一類具非零初值Duffing方程的近似解

韋桂榮，韋玉程

(1.長樂中學(xué)，廣西 東蘭 547406;2.河池學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 宜州 546300)

0 引言

微分方程作為數(shù)學(xué)工具對自然現(xiàn)象的描述是十分有效的，但大量的微分方程并不存在解析解，因此尋求微分方程的近似解或數(shù)值解是很自然的想法。攝動方法是求微分方程近似解的有效途徑之一。從20世紀(jì)開始，隨著攝動法理論的不斷發(fā)展和完善，特別是20世紀(jì)50年代以來的迅速發(fā)展，攝動方法被廣泛應(yīng)用于眾多領(lǐng)域的科學(xué)研究之中。

攝動法源于19世紀(jì)Poisson在研究天體運動地球所受的引力時，首次使用微分方程的形式來表示為:

其中，X=(x1，x2，…，xn)，A0，A1，A2，…是 X 的函數(shù);A0表示太陽對地球的引力，εiAi為其它行星對地球的引力，是微小擾動項。Poisson假設(shè)方程(1)有如下的冪級數(shù)解

將(2)代入(1)，令方程兩邊ε的同次冪系數(shù)相等，從而得到一系列的關(guān)于X0，X1(t)，X2(t)，…的微分方程，通過解微分方程得到(1)的近似解。攝動方法可分為正則攝動和奇異攝動兩類。奇異攝動源于在使用正則攝動時方程解的冪級數(shù)展開式的非一致有效性。其主要表現(xiàn)為使用正則攝動時，方程出現(xiàn)長期項，或展開式在某部分邊界不滿足邊界條件，或者方程有轉(zhuǎn)向等等原因時都使正則攝動法失效。當(dāng)下，奇異攝動問題的研究已發(fā)展為控制理論的一個重要分支，因此引起了各界學(xué)者、眾多專家對奇異攝動的研究。現(xiàn)行奇異攝動常用的主要方法有伸縮坐標(biāo)法、匹配漸近展開法、復(fù)合展開法、參數(shù)變易法、平均法、多重尺度法等。多重尺度法是20世紀(jì)50年代后期發(fā)展起來的一種求近似解的奇異攝動方法。

Duffing方程是非線性振動系統(tǒng)中的一類典型方程，工程實際中的許多非線性振動問題的數(shù)學(xué)模型都可以轉(zhuǎn)化為該方程來研究。Duffing方程雖然形式簡單，但它具有豐富的動力學(xué)現(xiàn)象，作為一個具有代表性的非線性動力學(xué)方程，在非線性振動理論研究中具有重要的意義。然而，從它提出(1918年)到現(xiàn)在已經(jīng)近百年了，人們對它的解的性質(zhì)仍未完全清楚。其共振和非共振的周期軌道、概周期解等問題存在性的研究主要參見文獻[1－6]及引用文獻。然而，工程上更需要的是其數(shù)值解或近似解，包括分析法、數(shù)值法、圖解法、實驗方法和兩變量展開法等，這方面可參見[7－11]及引用文獻。按照攝動方法，完整的問題的解是用一個攝動展開式的前面幾項(一般是前面兩項來表示的)，盡管這種展開式可能是發(fā)散的，但是作為解得一個定性的以及定量的表示，它們可以比一致并收斂的展開式更有用。本文采用兩變量展開法來展開一類非零初值的非線性Duffing方程。對原方程的變量做適當(dāng)?shù)淖儞Q，引進快慢兩種不同尺度的時間變量，將單變量轉(zhuǎn)成兩個變量的二階非線性初值問題，使用漸近展開式，比較對應(yīng)項系數(shù)，得出展開式前幾項的系數(shù)滿足的方程，通過解微分方程得到所給問題的近似解的一般表達式。

1 主要結(jié)果及證明

下面是本文的主要結(jié)果及證明。

定理:考慮一類具非0初值的Duffing方程

其中ε是小參數(shù)。則求此方程具有如下形式的一階近似解:

定理證明:設(shè)方程(3)具有如下形式的冪級數(shù)解:

在這里，我們做變換如下:

其中ωi是常數(shù)。在(5)式中沒有εω1這一項，因為εt已經(jīng)含在ξ中了。這種變換，相當(dāng)引入了ξ比η慢的兩個不同時間變量。首先，對ξ、η求關(guān)于t的一階導(dǎo)得

對u(ξ，η)求關(guān)于t的二階導(dǎo)得

對于εu3項，考慮取近似如下

把(4)、(6)、(7)式代入方程(3)，整理得

因為當(dāng) t=0時，ξ=0，η =0，于是由

得到

同理，由 u′(0)=1，可得

比較(8)式ε的各次冪的系數(shù)得到

解方程(9)得

其中:A0(0)=B0(0)=1。于是

及

對于項 －u30(ξ，η)，使用公式，計算得:

將(13)、(14)式代入(10)式，得

聯(lián)立方程(16)與(17)，解此方程組并注意到初值條件，得

將(18)式分別代入(16)、(17)式，并對ξ分別求導(dǎo)得

考慮到(16)、(17)及(18)式，得

解齊次線性方程(21)、(22)，得

由初值條件上面兩式各確定了一個常數(shù)C1=C3=1。然而，這兩個等式中仍然各含一個常數(shù)C2，C4，為計算方便，我們可取常數(shù)分別為C2=1，C4=－1。于是得

把(23)、(24)式代入(12)式，得漸近解的首項為

方程(15)在消去長期項后變?yōu)?/p>

解非線性方程(26)，得其通解為

注意到(23)、(24)式，有

同理，

把(28)、(29)式代入(27)式，得到

注意到

于是

從而

同樣的有

另一方面，

進而得

化簡 －3u20(ξ，η)u1(ξ，η)得到

把(33)、(34)、(35)、(36)式代入(11)式，得

(37)式中NST是不會產(chǎn)生長期項的項，為消去長期項，令

由于

解得

于是

把(39)、(40)式代入(31)式得，從而

因此，uε(ξ，η)的兩項展開式為

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