70(1): 1-8.

[3] BRUNNER H. On the numerical solution of nonlinear Volterra-Fredholm integral equations by collocation methods [J]. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1990, 27(1): 987-1000.

[4] BULBUL B, SEZER M. Taylor polynomial solution of hyperbolic type partial differential equations with constant coefficients [J]. International Journal of Computer Mathematics, 2011, 88(3): 533-544.

[5] CHEN Yanping, TANG Tao. Spectral methods for weakly singular Volterra integral equations with smooth solutions [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, 233(4): 938-950.

[6] WANG Qisheng, WANG Keyan, CHEN Shaojun. Least squares approximation method for the solution of Volterra-Fredholm integral equations [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2014, 272: 141-147.

[7] WANG Keyan, WANG Qisheng, GUAN Kaizhong. Iterative method and convergence analysis for a kind of mixed nonlinear Volterra-Fredholm integral equation[J]. Applied Mathematics and Computation, 2013, 225: 631-637.

[責(zé)任編輯：韋 韜]

Legendre-Collocation Method and Convergence Analysis for a Kind of Fredholm Integral Equation with Proportional Delay

ZENGTong-hua, WANGHua-sheng, WANGQi-sheng

(School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

In this paper, the Legendre-Collocation method is presented for numerically solving the Fredholm integral equation with proportional delay. First, taking some collocation points, the integral equation is translated into algebraic equation. By adopting the Gauss-Legendre integral formula, let the zeros of Legendre polynomials be the collocation points, the integral equation is discreted to algebraic equations. Secondly, the format of numerical solution and convergence theorem are obtained by the Legendre-Collocation method and some numerical examples are given to illustrate the accuracy and dependability of the method.

proportional delay; Fredholm integral equation; Legendre-Collocation method; convergence analysis

1006-7302（2015）04-0005-05

O189.1

A

2015-07-12

廣東省自然科學(xué)基金資助項目（2015A030313643）；2014年廣東省高等學(xué)校青年教師培養(yǎng)計劃資助項目（syq2014002）

曾統(tǒng)華（1979—），男，湖南邵東人，在讀碩士生，主要從事積分微分方程數(shù)值解法研究；王奇生，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，通信作者，主要研究方向為有限元法、譜配置和無網(wǎng)格方法.