可壓縮向列型液晶自由邊界問題整體弱解的內(nèi)正則性

黃金銳，陳宗妍，鐘康梅

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可壓縮向列型液晶自由邊界問題整體弱解的內(nèi)正則性

黃金銳，陳宗妍，鐘康梅

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

討論了一維可壓縮向列型液晶系統(tǒng)的自由邊界問題在初始真空連續(xù)連接的條件下整體弱解的內(nèi)正則性.

可壓縮向列型液晶；自由邊界；弱解；內(nèi)正則性

1 問題簡(jiǎn)述

本文考慮一維可壓縮向列型液晶系統(tǒng)[1-3]：

系統(tǒng)滿足初始值：

以及下列邊界條件：

對(duì)上述系統(tǒng)考慮拉格朗日變換 ：，，變換后可得：

此時(shí)系統(tǒng)滿足初始值：

以及邊界條件：

引理1[3]1656假設(shè)初始值滿足下列條件：

式（4～6）存在整體弱解，滿足下列正則性：

2 本文的主要結(jié)果及其證明

由經(jīng)典的估計(jì)方法[2]可得密度函數(shù)的正下界和上界估計(jì)，即如下引理.

證明 由式（4）1可得：

式（4）2等式兩端在上積分，可得：

.

因此有：

根據(jù)系統(tǒng)的基本能量等式，我們有：

從而有：

根據(jù)上述估計(jì)以及式（8），可得式（9）. 另外，根據(jù)文獻(xiàn)[3]的推導(dǎo)還能得到如下引理.

引理3[3]1658~1671關(guān)于問題（4～6）的弱解有如下先驗(yàn)估計(jì)：

下文將運(yùn)用引理2以及引理3的結(jié)論推導(dǎo)本文的主要結(jié)果. 由引理2可知，密度函數(shù)具有正下界和上界估計(jì)，從而根據(jù)式（17）有：

另外，

因此，我們有：

，

再根據(jù)Cauchy不等式以及先前的能量估計(jì)，可得：

根據(jù)式（4），可得本文主要結(jié)論如下.

注：由于缺乏密度函數(shù)的空間方向二階導(dǎo)數(shù)的有效估計(jì)，因此無法得到、以及的估計(jì).

[1]丁時(shí)進(jìn). 液晶模型的分析理論[J]. 華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013, 45(3): 1-7.

[2] DING Shijin, HUANG Jinrui, XIA Fengguang. A free boundary problem for compressible hydrodynamic flow of liquid crystals in one dimension [J]. J Differential Equations, 2013, 255: 3848-3879.

[3] HUANG Jinrui, DING Shijin. Compressible hydrodynamic flow of nematic liquid crystals with vacuum [J]. J Differential Equations, 2015, 258: 1653-1684.

[責(zé)任編輯：熊玉濤]

Interior Regularity of Global Weak Solutions to One-dimensional Free Boundary Problem for Compressible Nematic Liquid Crystals

HUANGJin-rui, CHEN Zong-yan, ZHONGKang-mei

(School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

This paper deals with the interior regularity of global weak solutions to free boundary problems of the one-dimensional compressible nematic liquid crystal system which connects continuously to vacuum.

compressible nematic liquid crystal; free boundary; weak solution; interior regularity

1006-7302（2015）04-0001-04

O175.25；O175.26

A

2015-01-12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11401439）；廣東省普通高校青年創(chuàng)新人才項(xiàng)目（2014KQCX162）；五邑大學(xué)青年基金資助項(xiàng)目（2014zk06）；廣東省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（201511349089）

黃金銳（1984—），男，廣東佛山人，講師，博士，主要從事偏微分方程的理論研究.

①此處修正了文獻(xiàn)[3]中的一處筆誤.