變載荷作用下柔順關(guān)節(jié)變寬度片彈簧的變形分析

□ 王 芳 □ 章 軍，2 □ 劉光元

1.江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 江蘇無錫 214122 2.江蘇省食品先進(jìn)制造裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 江蘇無錫 214122

變載荷作用下柔順關(guān)節(jié)變寬度片彈簧的變形分析

□ 王 芳1□ 章 軍1，2□ 劉光元1

1.江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 江蘇無錫 214122 2.江蘇省食品先進(jìn)制造裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 江蘇無錫 214122

提出一種以變寬度片彈簧為骨架的氣動(dòng)柔順關(guān)節(jié)，可構(gòu)成柔性自適應(yīng)機(jī)械手。片彈簧的變形等效于彈性懸臂梁自由端受特殊變載荷作用的大擾度變形。采用分段非線性變系數(shù)并帶有未知參數(shù)的微分方程建立靜態(tài)模型，借助MATLAB中的BVP4C函數(shù)得到不同壓力下片彈簧任意位置的變形傾角、變形位移的數(shù)值解，變載荷明確后利用ANSYS建模仿真，驗(yàn)證結(jié)果的正確性。與等寬度片彈簧對(duì)比后說明，變寬度片彈簧骨架關(guān)節(jié)具有柔性好、節(jié)省能源的優(yōu)點(diǎn)。

變寬度片彈簧 懸臂梁 特殊變載荷 大擾度變形 柔順關(guān)節(jié)

傳統(tǒng)工業(yè)機(jī)械手只能抓持形狀大小相同、位置狀態(tài)一致、不會(huì)破損的剛性工件，而仿人靈巧機(jī)械手需要精確感知復(fù)雜對(duì)象，然后控制運(yùn)動(dòng)和抓持力，因此結(jié)構(gòu)復(fù)雜、價(jià)格昂貴，目前尚處于實(shí)驗(yàn)室研究階段。針對(duì)以上情況，本文提出一種變截面片彈簧柔順關(guān)節(jié)，該關(guān)節(jié)有著較好的柔順型與適應(yīng)性，可以滿足抓持大小不一、形狀各異、易傷易碎物品的要求。

片彈簧變形等同于懸臂梁的大撓度變形分析［1-2］，在懸臂端的作用力為特殊變載荷 （大小和方向隨氣缸壓強(qiáng)的增大呈現(xiàn)非線性變化）。由于片彈簧變形時(shí)的載荷未知，無法用有限元軟件ANSYS或Abaqus直接建模仿真求解［3-4］。研究柔順機(jī)構(gòu)方法還有偽剛體模型法［5-7］，但是目前這種方法對(duì)特殊變載荷作用的懸臂梁還不能建立較為精確的模型。Banerjee等［8］利用非線性打靶和Adomian［9］分解方法以及錢偉長［10］、何曉婷［11］等采用雙參數(shù)攝動(dòng)法研究了大變形梁的數(shù)值解，為大變形數(shù)值求解提供了很好的思路，但是這些方法都是以懸臂梁自由端的作用力是方向不變的力為先決條件的，不適用于本文闡述的特殊變載荷狀況。

1 片彈簧的靜態(tài)模型與計(jì)算

1.1 靜態(tài)模型

柔性關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)如圖1所示，尾座3和頭座7通過螺栓8分別與指根節(jié)1和指尖節(jié)9連接，尾座與指根節(jié)、頭座與指尖節(jié)中間均夾有調(diào)節(jié)墊片2，兩端的偏心距可以根據(jù)需要調(diào)節(jié)。筆型氣缸5為雙耳環(huán)筆型氣缸，雙耳環(huán)連接件6通過銷與單耳環(huán)支座4相連，單耳環(huán)支座分別固定在頭座和尾座上。片彈簧13通過螺栓固定在指尖節(jié)和指根節(jié)的凹槽內(nèi)，并且由壓板10壓緊，由防松墊圈11和螺母12鎖緊固定。指根節(jié)和指尖節(jié)中間的凹槽是為了限制片彈簧的自由度，保證片彈簧中心線和氣缸軸線在同一平面內(nèi)。

▲圖1 柔順關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)圖

▲圖2 片彈簧受力分析圖

圖1中，a為耳環(huán)銷軸中心線到O點(diǎn)的水平距離，b為耳環(huán)銷軸中心線到O點(diǎn)的豎直距離。關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)對(duì)稱，工作長度為L的片彈簧，左右兩端相關(guān)零件（頭座、尾座等）的軸、徑向尺寸完全相同。假設(shè)片彈簧長度L變形后保持不變，忽略所有零件重力，此時(shí)片彈簧的大變形等效于特殊變載荷作用下懸臂梁的大變形，以片彈簧為主要研究對(duì)象，建立坐標(biāo)系并對(duì)片彈簧進(jìn)行受力分析，如圖2所示。

圖2中點(diǎn)O和點(diǎn)A分別為等效懸臂梁的固定端和自由端，茲A為自由端變形傾角，TA為氣缸對(duì)頭座的推力。由于關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)對(duì)稱，兩端均為鉸鏈安裝的氣缸可以簡化為一個(gè)可以伸長的二力桿，無論是指根節(jié)還是指尖節(jié)作為懸臂梁的固定端 （本文以指根節(jié)固定進(jìn)行分析），在相同氣壓下，氣缸活塞的伸長量和氣缸角位移必定相同，所以氣缸角位移（即氣缸推力與水平線夾角）和片彈簧中點(diǎn)處截面轉(zhuǎn)角為茲A/2。在懸臂自由端A處，設(shè)頭座對(duì)片彈簧的作用力和力偶分別為TAx、TAy和Me，則有：

式中：d為氣缸內(nèi)徑；p為氣體壓力。

梁上任一位置的彎矩M：

式中：xA、yA和x、y分別是自由端A變形后在X、Y軸方向的坐標(biāo)。

梁上任一位置的曲率籽與該位置彎矩M之間的關(guān)系為：式中：E為彈性模量；I為主慣性矩；c為片彈簧任意位置的寬度；h為片彈簧厚度；s為弧長（即片彈簧彎曲變形時(shí)任意位置的弧長）；茲為任意位置變形傾角。

將式（4）代入式（5），即有：

當(dāng)0≤s≤L/2時(shí)，對(duì)稱雙梯形片彈簧任意位置寬度表示為任意位置長度的函數(shù)：

c=B-2scot酌 （8）

如圖2所示，B為片彈簧最大寬度 （彈簧兩端寬度），酌為片彈簧截面夾角。將式（1）、式（2）、式（3）、式（8）合并到式（7），并整理得：

式（9）兩端對(duì)弧長s求微分，由大變形分析中的精確微分關(guān)系式：

可得：

當(dāng)L/2

同理，可得：

根據(jù)式（11）、式（14）可知，變形傾斜角茲是片彈簧弧長s的二階非線性變系數(shù)常微分方程。

1.2 模型的數(shù)學(xué)計(jì)算

1.2.1 變形傾角茲A的微分計(jì)算方法

本文采用配置法［12］，借助MATLAB中的BVP4C求解器，將方程的求解轉(zhuǎn)化為帶有未知參數(shù)的邊值問題，最終得到變形傾角和坐標(biāo)位移的數(shù)值解。求解邊值型問題除了正確定義方程外，最重要的是選取合適的邊界條件。首先將式（11）、式（14）降階為一階方程組，然后確定邊界條件。在懸臂梁固定端，已知當(dāng)s=0時(shí)，x=0，y=0，又因?yàn)楫?dāng)s=L/2時(shí)，茲=茲A/2即片彈簧關(guān)于中點(diǎn)橫截面成對(duì)稱彎曲，根據(jù)對(duì)稱彎曲可以得到關(guān)系式tan茲A=yA/xA，將上述關(guān)系代入式（9），得到邊界條件：

在懸臂梁自由端，已知當(dāng)s=L時(shí)，x=xA，y=yA,將該關(guān)系式代入式（13），得到邊界條件：

將邊界條件式（15）、式（16）代入式（11）、式（14）中，把茲A看成未知參數(shù)，任意給定未知參數(shù)初值，循環(huán)求解，即可得到片彈簧上任意位置變形傾角的數(shù)值解。

1.2.2 位移變形坐標(biāo)微分計(jì)算方法

在茲求出之后，茲A已知，代入到式（11）、式（14）中并分別聯(lián)立式（10）得到方程組：

定義好方程組之后，選取前半段合適的邊界條件。已知邊界條件：

將式（17）作降階處理然后代入邊界條件式（19），即可得到片彈簧前半段任意位置的變形坐標(biāo)位移數(shù)值解，這時(shí)片彈簧中點(diǎn)位置坐標(biāo)（xM，yM）已知，所以得到后半段的邊界條件：

同理，將式 （18）作降階處理后代入邊界條件式（20），即可得到片彈簧后半段任意位置的變形坐標(biāo)位移數(shù)值解。至此，片彈簧上任意位置的變形傾角和變形坐標(biāo)位移都已得到求解，接下來將通過在ANSYS中建模仿真和實(shí)物測量兩種方式來驗(yàn)證數(shù)值微分方法的正確性。

2 實(shí)例與對(duì)比

在實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中，經(jīng)過測量變寬度片彈簧骨架柔性關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)尺寸：氣缸直徑d=10 mm，行程為30 mm，初始狀態(tài)氣缸未伸出時(shí)其連接銷中心的距離S0= 125.72 mm。選用60Si2MnA彈簧鋼做成對(duì)稱雙梯形截面的片彈簧，寬B=11.90 mm，厚度h=1.04 mm，工作長度L=119.22 mm，梯形截面夾角γ=88°，彈性模量約為E=190 GPa，a=3.25 mm，b=29.35 mm。為了使對(duì)比更具有說服力，選取同樣尺寸的等寬度片彈簧骨架柔性關(guān)節(jié)進(jìn)行數(shù)值模擬，以證明新關(guān)節(jié)的優(yōu)越性。

在給定的壓力p下，對(duì)式（11）、式（14）、式（17）、式（18）求解，得出p=0.1 MPa、p=0.2 MPa、p=0.3 MPa、p= 0.4 MPa、p=0.5 MPa、p=0.6 MPa時(shí)，變寬度片彈簧任意位置變形傾角和坐標(biāo)位移的數(shù)值解，再與等寬度片彈簧變形參數(shù)作對(duì)比，對(duì)比曲線如圖3所示，由于趨勢相同僅數(shù)值不同，因此只給出p=0.3 MPa的曲線。列出自由端A點(diǎn)的詳細(xì)數(shù)值，見表1。

表1 兩種片彈簧的壓力p與A點(diǎn)數(shù)值計(jì)算

▲圖3 p=0.3 MPa時(shí)變形傾角隨弧長的變化曲線

在相同的壓強(qiáng)下，由表1可知，變寬度片彈簧較之于等寬度片彈簧具有更大的彎曲變形角。從圖4可以看出，在相同的壓強(qiáng)下，變寬度片彈簧與等寬度片彈簧相比，變形角的變化率更大，即相同長度的弧長間隔，前者的變形傾角變化更大。說明對(duì)稱雙梯形片彈簧相比于等寬度片彈簧有著較好的彎曲性能，使得以變寬度片彈簧骨架柔性關(guān)節(jié)組成的機(jī)械手比由等寬度片彈簧骨架柔性關(guān)節(jié)組成的機(jī)械手有著更大的抓持范圍和更節(jié)省能源的優(yōu)點(diǎn)。

3 ANSYS仿真模擬

本文中片彈簧自由端由于所受的載荷與變形傾角耦合在一起，無法建立一一對(duì)應(yīng)的力與變形的關(guān)系，所以無法直接在ANSYS中建模計(jì)算。本文先采用數(shù)值微分法計(jì)算出不同壓強(qiáng)下片彈簧的變形，進(jìn)而確定出變載荷的大小與方向，然后加載到ANSYS模型中，最后與理論計(jì)算值對(duì)比，分析誤差來驗(yàn)證數(shù)值微分法的正確性。圖4和圖5分別給出p=0.6 MPa加載后的變形傾角和縱坐標(biāo)位移云圖，表2列出A點(diǎn)變形參數(shù)數(shù)值并與理論計(jì)算值的對(duì)比。

表2 ANSYS模擬結(jié)果與理論計(jì)算數(shù)值對(duì)比表（自由端A點(diǎn)）

▲圖4 變形傾角位移云圖

▲圖5 縱坐標(biāo)位移云圖

由表2可知，變形傾角的誤差在2%以內(nèi)。由于橫、縱坐標(biāo)位移變化較小，這里只給出了縱坐標(biāo)位移的誤差值，而縱坐標(biāo)位移的誤差也只在0.5%左右，整體來看誤差很小，這充分證明了數(shù)值解法的正確性。而且由于片彈簧產(chǎn)生大變形彎曲，中性面會(huì)發(fā)生偏移不再與幾何中心面重合，這會(huì)使理論建模計(jì)算有較大的誤差。本文通過數(shù)值微分法先計(jì)算變形參數(shù)，然后再加載到ANSYS中，不僅可以驗(yàn)證變形參數(shù)，還可以得到應(yīng)力的分布狀況和詳細(xì)數(shù)值，為變載荷作用下無法確定載荷方向與大小的懸臂梁大撓度變形問題提供一種行之有效的方法。

4 結(jié)論

本文提出的柔順關(guān)節(jié)以氣缸為驅(qū)動(dòng)器，對(duì)稱雙梯形片彈簧為柔性骨架，由于氣體壓縮性強(qiáng)和片彈簧的特點(diǎn)，使得該關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)具有很好的柔性自適應(yīng)性和緩沖性；相比于文獻(xiàn)［1］的等寬度片彈簧骨架柔順關(guān)節(jié)，新關(guān)節(jié)有著更大的抓持范圍、需要較小驅(qū)動(dòng)力的優(yōu)點(diǎn)。而其中間細(xì)兩端寬的形狀更符合應(yīng)力的分布狀況，更容易彎曲變形，從而減小變形阻力，減輕關(guān)節(jié)重量，節(jié)約了能源，關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)更靈活，動(dòng)態(tài)響應(yīng)性更好。

在數(shù)值解法上，采用微分方法建立模型，利用配置數(shù)值方法求解，并用ANSYS建模仿真驗(yàn)證，解決了特殊變載荷變截面懸臂梁的大撓度變形問題。與龍格庫塔法相比，在滿足精度要求的情況下，該解法具有求解速度快的優(yōu)點(diǎn)，方便應(yīng)用階段中的實(shí)時(shí)控制。

［1］ 劉光元.變載荷作用下柔性關(guān)節(jié)片彈簧的大變形分析與強(qiáng)度計(jì)算［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù),2013,32（1）:111-115.

［2］ Jun Zhang,Qiu J Zhang.Bending of Flexible Joint Driven by LinearExpandablfArtificialMusclf ［J］.International Journal of Modelling and Simulation,2011,1:1-5.

［3］ P F Pai，A N Palazotto.Large-deformation Analysis of Flexible Beams ［J］.International Journal of Solids and Structures,1996,33（9）:1335-1353.

［4］ Jinyang Liu,Jiazhen Hong.NonlinearFormulation for Flexible Multibody System with Large Deformation［J］.Acta Mechanica Sinica,2007,23（1）:111-119.

［5］ Larry L Howell.Compliant Mechanisms［M］.John Wiley& Sons,Inc,USA,2001.

［6］ 李海燕,張憲民,彭惠青.大變形柔順機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)特性研究［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù),2004,23（9）:1040-1043.

［7］ J J Yu,S S Bi,G G Zong.Kinematics Analysis of Full Compliant Mechanisms Using the Pseudo-rigid Body Model［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering,2002,38: 75-78.

［8］ A Banerjee,B Bhattacharya,A K Mallik.Large Deflection of Cantilever Beams with Geometric Non-linearity:Analytical and Numerical Approaches［J］.International Journal of Non-Linear Mechanics,2008,43（5）:366-376.

［9］ Z F Liang,X Y Tang.Analytical Solution of Fractionally Damped Beam by Adomian Decomposition Method［J］. Applied Mathematics and Mechanics,2007,28（2）:219-228.

［10］Qian Weizang.Second Order Approximation Solution of Nonlinear Large Deflection Problem of Yongjiang Railway Bridge in Ningbo［J］.Applied Mathematics and Mechanics, 2002,23（5）:493-506.

［11］ XiaotingHe， Shanlin Chen.Biparametric Perturbation Solutions of Large Deflection Problem of Cantilever Beams［J］.Applied Mathematics and Mechanics,2006,27（4）:453-460.

［12］Finlayson Bruce A.Nonlinear Analysis in Chemical Enginee鄄ring［M］.New York:McGraw-Hill College，1980.

（編輯 丁 罡）

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2015年1月