追尋自然的數(shù)學(xué)教學(xué)

焦肖燕

一、數(shù)學(xué)是自然的

何謂數(shù)學(xué)？培根認(rèn)為“數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙”，黑格爾認(rèn)為“數(shù)學(xué)是上帝描述自然的符號(hào)”，而最為人們耳熟能詳和廣泛認(rèn)同的是恩格斯關(guān)于“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”的論斷。從數(shù)學(xué)發(fā)展歷史來看，雖然不同時(shí)期對(duì)數(shù)學(xué)的理解不斷變化，但從每位名人名家的詮釋中都能看到數(shù)學(xué)的自然力量。數(shù)學(xué)是將大自然中存在的各種規(guī)律，用數(shù)字與公式的形態(tài)表示出來。例如：為了方便對(duì)自然界中事物數(shù)量的統(tǒng)計(jì)才產(chǎn)生了自然數(shù)；隨著時(shí)代的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)很多事物不能用自然數(shù)計(jì)量時(shí)，就出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)、小數(shù)、負(fù)數(shù)等；為了方便研究自然界中物體的特性，就產(chǎn)生了各種幾何圖形；為了揭示自然界中各種事物的普遍規(guī)律，數(shù)學(xué)家們得出了很多定義、定理、推論等。再例如，為了求解自然界中很多未知事物，人們往往通過建立數(shù)學(xué)模型來解決這些問題……類似的例子舉不勝舉，可見數(shù)學(xué)的產(chǎn)生是自然的，是對(duì)自然規(guī)律的一種客觀反映；數(shù)學(xué)本身是自然的，在自然的前提條件下得到自然的結(jié)論；數(shù)學(xué)探究過程是自然的，是一種遵循邏輯順序的自然推進(jìn)過程。數(shù)學(xué)和歷史一樣都只是生物的活動(dòng)在自然界留下的印記，數(shù)學(xué)是一門源于自然、依賴自然界客觀存在的規(guī)律而發(fā)展形成的學(xué)科。

二、數(shù)學(xué)教學(xué)也是自然的

數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)該是自然的，是水到渠成的。記得人教版高中《數(shù)學(xué)》教材主編劉紹學(xué)先生在《主編寄語(yǔ)》中有這樣一段話：“教科書中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，是人類長(zhǎng)期實(shí)踐中經(jīng)過千錘百煉的數(shù)學(xué)精華和基礎(chǔ)，其中的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的。如果有人感到某個(gè)概念不自然，是強(qiáng)加于人的，那么只要想一下它的背景、它的形成過程、它的應(yīng)用以及它與其他概念的聯(lián)系，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它實(shí)際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味，這將有助于大家學(xué)習(xí)。”因此，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程實(shí)際上是對(duì)自然的數(shù)學(xué)知識(shí)“再創(chuàng)造”的過程。教師應(yīng)該遵循數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展規(guī)律，使學(xué)生能大致經(jīng)歷數(shù)學(xué)家獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)時(shí)的思維過程，為學(xué)生的“再創(chuàng)造”創(chuàng)造條件。另外，由于人類本身也是自然界的產(chǎn)物和存在物，其包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的整個(gè)科學(xué)思維方式和規(guī)則也是在長(zhǎng)期改造自然現(xiàn)實(shí)的漫長(zhǎng)活動(dòng)中形成的。所以對(duì)于學(xué)生來說，自然是他們的天性，學(xué)生并不是空著腦袋走進(jìn)教室，日常生活和以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)已經(jīng)使他們具備了豐富的經(jīng)驗(yàn)背景。在教學(xué)中，教師要順著學(xué)生的思維自然地提出問題、分析問題和解決問題。在教給學(xué)生知識(shí)之前，教師首先要了解學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)中已經(jīng)有了什么，他們的知識(shí)基礎(chǔ)如何，在此基礎(chǔ)上確定學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，那種無視學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)的教學(xué)是對(duì)學(xué)生最大的不尊重。教學(xué)只有關(guān)注到學(xué)生的內(nèi)在需求，才能讓他們積極主動(dòng)地投入學(xué)習(xí)，從而在一種自然的、主動(dòng)的狀態(tài)下完成“再創(chuàng)造”的過程。

三、實(shí)現(xiàn)自然數(shù)學(xué)教學(xué)的策略：順木之天，以致其性

如何追尋自然的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)呢？一句話概括，那就是順木之天，以致其性。順應(yīng)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的自然規(guī)律，尊重學(xué)生的原有知識(shí)基礎(chǔ)和身心特點(diǎn)，做到貼著學(xué)生的思維脈搏進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生的智慧和天性才能得以自然地成長(zhǎng)。下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談?wù)剬?duì)“追尋自然數(shù)學(xué)教學(xué)”的一些思考。

1.認(rèn)識(shí)、把握和順應(yīng)知識(shí)本身的發(fā)展規(guī)律

（1）在追溯中感受知識(shí)的自然原型。每一個(gè)新的概念、方法、公式、定理的產(chǎn)生，都源于一定的需要，這種需要的前提和背景就是數(shù)學(xué)知識(shí)的本源。在教學(xué)中，教師要讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景和發(fā)展過程，知道其來龍去脈，也就把握了知識(shí)本源和數(shù)學(xué)思想方法。比如，兒童對(duì)自然數(shù)概念的理解和認(rèn)識(shí)就與人類對(duì)自然數(shù)概念的認(rèn)識(shí)走過了幾乎相同的道路，如果教師能夠讓學(xué)生體驗(yàn)自然數(shù)概念的形成和發(fā)展過程，就能更好地幫助學(xué)生理解自然數(shù)。像十進(jìn)制計(jì)數(shù)法和十進(jìn)位值制，就是兩個(gè)不同的概念。因?yàn)槿艘还灿?0個(gè)手指，所以產(chǎn)生十進(jìn)制并不為奇，但十進(jìn)制計(jì)數(shù)法到十進(jìn)位值制卻走過了一段漫長(zhǎng)的路。位值制的發(fā)明是計(jì)數(shù)歷史上的一個(gè)劃時(shí)代的奇跡，正是有了位值制，人們才可以用有限的幾個(gè)數(shù)字表示出無限多個(gè)自然數(shù)，因此馬克思在他的《數(shù)學(xué)手稿》中稱十進(jìn)位值制為“最奇妙的發(fā)明之一”。如果教師了解這段歷史，知道人類發(fā)明十進(jìn)位值制的艱辛和不易，就能知道“位值”對(duì)于學(xué)生來說是非常抽象的，并且在自然數(shù)的認(rèn)識(shí)中是相當(dāng)重要的。教學(xué)中教師切忌不能一帶而過，而是要根據(jù)學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，充分利用直觀的計(jì)數(shù)材料，像數(shù)位筒、計(jì)數(shù)器或者算盤等，設(shè)計(jì)有趣的數(shù)學(xué)活動(dòng)來使學(xué)生深刻理解“位值”的概念，感受這一計(jì)數(shù)方法的優(yōu)越性。

（2）在抽象中經(jīng)歷知識(shí)形成的自然過程。數(shù)學(xué)概念是反映一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式上的本質(zhì)屬性的思維方式，如果生硬地灌輸給學(xué)生，而不讓學(xué)生經(jīng)歷抽象概括的過程，那么，在學(xué)生的頭腦中，這些數(shù)學(xué)概念只是一種形式上的符號(hào)，而缺乏現(xiàn)實(shí)意義。對(duì)于整數(shù)，學(xué)生并不感到陌生，在入學(xué)之前，學(xué)生已對(duì)具體的數(shù)有了比較豐富的感知，他們會(huì)讀、會(huì)寫、會(huì)說一些具體的數(shù)。但這時(shí)學(xué)生頭腦中的數(shù)還是與具體的事物聯(lián)系在一起的，比如2個(gè)人、3個(gè)玩具等。在教學(xué)中我們要關(guān)注從現(xiàn)實(shí)情景抽象出數(shù)的過程，例如，從具體的2匹馬、2棵樹、2頭牛、2個(gè)人，抽象出“2”這個(gè)數(shù)，這時(shí)用一個(gè)數(shù)字也是一個(gè)特殊的符號(hào)來表示數(shù)量，已經(jīng)把具體的單位和這個(gè)數(shù)量的具體含義去掉，抽象為數(shù)“2”了。反過來， “2”也可以表示任何具有這樣數(shù)量特征的事物。

（3）在多元表征中豐富知識(shí)的自然形態(tài)。一個(gè)數(shù)學(xué)概念或者數(shù)學(xué)問題，往往可以通過多元的形式來表征它。不同的表征形式是為了對(duì)概念或者問題進(jìn)行不同的解釋，即從不同的角度、不同的視角對(duì)其本質(zhì)進(jìn)行視覺化或體驗(yàn)化的闡述，使學(xué)生獲得更深刻的體驗(yàn)，從而達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的感悟。其中，每一種表征形式都是基于信息本質(zhì)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過信息系統(tǒng)的加工處理生成的，使信息及其相關(guān)聯(lián)的表征一起形成了一個(gè)表征系統(tǒng)。所以不同形式的表征不僅豐富了知識(shí)的內(nèi)涵和外延，而且每種表征形式之間相互補(bǔ)充、相互完善。比如：學(xué)生在學(xué)習(xí)萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí)，可以通過幾何圖形的點(diǎn)、線、面、體，使學(xué)生在頭腦中建立“一、十、百、千”的幾何模型。通過圖像表征，讓學(xué)生體會(huì)10 個(gè)一是十，10 個(gè)十是一百，10 個(gè)一百是一千，10 個(gè)一千是一萬(wàn)……從而在學(xué)生的頭腦中建立一個(gè)清晰的模型——“滿十進(jìn)一”，這對(duì)于學(xué)生理解計(jì)數(shù)單位和位值制有很大幫助。

（4）在整體把握中溝通知識(shí)的自然聯(lián)系。數(shù)學(xué)知識(shí)具有很強(qiáng)的系統(tǒng)性，前一個(gè)概念也許是后一個(gè)概念的基礎(chǔ)，而后一個(gè)概念也可能是前一個(gè)概念的發(fā)展。這種縱向關(guān)系，溝通了前后概念，形成了一個(gè)概念系統(tǒng)。像自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)，它們都有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系：當(dāng)使用的度量單位能夠順利測(cè)量時(shí)，就看累加了多少個(gè)度量單位，那么測(cè)量結(jié)果就可以用自然數(shù)來表示，反之當(dāng)度量單位太大，不能順利測(cè)量時(shí)，就需要將度量單位平均分成n份，以其中的1/n為單位，數(shù)出m個(gè)單位，則測(cè)量結(jié)果可以用m/n這樣的分?jǐn)?shù)來表示，當(dāng)n=10，100，1000……這個(gè)量的大小就用十進(jìn)分?jǐn)?shù)也就是小數(shù)來表示。所以教學(xué)中教師是否能夠?qū)λ虄?nèi)容的本質(zhì)與其長(zhǎng)遠(yuǎn)教育價(jià)值進(jìn)行深入細(xì)致的分析，就決定了我們數(shù)學(xué)課的高度和厚度。

2.認(rèn)識(shí)、把握和順應(yīng)學(xué)生自身的認(rèn)知規(guī)律

（1）要基于學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)進(jìn)行教學(xué)。數(shù)學(xué)教學(xué)的對(duì)象是學(xué)生，影響學(xué)生學(xué)習(xí)最重要的因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么。因此，在教學(xué)中教師要基于學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，要在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”展開教學(xué)。比如：五年級(jí)“小數(shù)的意義”教學(xué)，之前學(xué)生在三年級(jí)已通過人民幣單位和米制單位的轉(zhuǎn)化，從數(shù)和量?jī)蓚€(gè)方面初步感知了一位小數(shù)，感受到了小數(shù)與生活的聯(lián)系。因此到五年級(jí)繼續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)時(shí)，完全可以應(yīng)用概念的同化方式，從數(shù)學(xué)本身的邏輯關(guān)系展開教學(xué)，從學(xué)生已有的一位小數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)類推出兩位小數(shù)、三位小數(shù)……從而抽象概括出小數(shù)的意義。心理學(xué)家認(rèn)為：概念可以從大量的同類事物的不同例證中獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，這種概念的獲得方式叫概念的形成。也可以用定義的方式向?qū)W生直接展示，學(xué)生利用已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)來理解新概念，這種概念的獲得方式就是概念的同化。教師運(yùn)用哪種方式進(jìn)行教學(xué)才是最有效的，關(guān)鍵取決于學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，只有基于學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)才能使學(xué)生學(xué)得主動(dòng)、學(xué)得積極。

（2）要基于學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律進(jìn)行教學(xué)。蘇霍姆林斯基曾說過：在人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，那就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者，在兒童的精神世界里這種需要特別強(qiáng)烈。因此，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)情境，提供指導(dǎo)，讓學(xué)生帶著問題，在愉悅的氛圍中進(jìn)行有效的自主探索，以自然、人本的方式展開學(xué)習(xí)。例如，在教學(xué)蘇教版三年級(jí)《數(shù)學(xué)》下冊(cè) “24時(shí)計(jì)時(shí)法”時(shí)，教師可以創(chuàng)設(shè)這樣的問題情景：“一天有24小時(shí)，但鐘面上只有12個(gè)數(shù)字，怎樣用這12個(gè)數(shù)字來表示一天中的24個(gè)時(shí)刻呢？”或者創(chuàng)設(shè)這樣的問題情景：“小明九時(shí)在上課，小紅九時(shí)卻在睡覺，同樣是九時(shí)，怎么一個(gè)在上課一個(gè)在睡覺呢？”通過創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，讓學(xué)生帶著問題，在矛盾沖突中展開學(xué)習(xí)。

總之，自然的數(shù)學(xué)教學(xué)就是要追尋知識(shí)的本源，溝通知識(shí)的聯(lián)系，做到教師自然地教；了解學(xué)生發(fā)展的局限性和潛在的可能性，順應(yīng)學(xué)生身心發(fā)展的規(guī)律和已有的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，做到學(xué)生自然地學(xué)；在和諧、自然的狀態(tài)下讓師生共同享受教與學(xué)的樂趣。