帶鉸彈性開環(huán)多體臂架變位姿固有頻率算法

任武，吳運(yùn)新，張趙威，曾誼暉

?

帶鉸彈性開環(huán)多體臂架變位姿固有頻率算法

任武1, 2，吳運(yùn)新1, 2，張趙威1, 2，曾誼暉1, 2

(1. 中南大學(xué) 高性能復(fù)雜制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙，410083；2. 中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083)

針對(duì)多體泵車臂架作業(yè)中頻繁位姿變換固有頻率不易求解的問題，采用多體傳遞矩陣法建立四節(jié)臂架動(dòng)力學(xué)模型，模型分為A和B 2個(gè)子系統(tǒng)，子系統(tǒng)A為第1節(jié)臂、支座油缸連接，子系統(tǒng)B為后3節(jié)臂、油缸連接。加入液壓驅(qū)動(dòng)油缸兩端鉸彈性的影響，進(jìn)行整體模型封裝分析4種常用位姿的固有頻率，并在已有臂架實(shí)驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。研究結(jié)果表明：采用多體傳遞矩陣法求解變位姿多體系統(tǒng)臂架固有頻率避免了傳統(tǒng)方法中重新設(shè)定計(jì)算的步驟，4種位姿加入鉸彈性的固有頻率均比理想鉸降低且更接近實(shí)測(cè)值，為此類機(jī)械的變位姿頻率計(jì)算和整車實(shí)時(shí)振動(dòng)控制提供參考。

多體；臂架；鉸彈性；傳遞矩陣法；振動(dòng)；固有頻率

泵車臂架是典型的多體開環(huán)機(jī)械臂，目前最長(zhǎng)的臂架已經(jīng)到達(dá)101 m。大范圍運(yùn)動(dòng)高柔度特征使其在低頻工作時(shí)受到較大的振動(dòng)，同時(shí)，臂架位姿的頻繁變換導(dǎo)致固有頻率不斷變化，給設(shè)計(jì)分析帶來不便。現(xiàn)有研究中，Cazzulani等[1]研究了泵車臂架加末端質(zhì)量塊的臂架振動(dòng)固有頻率變化。Liu等[2]建立了大范圍運(yùn)動(dòng)剛?cè)犭p臂理想鉸非線性運(yùn)動(dòng)方程，分析了臂的振動(dòng)特性。劉杰等[3]分析了某泵車臂架多剛體模型并對(duì)多柔體臂架末端位移進(jìn)行了探討。王斌華等[4]研究了脈動(dòng)和常速流混凝土對(duì)臂架振動(dòng)頻率的影響。賀尚紅等[5?7]建立適用于機(jī)電液耦合系統(tǒng)頻域的通用傳遞矩陣，提供一種更方便的仿真方法。Li等[8?9]建立了液壓缸驅(qū)動(dòng)柔性臂動(dòng)力學(xué)模型并進(jìn)行末端位移控制仿真。芮筱亭等[10]提出離散傳遞矩陣法并應(yīng)用于自行火炮等多體武器系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)工程實(shí)例分析和頻率求解。Flores[11]分析了旋轉(zhuǎn)鉸碰撞摩擦原理，建立了曲柄滑塊運(yùn)動(dòng)仿真模型。白爭(zhēng)鋒等[12?14]研究了連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副碰撞動(dòng)力學(xué)特性，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。Dupac等[15]分析了平面柔體連桿機(jī)構(gòu)的彈性影響，指出彈性影響在此類機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究中不應(yīng)忽視。大范圍變姿態(tài)機(jī)械臂如混凝土泵車臂架的研究，通常將鉸當(dāng)成理想鉸來分析，忽略了鉸彈性碰撞的影響。本文作者以多體開環(huán)臂架為研究對(duì)象，利用傳遞矩陣法建立其多體模型和鉸彈性模型，快速計(jì)算出其位姿變換時(shí)的固有頻率，并通過臂架實(shí)驗(yàn)臺(tái)驗(yàn)證模型的正確性和計(jì)算方法的合理性。

1 鉸彈性碰撞理論和參數(shù)選取

Lankarani-Nikravesh模型是改進(jìn)的Hertz接觸模型[11]，如式(1)所示：

其中：

F為接觸碰撞力；為接觸物體的剛度系數(shù)，可根據(jù)Goldsmith碰撞實(shí)驗(yàn)得出；為穿透深度；為接觸碰撞阻尼系數(shù)；為接觸碰撞相對(duì)速度；σ為銷軸鉸接系數(shù)；和分別為材料泊松比和彈性模量，根據(jù)文獻(xiàn)[13]，取1.5；R為銷軸半徑，R(=1，2，3，4)分別為四節(jié)臂銷的半徑；c為恢復(fù)系數(shù)，取0.9；為撞擊點(diǎn)的初始相對(duì)速度。，，R和R取值見表1。

表1 銷軸套筒材料與結(jié)構(gòu)參數(shù)

2 帶鉸彈性臂架動(dòng)力學(xué)模型

2.1 數(shù)學(xué)模型

多體開環(huán)臂架從根部算起主要由臂、連桿以及液壓驅(qū)動(dòng)油缸組成，幾節(jié)臂架由多個(gè)六連桿串聯(lián)而成，根據(jù)連接類型將臂架系統(tǒng)劃分成2種子結(jié)構(gòu)以提高建模效率如圖1所示。

1—支座；2，4，7，10—液壓缸；3，6，9，12—臂架；5，8，11—連桿

臂架的2種子結(jié)構(gòu)分別是體元件和鉸元件，這些元件傳遞矩陣依照連接關(guān)系進(jìn)行初步組裝得到各自子結(jié)構(gòu)傳遞方程和傳遞矩陣，然后將2種子結(jié)構(gòu)再封裝成總傳遞方程和總傳遞矩陣，最后利用邊界條件得到該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。模型中臂架等效為彈性梁元件，連桿、油缸及活塞桿等效為剛體元件，旋轉(zhuǎn)鉸等效為彈簧阻尼系統(tǒng)，其剛度系數(shù)按式(2)計(jì)算，液壓油等效為一定剛度的彈簧元件。忽略臂架左右扭轉(zhuǎn)的影響，四節(jié)臂簡(jiǎn)化為歐拉?伯努利梁，假定臂架低速運(yùn)動(dòng)以忽略離心加速度和科氏加速度的影響，定義各連接點(diǎn)狀態(tài)矢量為

在模態(tài)坐標(biāo)系下，式(5)中為線位移；為角位移；M為內(nèi)力矩；Q和Q為內(nèi)力。

2.2 子結(jié)構(gòu)的傳遞矩陣

臂架結(jié)構(gòu)劃分成子結(jié)構(gòu)和子結(jié)構(gòu)，其中結(jié)構(gòu)包括第1節(jié)臂、支座、驅(qū)動(dòng)油缸以及液壓油缸兩端連接旋轉(zhuǎn)鉸；結(jié)構(gòu)又分為3個(gè)亞結(jié)構(gòu)，包括后3節(jié)臂結(jié)構(gòu)和相應(yīng)液壓缸兩端旋轉(zhuǎn)鉸，如圖2和圖3所示。

圖2 子結(jié)構(gòu)A連接

圖3 子結(jié)構(gòu)B連接

子結(jié)構(gòu)中定義0為其輸入端，8為其輸出端，1，3和5為剛體元件，2，4和6為平面彈簧連接彈性單元，其中6為彈性鉸，7為等截面歐拉?伯努利梁元件，根據(jù)傳遞矩陣法得到各元件的傳遞矩陣,將0~8元件結(jié)合可得到子結(jié)構(gòu)的傳遞方程：

1，7和6連接處的位移和受力關(guān)系如下：

由式(6)和式(7)可得：

轉(zhuǎn)化矩陣1~3分別為：

子結(jié)構(gòu)的傳遞方程如下：

子結(jié)構(gòu)的傳遞矩陣以及狀態(tài)矢量為：

子結(jié)構(gòu)中0為其輸入端，12為其輸出端，2，3，6，8，10和11為剛體元件，5，7和9元件為平面彈簧鉸連接元件，1和4元件為等截面歐拉?伯努利梁元件，推導(dǎo)方式與結(jié)構(gòu)的類似，根據(jù)各元件之間的連接關(guān)系得到子結(jié)構(gòu)的傳遞矩陣及其狀態(tài)矢量如下：

2.3 總傳遞矩陣

混凝土泵車臂架總裝系統(tǒng)由子結(jié)構(gòu)和子結(jié)構(gòu)中3個(gè)部分串聯(lián)而成，其中子結(jié)構(gòu)的7，8與子結(jié)構(gòu)的0，1和0，5形成連接點(diǎn)，子結(jié)構(gòu)B的4，12與其串聯(lián)的子結(jié)構(gòu)B+1的0，1和0，5形成新的連接點(diǎn)，根據(jù)連接點(diǎn)的位移和受力關(guān)系可以得到臂架總傳遞方程：

其中：all臂架系統(tǒng)總傳遞矩陣；all為總特征矢量。

由邊界條件可得結(jié)構(gòu)和邊界狀態(tài)矢量，其中子結(jié)構(gòu)邊界狀態(tài)矢量為

非末端子結(jié)構(gòu)(編號(hào)記為)狀態(tài)矢量為

末端子結(jié)構(gòu)(編號(hào)記為)狀態(tài)矢量如式(19)所示，由邊界條件可將all中的零元素(共計(jì)21項(xiàng))去掉剩下的狀態(tài)矢量記為，同時(shí)在all中去除all零元素對(duì)應(yīng)的列，記為。當(dāng)=4時(shí)，所得的中含有105項(xiàng)未知元素，為105階方陣，得到特征方程如式(20)所示。

由于泵車臂架實(shí)際中需要頻繁位姿變換，為計(jì)算其任意姿態(tài)的固有頻率，需重新修改總傳遞矩陣，模型中傳遞矩陣的連接方式不變，僅元件的角度改變。各元件的變化角度由臂架的位姿角通過幾何解析獲得或者預(yù)設(shè)，然后由式(21)將傳遞矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)角坐標(biāo)變換，計(jì)算新姿態(tài)下的傳遞矩陣以及傳遞方程，從而得到臂架任意姿態(tài)的任意階固有頻率f(1，2，3，4) (=1，2，…)，其中θ為各臂架相對(duì)水平面的角度。

式中：H和為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣；U為初狀態(tài)元件傳遞矩陣；為期望姿態(tài)下的元件傳遞矩陣。

在Matlab中編寫相應(yīng)的程序求解，泵車臂架為四節(jié)臂，總長(zhǎng)13 m，結(jié)構(gòu)參數(shù)見表2。預(yù)置有解區(qū)間用二分法逼近計(jì)算滿足式(20), 容差范圍(容差為?1×10?7~1×10?7)的采用Newmark-積分法得到，仿真時(shí)間28 s，在此時(shí)間內(nèi)完成從水平工況到樓頂工況的變換，步長(zhǎng)0.03 s，得到臂架常用工況下的固有頻率。

3 臂架多位姿固有頻率仿真分析和實(shí)驗(yàn)

3.1 位姿選取

根據(jù)臂架經(jīng)常用的姿態(tài)，仿真和實(shí)驗(yàn)中選定如圖4所示的4種姿態(tài)進(jìn)行計(jì)算。

(a) 水平工況；(b) 地基工況；(c) 面墻工況；(d) 樓頂工況

仿真中首先研究不考慮旋轉(zhuǎn)鉸彈性影響的固有頻率，然后加上液壓缸和臂連接的旋轉(zhuǎn)鉸彈性影響，由于臂架一般是低頻影響較大，因此，主要考察第一階固有頻率的變化，分別計(jì)算2種不同模型相應(yīng)姿態(tài)的第1階固有頻率。

3.2 實(shí)驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證多體系統(tǒng)傳遞矩陣法建模的正確性，利用現(xiàn)有的總長(zhǎng)13 m四節(jié)臂臂架實(shí)驗(yàn)臺(tái)、Dewesoft信號(hào)采集儀、三軸加速度傳感器進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，臂架材料為Q345B，主要結(jié)構(gòu)參數(shù)見表2。

表2 臂架模型主要參數(shù)

3.3 仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

根據(jù)仿真分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算出2種模型幾種特殊位姿的第1階固有頻率見表3。

表3 固有頻率數(shù)值計(jì)算結(jié)果和實(shí)測(cè)值對(duì)比

由表3可見：4種位姿對(duì)比中考慮鉸彈性影響和不考慮鉸彈性影響模型的位姿中都是水平姿態(tài)的振動(dòng)頻率最低，說明水平工況是柔性影響最大的工況，也是工作最惡劣的工況；樓頂工況振動(dòng)頻率最高；面墻和地基工況介于兩者之間；各個(gè)位姿中理想鉸模型的固有頻率相對(duì)于加鉸彈性影響模型的固有頻率都偏大，說明鉸彈性影響的加入減小了機(jī)構(gòu)的固有頻率，使得臂架體現(xiàn)出更大的柔性，同時(shí)，考慮鉸彈性影響的模型的頻率更接近于實(shí)測(cè)值，證明了文中計(jì)算鉸彈性影響的必要性和正確性。

4 結(jié)論

1) 利用傳遞矩陣法建立臂架整體模型求解系統(tǒng)固有頻率，實(shí)現(xiàn)了理想鉸和帶鉸彈性的多體開環(huán)變位姿臂架批量頻率仿真，對(duì)需要不斷變換位姿的結(jié)構(gòu)非常適用，避免了傳統(tǒng)方法重新設(shè)定參數(shù)計(jì)算的步驟，適合工程應(yīng)用。

2) 帶鉸彈性模型的仿真值更接近測(cè)試值，特別是水平工況更能體現(xiàn)臂架的柔性影響，為此類機(jī)構(gòu)頻率計(jì)算提供幫助。

[1] Cazzulani G, Resta F, Ripamonti F. A Feedback and feedforward vibration control for a concrete placing boom[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2011, 133(5): 1002?1008.

[2] LIU Zhuyong, HONG Jiazhen, LIU Jinyang. Complete geometric nonlinear formulation for rigid-flexible coupling dynamics[J]. Journal of Central South University of Technology, 2009, 16(1): 119?124.

[3] 劉杰, 戴麗, 趙麗娟, 等. 混凝土泵車臂架柔性多體動(dòng)力學(xué)建模與仿真[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2007(11): 131?135.
LIU Jie, DAI Li, ZHAO Lijuan, et al. Modeling and simulation of flexible multi-body dynamics of concrete pump truck arm[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2007, 43(11): 131?135.

[4] 王斌華, 呂彭民. 混凝土泵車臂架系統(tǒng)振動(dòng)機(jī)理的研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2011, 30(9): 259?263.
WANG Binhua, Lv Pengmin. Vibration mechanism of arm system of concrete pump truck[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(9): 259?263.

[5] 賀尚紅, 段吉安. 復(fù)雜軸系扭振動(dòng)力學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)法[J]. 中國有色金屬學(xué)報(bào), 2002, 12(2): 388?392.
HE Shanghong, Duan Ji'an. Network method for dynamic modeling of complex shafting torsional vibration system[J]. The Chinese Journal of Nonferrous Metals, 2002, 12(2): 388?392.

[6] 賀尚紅, 段吉安, 鐘掘. 機(jī)電系統(tǒng)通用建模矩陣法[J]. 中南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2002, 33(5): 517?521.
HE Shanghong, Duan Ji'an, Zhong Jue. Universal matrix method for modeling electromechanical systems[J]. Journal of Central South University of Technology (Natural Science), 2002, 33(5): 517?521.

[7] 賀尚紅, 楊昀梓. 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的混凝土泵車發(fā)動(dòng)機(jī)萬有特性建模與工況優(yōu)化[J]. 中南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2010, 41(4): 1398?1404.
HE Shanghong, YANG Yunzi, Modeling of universal characteristics and optimization of operating conditions of concrete pump truck based on neural network[J]. Journal of Central South University (Science and Technology), 2010, 41(4): 1398?1404.

[8] LI Guang, WU Min. Modeling and controlling of a flexible hydraulic manipulator[J]. Journal of Central South University of Technology, 2005, 12(5): 578?583.

[9] ZHANG Chunyi, BAI Guangchen. Extremum response surface method of reliability analysis on two-link flexible robot manipulator[J]. Journal of Central South University, 2012, 19(1): 101?107.

[10] 芮筱亭, 戎保. 多體系統(tǒng)傳遞矩陣法研究進(jìn)展[J]. 力學(xué)進(jìn)展, 2012, 42(1): 4?17.
RUI Xiaoting, RONG Bao. Advances in transfer matrix method for multibody system dynamics[J]. Advances in Mechanics, 2012, 42(1): 4?17.

[11] Flores P. A parametric study on the dynamic response of planar multibody systems with multiple clearance joints[J]. Nonlinear Dynamics, 2010, 61(4): 633?653.

[12] 白爭(zhēng)鋒, 趙陽, 趙志剛. 考慮運(yùn)動(dòng)副間隙的機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2011(11): 17?20.
BAI Zhengfeng, ZHAO Yang, ZHAO Zhigang. Dynamics characteristics of mechanisms with joint clearance[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(11): 17?20.

[13] Mukras S. Analysis and design of planar multibody systems with revolute joint wear[D]. Florida: University of Florida. Materials Science Engineering College, 2009: 55?62.

[14] BAI Zhengfeng, ZHAO Yang. Dynamic behaviour analysis of planar mechanical systems with clearance in revolute joints using a new hybrid contact force model[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2011, 54(1): 190?205.

[15] Dupac M, Beale D G. Dynamic analysis of a flexible linkage mechanism with cracks and clearance[J]. Mechanism and Machine Theory, 2010, 45(12): 1909?1923.

Multibody open-loop mobile concrete pump boom with joint elasticity multi posture natural frequency algorithm

REN Wu1, 2, WU Yunxin1, 2, ZHANG Zhaowei1, 2, ZENG Yihui1, 2

(1. State Key Laboratory of High Performance Complex Manufacturing, Central South University, Changsha 410083, China;2. School of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

In order to calculate the different postures natural frequencies of multibody mobile concrete pump truck boom, the transfer matrix method was adopted. Then a four-boom equivalent mechanical model was established. The model was divided into sub-system A and B. The sub-system A was linked to the first boom, standoffs and its hydraulic cylinder. The sub-system B was linked to the other three booms and cylinders. The revolute joint elasticity of the boom cylinder connection was also considered. After packaging the two sub-systems, the frequencies of four common postures were solved, and an experiment was carried out on a test rig. The results show that it is not necessary to reset the parameters and resolve in different posture frequency calculations by transfer matrix method. At the same time, the frequencies considering joints elasticity are smaller than those of ideal joints and are closer to the test ones. All of these provide reference for natural frequency calculation and real-time monitoring for mobile truck booms.

multibody; boom; joint elasticity; transfer matrix method; vibration; natural frequency

TU646

A

1672?7207(2015)02?0485?06

2014?03?16；

2014?07?10

國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(863計(jì)劃)項(xiàng)目(2008AA042802)；安徽省高等學(xué)校省級(jí)自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2013A141)；湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11JJ3059)(Project (2008AA042802) supported by the National High-Tech Research and Development Program (863 Program); Project (KJ2013A141) supported by the Natural Science Key Project of Anhui Provincial Universities; Project (11JJ3059) supported by the National Science Foundation of Hunan Province)

吳運(yùn)新，博士，教授，博士生導(dǎo)師，從事機(jī)械結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、機(jī)電控制、冶金機(jī)械研究；E-mail：renwu88@126.com

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.02.016

(編輯 趙俊)