淺析高等數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)二重積分的計(jì)算

關(guān)璐

（內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，呼和浩特　010070）

淺析高等數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)二重積分的計(jì)算

關(guān)璐

（內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，呼和浩特010070）

0　引言

隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，數(shù)學(xué)在各個(gè)研究領(lǐng)域越來(lái)越受到人們的重視。而高等數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)。高等數(shù)學(xué)這門課程在大部分的學(xué)校都是在大一時(shí)開設(shè)的，由于學(xué)生初次接觸高等數(shù)學(xué)這樣復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)課程，會(huì)感覺到高等數(shù)學(xué)難、枯燥，特別是二重積分的計(jì)算這部分知識(shí)，很多學(xué)生感覺到計(jì)算方法本身太難理解，從而漸漸的失去了學(xué)習(xí)興趣。因此，結(jié)合多年教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)中二重積分的計(jì)算提出一些教學(xué)方案，對(duì)提高高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣具有重要意義。

1　利用定義計(jì)算二重積分

二重積分的定義為：

設(shè)f（x，y）是定義在有界區(qū)域D上的二元函數(shù)，將D任意分成n個(gè)小區(qū)域

在每個(gè)小區(qū)域Di中任取一點(diǎn)（ζi，ηi），作積分和

其中，D稱為積分區(qū)域，f（x，y）稱為被積函數(shù)，dσ稱為面積元素。此時(shí)也稱函數(shù)f（x，y）在D上可積。

因此，在給學(xué)生們介紹了定義之后，重點(diǎn)介紹在直角坐標(biāo)系下和極坐標(biāo)系下的二重積分的計(jì)算。

2　在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分

明確了這些之后就可以和學(xué)生一起建立在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的步驟：

（1）畫草圖用陰影表示積分區(qū)域D；

（2）確定累次積分的順序（主要依據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域）；

（3）寫出積分區(qū)域D所確定的x，y的范圍（先寫后積分變量的范圍即常數(shù)范圍）；

（4）轉(zhuǎn)化為累次積分計(jì)算。

建立了解題步驟，就要通過(guò)由淺入深的例題幫助學(xué)生理解和掌握直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算。下面舉一個(gè)比較典型的例子。

解：首先畫圖，如圖1所示。此處注意要求學(xué)生一定要將積分區(qū)域用陰影表示出來(lái)。

圖1

其次，確定累次積分的順序，這一步是最關(guān)鍵的，也是最難的。假設(shè)先對(duì)y后對(duì)x積分，就得將積分區(qū)域D分為圖中D1，D2兩部分，因?yàn)樵谶M(jìn)行下一步時(shí)，

如果換一個(gè)順序，假設(shè)先對(duì)x后對(duì)y，則將D看作一部分就可以了。因?yàn)樵谶M(jìn)行下一步時(shí)D=｛（x，y）|y2≤x≤y+2，-1≤y≤2｝。

對(duì)于積分區(qū)域當(dāng)然是劃分的塊數(shù)越少，計(jì)算越方便。在被積函數(shù)中x和y地位一樣。因此，由積分區(qū)域決定了積分的順序?yàn)橄葘?duì)x后對(duì)y進(jìn)行積分。

3　在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分

明確了這些之后就可以和學(xué)生一起建立在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的步驟：

（1）畫草圖用陰影表示積分區(qū)域D；

（2）累次積分的順序?yàn)橄萺后θ，寫出積分區(qū)域D所確定的r和θ的范圍（先寫θ范圍）；

（3）將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的二重積分；

（4）轉(zhuǎn)化為累次積分計(jì)算。

建立了解題步驟，同樣需要通過(guò)由淺入深的例題幫助學(xué)生理解和掌握極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算。下面同樣舉一個(gè)比較典型的例子。

圖2

學(xué)習(xí)了以上這兩種計(jì)算方法之后，學(xué)生自然要問(wèn)，遇到一個(gè)二重積分的計(jì)算問(wèn)題，應(yīng)該用哪種方法？當(dāng)然要結(jié)合兩種方法的特點(diǎn)來(lái)選擇。如果被積函數(shù)包括等式子，而且積分區(qū)域?yàn)閳A或圓內(nèi)的一部分，則用極坐標(biāo)計(jì)算，否則，在直角坐標(biāo)系下計(jì)算就可以了。

4　結(jié)語(yǔ)

二重積分這部分內(nèi)容既是高等數(shù)學(xué)的教學(xué)難點(diǎn)也是重點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的過(guò)程當(dāng)中可以培養(yǎng)他們的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。因此，每一位教師都應(yīng)該認(rèn)真思考，不斷總結(jié)如何講解這部分內(nèi)容，從而讓學(xué)生不僅在知識(shí)而且在能力等各方面有所提高。

［1］林承初.二重積分的計(jì)算方法與技巧［J］.廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院學(xué)報(bào)，2006（19）:336～338

［2］辛春元.二重積分的計(jì)算方法［J］.現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2010（15）:376～377

［3］甄海燕.二重積分的計(jì)算方法［J］.山東商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（05）:86～88

［4］李燁.二重積分的積分區(qū)域選擇技巧［J］.產(chǎn)業(yè)與科技論壇，2012（08）:206～207

［5］刑華，高娃.微積分［M］.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，2012.

Double Integral；Repeated Integral；Definite Integral

The Calculation of Double Integral in the Teaching of Higher Mathematics

GUAN Lu
（College of Statistics and Mathematics，Inner Mongolia Finance and Economics University，Hohhot 010070）

1007-1423（2015）25-0007-03

10.3969/j.issn.1007-1423.2015.25.002

關(guān)璐（1981-），女，內(nèi)蒙古烏蘭察布人，碩士，講師，研究方向?yàn)閳D的代數(shù)結(jié)構(gòu)、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)等

2015-06-11

2015-09-01

二重積分實(shí)質(zhì)上是指二元函數(shù)的定積分，二重積分以一元函數(shù)定積分為基礎(chǔ)，但是難度卻大大增加。因此學(xué)生常常感覺到二重積分的計(jì)算較難掌握。結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)二重積分計(jì)算部分的學(xué)習(xí)提出一些相應(yīng)的教學(xué)方案。

二重積分；累次積分；定積分

Double Integral essentially means definite integral binary function，double integral in one variable definite integral basis.But the difficulty is greatly increased.Therefore，students often feel difficult to master double integral computing knowledge.Combined with years of teaching experience，for the calculation of the double integral part of the knowledge of learning，put forward some teaching programs.