基于WENO重構(gòu)的時(shí)域無(wú)網(wǎng)格算法及其應(yīng)用研究

高煜堃，陳紅全

(南京航空航天大學(xué)航空宇航學(xué)院 南京 210016)

基于WENO重構(gòu)的時(shí)域無(wú)網(wǎng)格算法及其應(yīng)用研究

高煜堃，陳紅全

(南京航空航天大學(xué)航空宇航學(xué)院 南京 210016)

研究了用于求解電磁散射問(wèn)題的WENO重構(gòu)時(shí)域無(wú)網(wǎng)格算法?；跓o(wú)網(wǎng)格點(diǎn)云結(jié)構(gòu)，引入沿點(diǎn)云中心點(diǎn)和衛(wèi)星點(diǎn)連線(xiàn)方向的局部一維坐標(biāo)，并結(jié)合虛擬點(diǎn)的設(shè)置，構(gòu)成在點(diǎn)云中實(shí)施三階WENO重構(gòu)所要求的模板，以便利用WENO重構(gòu)計(jì)算中心點(diǎn)與衛(wèi)星點(diǎn)連線(xiàn)中點(diǎn)處物理量的左右狀態(tài)值，供通量運(yùn)算。設(shè)置的虛擬點(diǎn)上的物理量則利用點(diǎn)云中已有的最近點(diǎn)插值系數(shù)直接插值確定。用發(fā)展的算法對(duì)典型的一維和二維電磁散射問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值模擬，并與理論解和傳統(tǒng)的基于線(xiàn)性重構(gòu)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證了WENO重構(gòu)獲得的數(shù)值解比線(xiàn)性重構(gòu)更接近理論解。給出了多體干擾電磁散射場(chǎng)算例，展示出用發(fā)展的算法處理復(fù)雜多體干擾情形的效果。

點(diǎn)云; 電磁散射場(chǎng); 時(shí)域無(wú)網(wǎng)格算法; 多體干擾; WENO重構(gòu)

無(wú)網(wǎng)格方法是繼網(wǎng)格方法之后出現(xiàn)的一種新型數(shù)值方法。計(jì)算區(qū)域的離散只涉及布點(diǎn)填充，既可以采用網(wǎng)格點(diǎn)，也可以打破傳統(tǒng)的網(wǎng)格方法[1]中網(wǎng)格拓?fù)涞募s束而根據(jù)需要直接布點(diǎn)，因此，該方法在對(duì)復(fù)雜外形的處理上更加靈活[2]。近年來(lái)，無(wú)網(wǎng)格方法已在計(jì)算電磁學(xué)(computational electromagnetics, CEM)領(lǐng)域得到了應(yīng)用和發(fā)展，用于求解電磁場(chǎng)問(wèn)題的代表性方法有局部弱式Petrov-Galerkin無(wú)網(wǎng)格法和徑向基點(diǎn)插值無(wú)網(wǎng)格法等[3-5]。這些方法通常會(huì)涉及形函數(shù)(或基函數(shù))的選取。形函數(shù)的選擇不僅會(huì)影響矩陣的質(zhì)量[6]，還會(huì)影響到邊界條件的施加，有時(shí)邊界條件需要采用特殊的方法強(qiáng)制給定[7]。在計(jì)算流體力學(xué)(computational fluid dynamics, CFD)領(lǐng)域，近年來(lái)也出現(xiàn)了與CEM中做法不同的無(wú)網(wǎng)格方法。無(wú)網(wǎng)格點(diǎn)上的空間導(dǎo)數(shù)可基于局部點(diǎn)云結(jié)構(gòu)通過(guò)極小曲面逼近得到?？臻g離散涉及的通量運(yùn)算常采用近似黎曼解處理。該類(lèi)無(wú)網(wǎng)格方法已成功應(yīng)用于求解Euler方程，能模擬出復(fù)雜外形的繞流[2]。

鑒于所研究的麥克斯韋方程和流體力學(xué)中的Euler方程具有雙曲型等相同的數(shù)學(xué)特性，本文意在借鑒上述CFD中的無(wú)網(wǎng)格算法，發(fā)展基于加權(quán)本質(zhì)無(wú)振蕩(weighted essentially non-oscillatory, WENO)重構(gòu)的時(shí)域無(wú)網(wǎng)格算法，用于求解麥克斯韋方程。CFD中的WENO重構(gòu)是在本質(zhì)無(wú)振蕩(essentially non-oscillatory，ENO)重構(gòu)方法[8]的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的高階重構(gòu)方法，大多用于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格[9]。本文基于無(wú)網(wǎng)格點(diǎn)云和局部一維坐標(biāo)，給出了WENO重構(gòu)實(shí)施所要求模板的構(gòu)造方法。通量運(yùn)算涉及的無(wú)網(wǎng)格點(diǎn)云中心點(diǎn)與衛(wèi)星點(diǎn)連線(xiàn)中點(diǎn)處物理量的左右狀態(tài)值，改用三階WENO重構(gòu)計(jì)算，以替代通常的線(xiàn)性重構(gòu)。空間離散涉及的通量運(yùn)算采用基于點(diǎn)云結(jié)構(gòu)的近似黎曼解方法確定，時(shí)間離散則按照四步Runge-Kutta法推進(jìn)求解。然后結(jié)合算例分析，驗(yàn)證了本文基于WENO重構(gòu)的數(shù)值解比通常的線(xiàn)性重構(gòu)結(jié)果更接近理論解。最后，本文研究了雙NACA0012翼型及飛機(jī)投彈模擬的多體干擾電磁散射特性，在一定程度上展示了算法處理多體干擾等復(fù)雜情形的能力。

1 時(shí)域麥克斯韋方程

對(duì)于橫磁(transverse magnetic, TM)波，在直角坐標(biāo)系中守恒型無(wú)量綱時(shí)域麥克斯韋方程可寫(xiě)為：

2 時(shí)域麥克斯韋方程的無(wú)網(wǎng)格離散求解

2.1 計(jì)算區(qū)域布點(diǎn)離散及點(diǎn)云生成

無(wú)網(wǎng)格算法計(jì)算區(qū)域的離散只涉及布點(diǎn)填充，既可以方便地選取結(jié)構(gòu)網(wǎng)格或非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格點(diǎn)，也可以打破傳統(tǒng)的網(wǎng)格拓?fù)浼s束，按要求直接布點(diǎn)。計(jì)算區(qū)域布點(diǎn)填充后，在點(diǎn)的局部需構(gòu)成無(wú)網(wǎng)格算法實(shí)施所要求的點(diǎn)云結(jié)構(gòu)。以點(diǎn)云ci為例，如圖1所示，中心點(diǎn)i自然納入點(diǎn)云ci中，再合理選取一定數(shù)目的衛(wèi)星點(diǎn)。本文以中心點(diǎn)i為圓心，Ri為半徑畫(huà)圓，將圓內(nèi)除中心點(diǎn)i以外的點(diǎn)(1、2、3、4、5和6)視為衛(wèi)星點(diǎn)一并納入點(diǎn)云ci中。其中圓半徑Ri與點(diǎn)云當(dāng)?shù)攸c(diǎn)與點(diǎn)之間的距離相關(guān)，通常可通過(guò)擴(kuò)大或縮小ir來(lái)選取合適數(shù)目的衛(wèi)星點(diǎn)。

圖1 無(wú)網(wǎng)格點(diǎn)云ci示意圖

2.2 空間導(dǎo)數(shù)逼近

當(dāng)點(diǎn)云生成后，在點(diǎn)云Ci上假定中心點(diǎn)i附近的函數(shù)值分布滿(mǎn)足函數(shù)f=f(x,y)。那么，沿用文獻(xiàn)[10]的方法，f的二次逼近函數(shù)可寫(xiě)為：

式中，fi=f(xi,yi)；h=x?xi；l=y?yi；ai(i=1,2,,5)為待定系數(shù)，表示在中心點(diǎn)i處相應(yīng)的各階偏導(dǎo)數(shù)。在點(diǎn)云Ci上，記衛(wèi)星點(diǎn)k(k=1,2,,M)處的函數(shù)值為fk，則定義函數(shù)逼近的總體誤差為：

基于總體誤差G極小，逼近函數(shù)可整理為[10]：

式中，系數(shù)αk、βk、γk、ηk和ζk僅與離散點(diǎn)的坐標(biāo)相關(guān)，可在迭代計(jì)算前一次計(jì)算得到。函數(shù)f在中心點(diǎn)i處的空間導(dǎo)數(shù)ai(i=1,2,,5)可表示為：

同樣地，也可以用中心點(diǎn)與衛(wèi)星點(diǎn)連線(xiàn)中點(diǎn)ik處的函數(shù)值fik進(jìn)行表示：

式中，整理得到的系數(shù)αik、βik、γik、ηik和ζik也僅與離散點(diǎn)的坐標(biāo)相關(guān)，可在迭代計(jì)算前一次計(jì)算得到。本文將根據(jù)式(6)處理下面空間離散涉及的通量運(yùn)算。

2.3 基于無(wú)網(wǎng)格點(diǎn)云的WENO重構(gòu)

為了提高時(shí)域無(wú)網(wǎng)格算法的計(jì)算精度，本文借鑒CFD中三階WENO重構(gòu)的有限差分方法[11]構(gòu)造在點(diǎn)云中實(shí)施WENO重構(gòu)所要求的模板。為此，基于點(diǎn)云結(jié)構(gòu)，在點(diǎn)云ci上以中心點(diǎn)i和衛(wèi)星點(diǎn)k為例，建立局部一維坐標(biāo)，如圖2所示。圖中點(diǎn)ii是點(diǎn)i關(guān)于點(diǎn)k的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(虛擬點(diǎn))，點(diǎn)kk是點(diǎn)k關(guān)于點(diǎn)i的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。記點(diǎn)i和點(diǎn)k處的函數(shù)值分別為fi和fk，虛擬點(diǎn)ii和kk處的函數(shù)值分別記為fii和fkk，則點(diǎn)i和點(diǎn)k的中點(diǎn)ik處的函數(shù)值fLik和fRik可按照下式WENO重構(gòu)進(jìn)行計(jì)算：

式中，加權(quán)因子ξ1=1/3；ξ2=2/3。于是式(7)可進(jìn)一步整理為：

圖2 基于無(wú)網(wǎng)格點(diǎn)云的WENO重構(gòu)模板示意圖

對(duì)于虛擬點(diǎn)上的函數(shù)值，最直接的做法是針對(duì)虛擬點(diǎn)，逐一選點(diǎn)并構(gòu)造插值模板，再按照插值方法確定。但是，要逐一搜索插值點(diǎn)，且在計(jì)算插值系數(shù)的過(guò)程中還會(huì)涉及矩陣求逆，都需要花費(fèi)較多的計(jì)算時(shí)間。為了減小不必要的計(jì)算量，本文利用已知的離虛擬點(diǎn)最近的點(diǎn)云結(jié)構(gòu)及其空間導(dǎo)數(shù)信息，通過(guò)采用形如式(4)的二次函數(shù)逼近來(lái)插值計(jì)算出虛擬點(diǎn)上的函數(shù)值。

2.4 通量運(yùn)算

在ci上，應(yīng)用式(6)近似中心點(diǎn)i處的通量為：

再采用近似黎曼解確定數(shù)值通量Qik，即：

2.5 時(shí)間離散

采用無(wú)網(wǎng)格方法對(duì)麥克斯韋方程進(jìn)行空間離散后，在點(diǎn)云Ci上，可以得到其半離散形式為：

式中，Ri為點(diǎn)云中心點(diǎn)，即計(jì)算點(diǎn)上的殘差。本文利用式(13)按照4步Runge-Kutta格式[10]進(jìn)行時(shí)間推進(jìn)求解。迭代計(jì)算時(shí)，如式(9)～式(12)所示，殘差計(jì)算涉及的各空間離散項(xiàng)則利用當(dāng)前計(jì)算值計(jì)算確定。對(duì)于計(jì)算涉及的邊界條件，本文在物面應(yīng)用良導(dǎo)體邊界條件，而在計(jì)算域的截?cái)辔恢脛t采用完全匹配層邊界條件，具體公式及參數(shù)取值詳見(jiàn)文獻(xiàn)[10]。

3 算例與分析

本文按上述方法研制了對(duì)應(yīng)的計(jì)算程序，現(xiàn)結(jié)合算例進(jìn)行電磁散射模擬。算例涉及的計(jì)算域中x、y坐標(biāo)均為以入射波波長(zhǎng)λ為特征長(zhǎng)度、無(wú)量綱化后的空間位置。如圖3所示，TM平面波沿k方向照射目標(biāo)，并定義k軸與x軸之間的夾角為入射角?，那么歸一化后的入射波分量可表示為：

式中，k=xcos?+ysin ?；t為無(wú)量綱參數(shù)。

圖3 TM平面波

3.1 一維電磁波傳播數(shù)值模擬

本文先選用具有解析解的一維電磁波傳播問(wèn)題對(duì)發(fā)展的WENO重構(gòu)算法進(jìn)行考核。假定電磁波沿x方向傳播，那么式(1)的麥克斯韋方程可簡(jiǎn)化為：

對(duì)應(yīng)的解析解為：

在t=10時(shí)刻提取相應(yīng)的電場(chǎng)信息進(jìn)行研究。定義計(jì)算誤差為：

式中，Ez,cal為計(jì)算值。

圖4 計(jì)算誤差與布點(diǎn)密度的關(guān)系

圖4給出了計(jì)算誤差與布點(diǎn)密度的關(guān)系。整體上看，不論基于WENO重構(gòu)還是線(xiàn)性重構(gòu)，error隨 dom的增加而減小；dom一定時(shí)，本文數(shù)值解的error顯著小于線(xiàn)性重構(gòu)的結(jié)果，計(jì)算得到的電場(chǎng)幅值和相位均與理論解更加接近。

3.2 二維圓柱散射數(shù)值模擬

本文選用有級(jí)數(shù)解[12]可供比較的金屬圓柱算例進(jìn)行電磁散射模擬。先采用如圖5a所示的均勻布點(diǎn)方式，布點(diǎn)密度dom20=。數(shù)值模擬時(shí)，圓柱半徑為2.0λ，計(jì)算域設(shè)置為12λ×12λ，總點(diǎn)數(shù)為60 698，TM波入射角?=0°。計(jì)算得到的圓柱散射場(chǎng)和雙站雷達(dá)散射截面(radar cross section, RCS)分布分別如圖6和圖7所示，圖7給出了級(jí)數(shù)解比較。從圖7不難看出，本文基于WENO重構(gòu)計(jì)算得到的雙站RCS和傳統(tǒng)基于線(xiàn)性重構(gòu)的計(jì)算結(jié)果，其峰值及其在整個(gè)雙站角范圍內(nèi)的分布整體上都能與級(jí)數(shù)解一致；但是在各極值點(diǎn)處，本文結(jié)果與級(jí)數(shù)解吻合更好，如圖7b所示。

圖5 圓柱計(jì)算點(diǎn)云示意圖

圖6 圓柱的散射場(chǎng)等值線(xiàn)分布

圖7 圓柱的雙站RCS分布及局部放大圖

圖8 不同布點(diǎn)密度對(duì)應(yīng)的圓柱雙站RCS分布及局部放大圖

本例均勻布點(diǎn)方式離散計(jì)算區(qū)域總點(diǎn)數(shù)達(dá)60 698，計(jì)算量較大。考慮到本文在物面處引入入射波及提取時(shí)域信息，因此物面附近的布點(diǎn)密度應(yīng)予以保證，而對(duì)于截?cái)噙吔绺浇?，布點(diǎn)密度適當(dāng)放寬。改用如圖5b所示的非均勻布點(diǎn)方式重新計(jì)算圓柱散射場(chǎng)，其他條件設(shè)置同圖5a，計(jì)算得到的雙站RCS分布如圖8所示。從圖中不難看出，當(dāng)dom10=時(shí)，計(jì)算得到的雙站RCS分布與均勻布點(diǎn)的結(jié)果基本吻合；當(dāng)dom8=時(shí)，除個(gè)別極值點(diǎn)處數(shù)值有差異外，計(jì)算值大體上也能與均勻布點(diǎn)情形一致；當(dāng)dom5=時(shí)，計(jì)算值與均勻布點(diǎn)的結(jié)果存在明顯差異，如圖8b所示。當(dāng)dom10=時(shí)，總點(diǎn)數(shù)由均勻布點(diǎn)的60 698下降到16 380，計(jì)算量顯著減小，而計(jì)算結(jié)果幾乎不受影響。

3.3 雙NACA0012翼型散射場(chǎng)數(shù)值模擬

選用雙NACA0012翼型算例[13]驗(yàn)證本文算法處理多體干擾問(wèn)題的能力。沿用文獻(xiàn)[13]的做法，取NACA0012翼型弦長(zhǎng)為4λ，雙翼型弦線(xiàn)之間的距離為λ。計(jì)算域取12λ×12λ，電磁波入射角分別取?=0°,45°，對(duì)應(yīng)計(jì)算得到的雙NACA0012翼型的散射場(chǎng)等值線(xiàn)分布如圖9所示，基本與文獻(xiàn)[13]的精確控制法結(jié)果一致。從圖9可以看到，在雙翼型之間的區(qū)域，散射波疊加作用顯著，電磁干擾較強(qiáng)；而且隨著入射角的改變，干擾作用的效果也存在差異。

圖9 雙NACA0012翼型散射場(chǎng)等值線(xiàn)分布

3.4 飛機(jī)投彈多體散射場(chǎng)數(shù)值模擬

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法處理多體干擾問(wèn)題的能力，給出飛機(jī)投彈時(shí)出現(xiàn)的復(fù)雜多體干擾電磁散射場(chǎng)算例。飛機(jī)模型源自文獻(xiàn)[14]，機(jī)體長(zhǎng)取為8λ，通過(guò)對(duì)飛機(jī)下表面修形來(lái)模擬彈艙，炸彈用橢圓體表示。計(jì)算域?yàn)?0λ×20λ，電磁波入射角取?=135°，對(duì)應(yīng)電磁波從飛機(jī)前下方照射，計(jì)算得到的散射場(chǎng)等值線(xiàn)分布如圖10所示。從圖中可以看出飛機(jī)投彈與不投彈時(shí)的散射場(chǎng)多體干擾情況。不投彈時(shí)，只在飛機(jī)前部的下方位置附近，由于機(jī)頭與機(jī)身的干擾，局部存在散射場(chǎng)的疊加效應(yīng)外，其他地方的散射場(chǎng)大體上呈現(xiàn)出均勻的環(huán)繞分布，強(qiáng)散射方向出現(xiàn)在雙站角135°方向和225°方向；當(dāng)飛機(jī)彈艙打開(kāi)，進(jìn)行投彈時(shí)，在飛機(jī)下方，除了飛機(jī)自身各個(gè)部件的干擾以外，炸彈與飛機(jī)之間也存在強(qiáng)烈的電磁散射干擾，散射場(chǎng)方向發(fā)生改變，最強(qiáng)散射僅出現(xiàn)在雙站角135°方向。

圖10 飛機(jī)投彈與不投彈時(shí)的散射場(chǎng)分布

4 結(jié) 束 語(yǔ)

本文研究和發(fā)展了求解電磁散射問(wèn)題的基于WENO重構(gòu)的時(shí)域無(wú)網(wǎng)格算法。算例表明：本文算法相較于通常的線(xiàn)性重構(gòu)算法，計(jì)算得到的數(shù)值解能更接近理論解。由于該算法是基于無(wú)網(wǎng)格點(diǎn)云發(fā)展的，計(jì)算區(qū)域的離散只涉及布點(diǎn)，適合處理多體干擾等復(fù)雜情形。

[1] 蘇敏, 陳剛, 童創(chuàng)明. FVTD在電磁散射問(wèn)題中的應(yīng)用[J].航天電子對(duì)抗, 2008, 24(3): 56-58. SU Min, CHEN Gang, TONG Chuang-ming. Application of FVTD method in CEM problems[J]. Aerospace Electronic Warfare, 2008, 24(3): 56-58.

[2] 陳紅全. 求解Euler方程的隱式無(wú)網(wǎng)格算法[J]. 計(jì)算物理, 2003, 20(1): 9-13. CHEN Hong-quan. Implicit gridless method for Euler equations[J]. Chinese Journal of Computational Physics, 2003, 20(1): 9-13.

[3] ZHAO Mei-ling, NIE Yu-feng. A study of boundary conditions in the meshless local Petrov-Galerkin (MLPG) method for electromagnetic field computations[J]. CMES, 2008, 37(2): 97-112.

[4] YU Yi-qiang, CHEN Zhi-zhang. A 3D radial point interpolation method for meshless time-domain modeling[J]. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 2009, 57(8): 2015-2020.

[5] LAI Sheng-jian, WANG Bing-zhong, DUAN Yong. Meshless radial basis function method for transient electromagnetic computations[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2008, 44(10): 2288-2295.

[6] MIRZAVAND R, ABDIPOUR A, MORADI G, et al. Full-wave semiconductor devices simulation using meshless and finite-difference time-domain approaches[J]. IET Microwaves, Antennas & Propagation, 2011, 5(6): 685-691.

[7] LIU G R, GU Y T. 無(wú)網(wǎng)格法理論及程序設(shè)計(jì)[M]. 王建明,周學(xué)軍, 譯. 濟(jì)南: 山東大學(xué)出版社, 2008. LIU G R, GU Y T. An introduction to meshfree methods and their programming[M]. Translated by WANG Jian-ming, ZHOU Xue-jun. Jinan: Shandong University Press, 2008.

[8] LIU Xu-dong, OSHER S, CHAN T. Weighted essentially non-oscillatory schemes[J]. Journal of Computational Physics, 1994, 115(1): 200-212.

[9] GEROLYMOS G A, SENECHAL D, VALLET I. Very-high-order weno schemes[J]. Journal of Computational Physics, 2009, 228: 8481-8524.

[10] 堃高煜, 陳紅全. 基于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格格點(diǎn)FVTD算法的電磁散射模擬[J]. 南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 45(3): 415-423. GAO Yu-kun, CHEN Hong-quan. Electromagnetic scattering simulation based on cell-vertex unstructured-grid FVTD algorithm[J]. Journal of Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, 2013, 45(3): 415-423.

[11] JIANG Guang-shan, SHU Chi-wang. Efficient implementation of weighted ENO schemes[J]. Journal of Computational Physics, 1996, 126: 202-228.

[12] HALLEROD T, RYLANDER T. Electric and magnetic losses modeled by a stable hybrid with explicit-implicit time-stepping for Maxwell's equations[J]. Journal of Computational Physics, 2008, 227: 4499-4511.

[13] CHEN Hong-quan, SUI Hong-tao. New time-explicit asymptotic method for the solution of an exact controllability problem of scattering waves[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2000, 13(2): 80-85.

[14] BESPALOV A. Application of fictitious domain method to the solution of the helmholtz equation in unbounded domain[R]. INRIA 1797. Le Chesnay: INRIA, 1992.

編輯稅 紅

Study of a WENO Reconstruction Based Meshless
Time-Domain Algorithm and Its Applications

GAO Yu-kun and CHEN Hong-quan
(College of Aerospace Engineering, Nanjing University of Aeronautics & Astronautics Nanjing 210016)

A meshless time-domain algorithm based on weighted essentially non-oscillatory (WENO) reconstruction for solving the electromagnetic scattering problems is studied. The stencil required for implementing third-order WENO reconstruction in the gridless cloud is obtained by setting a local coordinate in the direction of each satellite point and introducing a virtual point so as to use WENO reconstruction to approximate the physical quantities at the midpoint between the central and satellite points of the gridless cloud. Additionally, physical quantities at the virtual point are determined by direct interpolation based on available interpolation coefficients of the nearest point. Then, approximate Riemann solver is introduced in dealing with the computation of the flux related to the governing equations, and an explicit four-stage Runge-Kutta scheme is employed in time-marching. After that, based on the developed algorithm, typical 1-D and 2-D cases for solving the electromagnetic fields are simulated. The simulation results verify that the numerical results calculated by using WENO reconstruction are closer to the theoretical solutions than that based on linear function reconstruction. The paper ends with the presentation of the electromagnetic scattering fields with multi-bodies, which show the developed algorithm has the ability to accommodate complex geometries.

cloud of points; electromagnetic scattering field; meshless time-domain method; multi-bodies; WENO reconstruction

O441.4

A doi:10.3969/j.issn.1001-0548.2015.04.013

2013 ? 11 ? 27；

2014 ? 12 ? 12

國(guó)家自然科學(xué)基金(11172134)；江蘇省高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目

高煜堃(1984 ? )，男，博士生，主要從事計(jì)算電磁學(xué)方面的研究.